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Prof. Rajane G Weber C.A. João XXIII - UFJF Introdução A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição. Um pouco de História O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros. Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”. “PAPIRO DE MOSCOU” “PAPIRO DE RHIND Fundamentos O espaço É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos no espaço. Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões: comprimento, altura e largura. Entes Primitivos –Aceitos sem definição •Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto •Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto •Planos: letras minúsculas do alfabeto grego Plano α (alfa) •Espaço: é o conjunto de todos os pontos que estão no plano e fora dele. •B •A Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever Figuras Coplanares e Colineares PONTOS PONTOS COPLANARES COLINEARES Os pontos A,B,C estão no mesmo plano Os pontos P e Q estão sobre a mesma reta Posições relativas de duas retas Se as retas são Coplanares: Concorrentes Paralelas Distintas Ou Perpendiculares Posições relativas de duas retas Se as retas não são coplanares Reversas Ortogonais Posições relativas de dois planos Concorrentes Coincidentes Ou Verificação 1 1)Observando a figura,identifique que ente geométrico se refere : F E a) A,B,C,D,E,...J C B D A H I G J b) AB, CD, EF,AI,BJ ... c) ABCD, ABIJ 2) Verifique se as retas são paralelas,concorrentes ou reversas: a)EF e CD c) BC e BJ b)EF e AD d) AB e HG Pense Bem!! Verificação 2 Considere a figura e responda com V ou F: A B C D H G F E a) AB//DC b) DC//HG c) EF//FG d) CB e HE são reversas e) CF e HE são reversas f) DB e AC são concorrentes g)AB e EF são coplanares h) DB e HF são coplanares i) A e C são colineares j) H e G são colineares e coplanares Sólidos Geométricos Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras. 40cm 30cm 30cm 30cm 30cm 50cm 40cm Em qual delas será usada mais madeira? Qual delas terá o espaço interno maior? Problemas como este serão resolvidos com o estudo dos sólidos geométricos 1- POLIEDROS Para saber mais sobre este tipo de sólido geométrico, clique no sólido ao lado. VÍDEO SOBRE POLIEDRO 1 POLIEDROS DE PLATÃO VÍDEOS SOBRE POLIEDROS QUADRADO ,CUBO & Cia PRISMAS Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r secante a esses planos e uma região poligonal convexa A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo pertencente a β: ELEMENTOS DO PRISMA bases (polígonos); faces (paralelogramos); arestas das bases (lados das bases); arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); vértices (pontos de encontro das arestas); altura (distância entre os planos das bases). TIPOS DE PRISMA Prisma reto .As arestas laterais têm o mesmo comprimento. . As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. . As faces laterais são retangulares. TIPOS DE PRISMA Prisma oblíquo •As arestas laterais têm o mesmo comprimento. •As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. •As faces laterais não são retangulares. Nomenclatura São nomeados de acordo com o polígono da sua base: Prisma Base Triangular triângulo Quadrangular quadrado Esboço geométrico Classificação Pentagonal pentágono Hexagonal hexágono Prisma Regular • É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. • Exemplo: • Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Paralelepípedo Reto-Retângulo Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo retoretângulo. Medida de uma diagonal de um paralelepípedo retoretângulo Consideramos um paralelepípedo retoretângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do Continuação Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A1A8A6 , temos: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A5A8A6, temos: Finalizado: Substituindo (II) em (I), temos:
