I. Determinante

O que você deve saber sobre
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século
100 a.C. Desde então, a evolução do uso das matrizes e dos
determinantes na resolução de sistemas deu significado relevante a
essas fascinantes estruturas matemáticas.
I. Determinante
É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma
série de operações bem definidas com seus elementos.
Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por
barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.
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II. Cálculo do determinante
Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da
matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3
Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos
da diagonal secundária. Exemplo:
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II. Cálculo do determinante
Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.
Considere a matriz A =
1. Copiam-se, ao lado da matriz,
suas duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal
principal e também o das outras duas filas
paralelas e à sua direita. Somam-se
os resultados:
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal
secundária; o mesmo deve ser feito com as
duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao
final, somam-se os resultados:
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II. Cálculo do determinante
4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeira
e a segunda soma:
det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15
Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que
pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja
ordem seja maior ou igual a 2.
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III. Matriz reduzida e cofator
Considere a matriz A =
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a
j-ésima coluna da matriz A.
Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a
primeira coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:
Cij = (-1)i + j . |A ij|,
em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.
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IV. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se
cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu
respectivo cofator e adicionando-se os resultados.
Exemplo:
1 5 2


A  2 4 1
5 6 3


Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
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V. Propriedades de determinantes
1. O determinante de uma matriz que tem uma fila (linha ou coluna)
nula é igual a zero.
2. Matrizes que possuem duas filas iguais têm o determinante nulo.
3. Numa matriz A, cujo determinante é det A, quando se multiplicam
os elementos de uma de suas filas por um valor real k, o
determinante passará a ser k . det A.
4. Se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante
é igual a zero.
5. Trocando-se a posição de duas filas em uma matriz, o
determinante da nova matriz passa a ser o oposto do determinante
da matriz original.
6. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua
transposta.
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VI. Sistemas de equações lineares
Equação linear: toda aquela do tipo
na qual x1, x2, ..., xn são incógnitas; a1, a2, ..., an são coeficientes
reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente.
Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que
tornam a igualdade verdadeira. (1, 2, ..., n) é solução da equação
linear acima desde que a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n = b.
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é
um conjunto de equações lineares:
em que a11, a12, ... , amn são os coeficientes reais das incógnitas x1, x2, ..., xn e b1, b2, ...,
bm são os termos independentes.
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VII. Solução de um sistema de equações lineares
É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente
todas as equações que compõem o sistema. Em relação às
soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:
• Possível e determinado (SPD): solução única;
• Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;
• Impossível (SI): sem solução.
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VIII. Resolução de sistemas
1. Substituição: trata-se de isolar convenientemente uma das
incógnitas em cada equação e substituí-las em outra equação do
sistema, que deve se manter intacta. Por fim, origina-se uma
equação equivalente em função de uma das incógnitas. Com o
valor de uma das incógnitas, por substituição, obtêm-se as demais.
2. Escalonamento: o objetivo é obter um sistema equivalente,
no qual, de cada equação para a seguinte, a quantidade de
coeficientes nulos aumente antes do primeiro coeficiente não nulo.
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VIII. Resolução de sistemas
3. Regra de Cramer: a partir de um
sistema com três equações e
três incógnitas, podemos obter
algumas matrizes e determinantes:
• Matriz aumentada associada ao sistema:
• Matriz de coeficientes associada ao sistema:
Conjunto solução: envolve o cálculo do
determinante da matriz de coeficientes
associada ao sistema, denotada por D:
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VIII. Resolução de sistemas
Dx: é o determinante da matriz
de coeficientes associada, mas
com a coluna dos coeficientes
de x trocada pela coluna dos
termos independentes:
O mesmo se faz para Dy e Dz,
os determinantes das matrizes
de coeficientes associadas,
trocando-se as colunas dos
coeficientes de y e z,
respectivamente, pela coluna
dos termos independentes:
A regra de Cramer configura-se
na obtenção da solução de um
sistema a partir de:
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IX. Discussão de um sistema linear
• se D = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistema
é impossível.
• se D  0, o sistema é possível e determinado.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(Fuvest-SP)
João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao
lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00.
Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de
laranja, mais o de uma cocada totalizam R$ 10,00, calcule o preço
de cada um desses itens.
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(Fuvest-SP)
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por:
4 x  2m y  0

2mx  (2m  1)y  0
2
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de
m para os quais o sistema possui
infinitas soluções.
c) Determine todos os valores
de m para os quais o sistema
admite uma solução da forma
(x, y) = (, 1), sendo  um
número irracional.
RESPOSTA:
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
5
RESPOSTA:
(Fuvest-SP)
Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
 x  (cos a)y  (sen a)z  0

 x  (cos b)y  (sen b)z  0

(cos c)y  (sen c)z  0

2
2
2
2
2
2
Desse modo:
a) Calcule o determinante da
matriz dos coeficientes do
sistema linear.
b) Para que valores de a, b e c
o sistema linear admite
soluções não triviais?
c) Calcule as soluções do sistema
quando sen2a = 1 e cos2c = 1
5
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
6
(PUC-RJ)
Considere o sistema linear:
3x  2y  5

 y  kx  1
RESPOSTA:
a) Resolva o sistema para
k = 1.
b) Ache o valor de x na
solução do sistema para
k = 0; k = 2;
k = 3 e k = 5.
c) Para quais valores de k o
sistema não tem solução?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
10
(Unicamp-SP)
Sejam dados, a matriz
 x  1 x  1 x  1
 m
y
 



A  x 1
0
2 , o vetor b   3 , o vetor y   y


5
y
1
 2 
 x  1
 

1
2
3





RESPOSTA:
a) Encontre o conjunto solução
da equação det A = 0.
b) Utilizando o maior valor de x que
você encontrou no item a, determine
o valor de m para que o sistema
linear A  y = b tenha
infinitas soluções.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
(Ufal)
A matriz A-1 é a inversa da matriz
2 x 4
 x 1.


Se o determinante de A-1 é igual a 1 , calcule o determinante da matriz
2
A + A-1.
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
13
(UFRJ)
 a  2, se i  j
Dada a matriz A = (aij)2 x 2, tal que 
a  3i  j, se i  j
ij
ij
encontre o determinante da matriz A.
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
17
(Unifesp)
Considere a matriz mostrada adiante, onde x varia no
conjunto dos números reais.
0
2 
1
A  2 sen x
0 


0
2
cos x 
Calcule:
a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor
mínimo deste determinante.
RESPOSTA:
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR