128266685813857_analise-dimensional

Gravitação
2a série do Ensino Médio
O Sistema Solar
Comparação
Corpos conhecidos do Cinturão de Kuiper
Posição do Sistema Solar na galáxia
O Sistema Solar
http://www.cgul.ul.pt/docs/Cap1_SIstema_Solar.pdf
O Sistema Solar
http://www.cgul.ul.pt/docs/Cap1_SIstema_Solar.pdf
Histórico
• Os modelos geocêntricos foram predominantes na
Antigüidade e na idade média. Notadamente o sistema
de Ptolomeu foi o de vida mais longa (séc. II d.C. a XIV
d.C.) Mas não foi o único criado na Antigüidade.
• Pitágoras (580-500 a.C.)
• Propunha um modelo
onde a Terra e os
demais corpos celestes
eram móveis.
Histórico
• Pitágoras
Histórico
Histórico
•
Platão (427-367 a.C.)
• Sustentava que o círculo,
por não ter começo nem
fim, era uma forma
perfeita
e,
conseqüentemente,
os
movimentos
celestes
deviam ser circulares,
uma vez que o universo
tinha sido criado por um
ser perfeito, Deus.
Histórico
•
Eudóxio (408-355 a.C.)
• Propôs um sistema no
qual a órbita circular de
cada
planeta
estava
fixada sobre uma esfera,
a qual tinha liberdade de
girar.
Cada
esfera
transportando
um
determinado
planeta
estava ligado pelos pólos
a uma esfera secundária
concêntrica exterior que
girava
em
um
eixo
diferente. Essa esfera
seria
ligada
a
uma
terceira
esfera,
caso
fosse necessário. (Ao
todo 33 esferas).
Modelo Geocêntrico
Histórico
•
Aristóteles (384-322 a.C.)
• Aperfeiçoa o modelo de
Eudóxio e justifica-o com
sua Física. No modelo
aristotélico haviam 55
esferas.
Histórico
Histórico
•
Aristarco(310-250 a.C.)
• Propôs
um
sistema
heliocêntrico, por volta de
280 a.C.. O sistema
proposto por Aristarco só
seria
retomado
18
séculos mais tarde.
Histórico
Modelo Heliocêntrico
Histórico
•
Ptolomeu (século II d.C.)
• Aperfeiçoou o modelo dos
epiciclos. Foi capaz de
explicar
tanto
o
movimento dos planetas
no
céu,
como
as
distâncias variáveis dos
planetas em relação à
Terra.
Utilizava
39
esferas. Seu sistema foi
utilizado por 14 séculos.
Histórico
•
Copérnico (1473-1543)
• Propôs
um
sistema
heliocêntrico, mas que
não abolia o movimento
circular dos planetas,
nem dispensava o auxílio
de epiciclos. O sistema de
Ptolomeu ainda era mais
preciso.
Histórico
•
Galileu Galilei (1564 – 1642)
• Ajuda a desmontar a idéia
de universo vigente. Ele
descobre luas em Júpiter,
cujo
centro
do
movimento, obviamente,
não era a Terra. Descobre
também montanhas na
Lua, que segundo a
concepção
platoniana
deveria ser perfeita e
portanto lisa pelo fato de
estar nos céus.
Histórico
• Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Assistente de Tycho Brahe, propôs as leis que
descrevem o movimento planetário.
Kepler
Tycho
Histórico
•
Tycho Brahe (1546 - 1601)
Modelo proposto por Tycho Brahe
Tycho
Brahe em 1576 na
Observatório Instrumentos
de Uraniborg,utilizados
que Tychopor
Brahe
construiu
ilha de Hvee, com estimulo e amparo financeiro do Rei Frederico da
Dinamarca
Histórico
• Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Propõe as leis do movimento planetário, contudo faltava
uma teoria física que justificasse as causas do mesmo.
• É curioso notar a existência de uma “quarta” lei de
