+ x

Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Tema: Trigonometria
Matemática
ARCOS e ÂNGULOS
1. Introdução
B
Arco AB
O
A
Ângulo central
Equivalência:  rd = 180o
Matemática
2. Arcos côngruos
• São arcos que têm mesma
origem e mesma
extremidade.
B
A
• A diferença entre dois
arcos côngruos é sempre
um múltiplo de 2.
• Forma geral:
x =  + 2k
Matemática
3. Circunferência trigonométrica
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
B’
Matemática
4. Seno e Cosseno
y
B
sen 
P
N

A’
O
A
M
x
cos 
B’
Matemática
4. Seno e Cosseno
y
1 B
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 
-1  sen  1
A’
A
O
• sinal do seno:
-1 B’
x
Matemática
4. Seno e Cosseno
y
B
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 
-1  cos  1
• sinal do cosseno:
A’
-1
A
1 x
O
B’
Matemática
5. Tangente
y
t
B
P
t // y
M
tg 

A’
O
A
x
B’
Matemática
5. Tangente
Sinal
y
B
A’
A
O
x
B’
Matemática
6. Redução ao 1º quadrante
y
/2
a) 2o quadrante
a = ( - x)
a

• sen ( - x) = sen x
x
O
• cos ( - x) = - cos x
• tg ( - x) = - tg x
3/2
0
2 x
Matemática
6. Redução ao 1º quadrante
y
/2
b) 3o quadrante
a = ( + x)
• sen ( + x) = - sen x

a
x
O
• cos ( + x) = - cos x
• tg ( + x) = tg x
3/2
0
2 x
Matemática
6. Redução ao 1º quadrante
y
/2
c) 4o quadrante
a = (2 - x)
• sen (2 - x) = - sen x

x
a
O
• cos (2 - x) = cos x
• tg (2 - x) = - tg x
3/2
0
2 x
Matemática
7. Relações entre arcos complementares
y
/2
x
y = /2 - x
y

x
O
0
2 x
sen x = cos y
sen y = cos x
3/2
Matemática
8. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1
II. tg x =
III. cotg x =
sen x
cos x
1
tg x
=
cos x
sen x
Matemática
8. Relações fundamentais
continuação...
IV. sec x =
V. csc x =
1
cos x
1
sen x
VI. sec2x = 1 + tg2x
VII. csc2x = 1 + cotg2x
Matemática
9. Aplicações práticas
1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de
sec x - csc x
y =
1 - cot g x
2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor
de A = sen x + cos x .
3. Demonstrar a identidade
tg x + cotg x = tg x . csc2x
Matemática
10. Soma e diferença de arcos
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
Matemática
10. Soma e diferença de arcos
e) tg(a + b) =
tg a + tg b
1 - tg a.tg b
f)
tg(a - b) =
tg a - tg b
1 + tg a.tg b
Matemática
11. Arcos duplos
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) =
2.tg x
1 - tg2 x
2
Matemática
12. Arcos metade
a) cos
b) sen
c) tg
x
2
x
=±
2
x
1 + cosx
2
=±
2
=±
1 - cosx
2
1 - cosx
1 + cosx
Matemática
13. Transformação de soma em produto
p +q
p- q
a) senp + senq = 2sen
.cos
2
2
p-q
p +q
b) senp - senq = 2sen
.cos
2
2
p +q
p- q
c) cosp + cosq = 2cos
.cos
2
2
p +q
p- q
d) cosp - cosq = - 2sen
.sen
2
2
Matemática
14. Equações trigonométricas
y
/2
a) sen x = a ;  1  a  1
• sen x = sen y
x = y + 2k

a
y
O
• sen x = sen ( - y)
x = ( - y) + 2k
3/2
0
2 x
Matemática
14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações:
1
a) sen x =
2
3
b) sen (2x - ) = 2
Matemática
14. Equações trigonométricas
y
/2
b) cos x = a ;  1  a  1
• cos x = cos y
x = y + 2k

O
y
a
• cos x = cos (2 - y)
x = - y + 2k
3/2
0
2 x
Matemática
14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações:
a) cos x =
2
2
b) cos 2x = 0
Matemática
14. Equações trigonométricas
t
y
c)
/2
tg x = b ; b  IR
b
• tg x = tg y

y
O
x = y + k
3/2
0
2
x
Matemática
14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações:
a) tg 3x =
3
b) tg (2x - ) = 1
Matemática
14. Equações trigonométricas
d) Outras equações:
1) sen2x + 4cos x = - 4
2) cos (2x) + cos x = 0
3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2]
4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ]
5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]
Matemática
15. Funções trigonométricas
a) Função seno :
f : IR  IR
f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y = sen x.
 x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
Matemática
15. Funções trigonométricas
a) gráfico :
y
0

2

-
-

2
-
-
3
2
2
x
Matemática
15. Funções trigonométricas
a) Função seno :
Periodicidade :
sen x = sen ( x + 2)
• A função y = sen x é periódica e tem período igual
a 2 radianos.
2
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
Matemática
15. Funções trigonométricas
b) Função cosseno :
f : IR  IR
f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y = cos x.
 x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
Matemática
15. Funções trigonométricas
b) gráfico :
y
0

2

-
-

2
-
-
3
2
2
x
Matemática
15. Funções trigonométricas
b) Função cosseno :
Periodicidade :
cos x = cos ( x + 2)
• A função y = cos x é periódica e tem período igual
a 2 radianos.
2
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
cos x = cos (- x)
• A função y = cos x é par.
Matemática
15. Funções trigonométricas
ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais
positivos, uma função periódica de período 3/ 2.
a) Determine c.
b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ],
determine a e b.
c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor
máximo.
Matemática
15. Funções trigonométricas
c) Função tangente :
f : D  IR
D = { x  IR / x   / 2 + k  }
f(x) = tg x
A função associa cada arco x, x   / 2 + k , da
circunferência trigonométrica a um número real
y = tg x.
Im(f) = IR
Matemática
15. Funções trigonométricas
c) gráfico :
y
0

2

-

2
-
-
3
2
2
x
Matemática
15. Funções trigonométricas
c) Função tangente :
Periodicidade :
tg x = tg ( x + )
• A função y = tg x é periódica e tem período igual a
 radianos.

• Se f(x) = a + b. tg(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
tg x = - tg (- x)
• A função y = tg x é ímpar.
Matemática
15. Funções trigonométricas
ex. Determine o domínio e o período da função
f(x) = tg (4x).