Propriedades dos Limites

Ensino Superior
Cálculo 1
1.2- Propriedades dos Limites
Amintas Paiva Afonso
Propriedades dos limites
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.
I) lim b  b
x c
II) lim x  c
x c
III) lim xn  cn
x c
IV) lim n x 
x c
nc
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Operação com limites
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g
funções para as quais lim f ( x)  L e lim g ( x)  M .
x c
xc
I) lim [b.f(x)]  bL
xc
II) lim [f(x)  g(x)]  L  M
xc
III) lim [f(x).g(x)]  L.M
 f(x)  L
IV) lim 
 ;

x  c  g(x) 
M
V) lim  f(x)  Ln
n
x c
xc
VI) lim
x c
n
f(x)  n L
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
 lim g(x)  0
 x c

Operação com limites
Propriedades

P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
lim x  a
xa
Exemplos:
lim x  3
lim x  e
lim x  
lim3 x  3 5
x 3
x 
x e
x 5
lim x  0,3
x  0 , 3
Operação com limites

P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
lim K  K
xa
Exemplos:
lim 4  4
x 3
lim   
x 2
lim e  e
x 2
lim
x 
3
5 3 5
Operação com limites

P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
Exemplo:
lim ( x  3 x  5)  lim x  lim 3 x  lim 5 
2
2
x2
x2
x2
x2
lim x 2  3 lim x  lim 5  2 2  3.2  5  15
x2
x2
x2
Operação com limites

P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
Exemplo:
lim (2 x  x)  lim 2 x  lim x
2
2
x2
x2
x2
2 lim x  lim x  2.2  2  6
2
x2
2
x2
Operação com limites

P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
lim  f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
x a
x a
x a
Exemplo:
lim ( x )  lim x.x  lim x. lim x  3.3  9
2
x3
x3
x 3
x3
Operação com limites

P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
f ( x)
 f ( x)  lim
x a
lim 

x a g ( x) 
g ( x)

 lim
x a
Exemplo:
( x  5)
35
1
 x  5  lim
x 3
lim  3



3
x 3 x  7 
( x  7) 27  7 10

 lim
x 3
Operação com limites

P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
lim ( f ( x))  (lim f ( x))
n
xa
n
xa
Exemplo:
lim (2 x  x )  (lim (2 x  x ))  3  81
3 4
x1
3
x1
4
4
Operação com limites

P8 - O limite da raiz de uma função n f ( x), é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
lim
xa
n
f ( x)  n lim f ( x)
xa
Exemplo:
lim
x 2
x 4  4 x  1  lim ( x 4  4 x  1)  (2) 4  4(2)  1  5
x 2
Cálculo 1 - Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites

Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
lim f ( x)  L e lim g ( x)  M ,
x a
x a

Regra da soma(subtração):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
x a

xa
x a
Regra do Produto:
lim f ( x).g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)  L.M
xa

x a
x a
Regra da multiplicação por escalar:
lim c. f ( x)  c . lim f ( x)  c.L
xa

xa
Regra do quociente:
f ( x) L
f ( x) lim
lim
 x a

x a g ( x)
lim g ( x) M
x a

Regra da potência:
lim f ( x)  (lim f ( x))  L
n
xa

n
n
xa
Regra da raíz
lim
x a
n
f ( x)  n lim f ( x)  n L
x a
se lim f ( x)  L  0, n é impar.
xa

Regra do logaritmo:
lim log c ( f ( x))  log c (lim f ( x))
x a
x a
 log c L se lim f ( x)  0
x a

Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
lim sen f ( x)  sen( lim f ( x))  sen L
x a

x a
Regra da exponencial:
lim c
x a
f ( x)
c
lim f ( x )
xa
c
L
Cálculo 1 - Limites
Limite de uma função polinomial
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
lim P ( x)  P (c)
x c
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
P( x)  an x  an 1 x
então
n
n 1
 ...  a0
lim P( x)  P(c)  an c n  an1c n1  ...  a0
xc
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
lim 3x  4 x  x  x  2 
5
4
2
x 2
3  (2)  4  (2)  (2)  (2)  2 
5
4
2
3  (32)  4  16  4  2  2 
 96  64  4  2  2  32
Cálculo 1 - Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se
P (x ) e Q (x) são polinômios e Q(c)  0 ,
então
P( x)
P(c)
lim

x c Q( x)
Q(c)
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
x  4 x  3 (1)  4(1)  3 0
lim

 0
2
2
x  1
6
x 5
(1)  5
3
2
3
2
Cálculo 1 - Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
lim
x 1
x2  x  2
0

2
0
x x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma
fração mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
x 2  x  2 ( x  1)( x  2) x  2
Se x  1


2
x x
x( x  1)
x
Cálculo 1 - Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores
quando x  1 por substituição:
lim
x2  x  2

2
x x
lim
x  2 1 2

3
x
1
x 1
x 1
lim
x 1
( x  2)( x  1)
x( x  1)
Cálculo 1 - Limites
Calcule

lim

lim
h 0
h
lim h(
h 0

lim
h0

2h 
h 0

2h 
h

2.
2
2h 
2h 
2

2
  lim
h(
h
2  h  2)
1
1
1


2h  2
20  2 2 2
h 0
2h2
2  h  2)

Cálculo 1 - Limites
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o
entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
x + ∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
x 4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
x 4
Cálculo 1 - Limites
f)
x 2  5x  4
Lim
x 1
x 1
3
x
g) Lim  3x  2
x 1
x2 1
x3  3
x
R: -3
R: 0
Lim
i)
x4 1
Lim 3
x 1 x  1
R: 4/3
j)
x 1
Lim
x 1
x 1
R: 2/3
x 0
R:
3
6
h)
3
Cálculo 1 - Limites

Teorema do Confronto (ou Sanduíche)
Se lim f ( x)  lim h( x)  L
xa
x a
e f(x)  g(x)  h(x)
então, lim g ( x)  L
xa
Exemplo:
f ( x)
3
lim
,
se
f
(
x
)

x
x  
2
x 0
x
Cálculo 1 - Limites
Sabemos que:
Se |f(x)|  x3, então –x3  f(x)  x3

Dividindo por x2 toda a inequação temos:
f ( x)
x 2 x
x

Pelo teorema do confronto:
f ( x)
lim ( x)  lim 2  lim x
x 0
x 0 x
x 0
f ( x)
f ( x)
0  lim 2  0  lim 2  0
x 0 x
x 0 x
Cálculo 1 - Limites
Teorema do confronto
Se f, g e h são funções que estão definidas em algum
intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no
próprio x0, f(x)  g(x)  h(x), para todo x em I, tal que x  x0 e
então
lim f ( x)  lim h( x)  L
xx0
xx0
lim g ( x)  L
x x0
Cálculo 1 - Limites
Ilustração do uso do teorema do confronto
1
lim x sen  0
x
x0
2