Kepler sobre o movimento planetário. Seria uma
aproximação simples à lei das áreas, Kepler afirma que
uma linha que passe por qualquer planeta e pelo foco
vazio da elipse descrita por ele gira uniformemente, ou
o faz com elevada precisão. Verificou-se, mais tarde,
que essa proposição não é correta.
Histórico
•
Isaac Newton (1643 – 1727)
• Formula uma teoria que
descreve o movimento
dos corpos tanto na Terra
como nos céus.
• Pode-se deduzir as três
leis de Kepler a partir da
lei da gravitação universal
de Newton. E a Física de
Aristóteles
pode,
finalmente, ser deixada
de lado.
• Newton
ressalva
os
limites da sua teoria. As
leis de Kepler, se aplicam
a
sistemas
de
dois
corpos. Num sistema com
mais corpos, devido as
interações entre eles, é
impossivel precisar a
órbita a ser descrita. A
cada revolução do corpo
sua órbita se muda.
Newton afirma:
“Considerar simultaneamente todas estas causas do
movimento e definir estes movimentos por leis exatas
convenientes ao cálculo execede, a menos que eu esteja
enganado, a capacidade de todo o intelecto humano”.
Histórico
•
Einstein (1879 – 1955)
• Elabora a teoria da
Relatividade Geral, que é
mais precisa que a Lei da
Gravitação de Newton,
porém requer também um
formalismo
matemático
mais complexo. Em vez de
descrever o efeito de
gravitação como "força",
introduziu-se o conceito
de espaço-tempo curvo,
no qual os corpos se
movem ao longo de
trajetórias curvas.
Visão atual do Universo
A Teoria M, que é uma tentativa de junção da teoria da
gravitação baseada na Teoria da Relatividade Geral,
parece ser considerada pelos físicos como uma
possibilidade de se explicar:
• A Teoria do Campo;
• O Big Bang
Contudo, essa teoria implica na existência de Universos
Paralelos. Para maiores informações, existe um vídeo da
BBC, disponível no GOOGLE VIDEO:
http://video.google.com/videoplay?docid=6642011243743361900&q=universos+paralelos&total=2
45&start=0&num=10&so=0&type=search&plindex=0
Primeira Lei de Kepler
• A órbita de cada planeta é de forma
elíptica, com o Sol situado num dos focos.
Órbita Elíptica
Quando Isaac Newton deduz as Leis de Kepler, ele
faz uma observação importante: a trajetória de um
corpo em órbita é uma cônica, ou seja, pode ser
elíptica, parabólica, ou hiperbólica.
Órbitas possíveis em torno de um corpo central
Órbita Parabólica
Órbita Hiperbólica
Segunda Lei de Kepler
• Uma linha que se estenda do planeta ao Sol
varre áreas iguais em intervalos de tempos
iguais.
Terceira Lei de Kepler
• Os quadrados dos tempos de revolução de
quaisquer dois planetas em torno do Sol
são proporcionais aos cubos das suas
distâncias médias ao Sol.
T2
K
3
r
Lei da Gravitação Universal - Newton
• Entre
dois
corpos
quaisquer, de massas M e
m,
que
estejam
separados
por
uma
distância d, há uma força
mútua, e cada corpo atrai
o outro com uma força de
mesma
intensidade,
diretamente proporcional
ao produto das massas e
inversamente
proporcional ao quadrado
da distância entre eles.
FG 
G.m.M
r2
G= 6,6742 × 10−11 N.m2/kg2
Dedução da Terceira Lei de Kepler
• Supondo a órbita circular:
G.m.M 
FG 
G.m.M

2
2
r

  m r 
2
r
Fcp  m2r 
2
G.M  2  
G.M
2
  3    3 
r
r
T 
4 2 T 2
T2
 3  3 K
G.M r
r
Note que o período de revolução depende da massa M do corpo
central e da distância do corpo em órbita em relação ao corpo central
Intensidade do campo gravitacional g na superfície
P  m.gs

G.m.M
G.M

 gs  2
G.m.M   m.gs 
2
R
R
FG 
2

R 
Intensidade do campo gravitacional g
• Em uma altitude h
Gm
.M.g

P

gs  2  G.M  gs .R2 G.m.M
2 G.M
R G.m.M   m.g 
g
.
R
g
s 
2
2g 

 r
2R  h 
FG G
 .M 2 

R  h
r2 

g

R  h
Estado de Imponderabilidade
• É o estado em que não pode discernir se se está em um
campo gravitacional nulo ou em queda livre. Também é
descrito como a “sensação de ausência de peso”.
Exemplos:
gs .R2
g
R  h2
gs .R2
g
R  h2
gs  9,8 m/s 2

 R  6370 km
h  360km

gs  9,8 m/s 2

 R  6370000 m
h  360000 m

Um corpo em órbita estável, pode
ser entendido como um corpo em
g  8,8 m/s2
queda livre, ou seja, sobre a ação
exclusiva da força peso. E como
Um
Observação:
homem emhum
~ 1/20
elevador
RTERRAem queda livre tem a força normal sobre
possui alta velocidade, descreve
a balança igual a zero
um arco que nunca toca o solo.
Intensidade da aceleração da gravidade g em
função da latitude
• De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da
Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de
movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar
em repouso, se em movimento, tende a manter seu
vetor velocidade.
• Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em
movimento devido a rotação planetária. Se em repouso
sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a
rotação terrestre é:
2.
2.
v  R  v 
.R  v 
.6370  v  1667,7 km / h
T
24
v  463,2 m/s
Intensidade da aceleração da gravidade g em
função da latitude
• Em Campinas – latitude: 22o 54’47’’ – Altitude: 685 m
2
2
6
o 3,086.10 h


gR
9,780318
.
1

0
,
053024
.
sen


0
,
0000058
.
sen
2

  
cos   R  R. cos   R  6370. cos 22 54’47’’
R
v  R  v 


gCampinas  9,7984 m/s2
R  5867 km

2.
2.
.R  v 
.5867  vv1536
/h
426,km
7 m/s
T
24

Órbitas Circulares
m.v 2
Fcp  P 
 m.g  v  r.g
r
r Rh 
2 
M v 
gGs .R
g
R  h2 
v vR.
gGs .R
M2
R  h.

2
R  h
G
gs.M
Rhh
R
Velocidade de um satélite em
em órbita circular em uma
altitude
altitude
h em função
h
da
intensidade da aceleração
da gravidade g da superfície
Órbita Circular Rasante
Fcp  P 
m.2 .R  m.gs 
gs


R
gs
2.


R
T
R
T  2..
gs
6370000
T  2..
 5065,7 s  84 min 25,7 s
9,8
Órbita Geoestacionária
gS .R2
Fcp  FG  m. .R  h  m.

2
R  h
2
2 .R  h  gS .R2  R  h 
3
3
gS .R2
 2. 


 T 
2

gS .R2
2
2
g
.
R
.
T
S
3
Rh 

h

R 
2
2
4.
3  2. 


 T 
2
9
,
8
.
6370000
.24.60.60
3
,6  RTERRAm  36000
h5
35837623
km  6370000
2
4.
2
Velocidade de escape
• Energia Potencial Gravitacional
FG 
G.m.M
r2
G..m
m..M
M G.m.M 
G.m.M
G
EPFG

E


 PSUPERFíCIE
rri
rf   EP R G.m.M  G.m.M 
ri
rf
Com o referêncial de E = 0 no infinito
FCONSERVATIVA  EP p 
m.v 2 G.m.M
Em i  Em f  E c i  Ep i  E c f  Ep f 

0
2
R
2
11
G.m.M G
.G
m..M
M
G.m..M
G..5m
.M.1024
vE G
.
M
2
2
.
6
,
6742
10
,
98
E
EPi  m / s 
P    v  

vvPf 
11194
ri
rf
r6370000
ri
2
R
R
f
Algumas questões
O Sputnik foi o primeiro satélite artificial da Terra,
lançado pelos soviéticos a 4 de Outubro de 1957. Foi
uma data memorável na história da Humanidade, não só
pelo significado da proeza técnica como nas
implicações políticas - os americanos sentiram-se
ameaçados por este objeto que os espiava "lá de cima"
e iniciaram a corrida ao espaço, em competição com a
URSS. Era plena Guerra Fria!
Sputnik
O Sputnik emitia um sinal de radio audível sobre uma
portadora de 20 e 40 MHz que podia ser captada por
qualquer rádio amador em todo o mundo. As baterias do
emissor duraram 22 dias, pelo que o bip-bip calou-se a
22 de Outubro de 1957.
O Sputnik tinha uma órbita bastante excêntrica, sendo a
distância máxima do satélite em relação à Terra de
939km. Sabendo que o período do satélite em torno da
Terra era de 96 min, calcule a distância de maior
proximidade do satélite em relação à superfície da
Terra, tendo em conta os seguintes dados do nosso
satélite natural:
Raio
2 384 400 km
2
3
2 da Lua:
2 da órbita
T
T
.
r
T
Sputnik
Lua 27,3
Período
do T
movimento
da Lua 3em redorSputnik
da Terra:
Lua

K



r

Sputnik
3
3
2
dias
r3
rLua
rSputnik
TLua
Raio da Terra: 6370 km.
2 da Lua,
3 ao contrário da do Sputnik
2
Obs.:A órbita
é
TSputnik
.rLua
TSputnik
pouco
podem
3
rSputnik excêntrica,
3
 considerá-la
rSputnik  rLua .uma
2
2
circunferência.TLua
TLua
Resolução
rSputnik  38440000.3
96.602
27,3.24.60.60
2

rSputnik  6970770 m
rMAX  rMIN
 6970770 m
2
939000  6370000  rMIN  6970770 m
2
rMIN  6632540 m  R  h  6632540 m 
h  6632540  6370000  h  262540 m
h  262,5 km
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
A beleza e a harmonia das formas são
características
que
sempre
procuramos identificar ao nosso
redor. As
formas perfeitas e
simétricas sempre nos chamam mais
a atenção que os objetos que não
apresentam essas características.
Um belo rosto é sempre aquele que
traz as formas mais proporcionais,
simétricas e harmoniosas. Platão
associava o belo ao bom. Para esse
filósofo, a beleza absoluta, que seria
imutável
e
universal,
estaria
relacionada à ordem, à simetria, à
harmonia
e
às
proporções
equilibradas.
Ao
fazer
essa
associação, chegava a considerar
que o bem supremo seria a junção de
um corpo belo com uma mente bela.
Apolo lício
(museu do
Louvre)
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
A busca da harmonia também alcançou os céus.
Pitágoras, no século 6 a.C., construiu uma teoria da
harmonia das esferas celestes, na qual havia uma
consonância das notas que os astros produziriam em
seus movimentos regulares. O cosmos todo executaria
uma música universal – a música das esferas.
Ele percebeu que os sons musicais harmoniosos são
emitidos por uma corda vibrante cujo comprimento é
dividido segundo proporções simples, ou seja, existe
uma relação entre sons harmoniosos e números
inteiros. Reduzindo-se o comprimento da corda de um
violão à metade, esta passa a emitir um som uma oitava
acima, isto é, com o dobro da freqüência. Dessa forma,
para Pitágoras, relações desse tipo indicavam que
“todas as coisas eram números inteiros”.
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
A busca pela harmonia cósmica prosseguiu com um dos
mais importantes cientistas de todos os tempos: o
alemão Johannes Kepler (1571-1630). Segundo consta,
durante uma das suas aulas na Escola Luterana de
Graz, na Áustria, em 1594, Kepler considerou que não
deveria ser uma simples coincidência o fato de
existirem apenas cinco sólidos regulares – tetraedro,
cubo, octaedro, dodecaedro e o icosaedro, com 4, 6, 8
12 e 20 faces, respectivamente – e seis planetas
conhecidos na época – Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter
e Saturno.
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
Ele imaginou que cada um desses
sólidos
geométricos
estaria
circunscrito por uma esfera, de
forma a obter seis esferas
concêntricas com raios que
seriam
iguais
às
trajetórias
circulares dos planetas em torno
do Sol, colocado no centro desse
arranjo.
No
entanto,
como
sabemos atualmente, o modelo
proposto por Kepler é apenas belo
e não representa a realidade, pois
existem outros planetas no nosso
Sistema Solar e mais de uma
centena orbitando outras estrelas.
Contudo, esse modelo permitia
obter o raio das órbitas dos
planetas com uma precisão da
ordem de 5%.
Johannes Kepler propôs
um modelo do Sistema
Solar que associava
cada um dos planetas
conhecidos aos sólidos
regulares. Imagem
publicada originalmente
em Mysterium
Cosmographicum
(1596).
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
As quatro forças fundamentais
A procura pela harmonia cósmica pode ser entendida,
nos dias de hoje, como a busca por leis físicas
fundamentais que, em princípio, descrevam todos os
fenômenos da natureza. Conhecemos atualmente
quatro
forças
fundamentais:
gravitacional,
eletromagnética, nuclear forte e nuclear fraca. Todas
essas forças moldam o nosso universo.
A gravidade é a mais importante para os processos em
grande escala, pois determina os movimentos das
galáxias, estrelas e planetas, bem como nos mantém
presos à superfície da Terra. Por meio da força
eletromagnética, átomos e moléculas se combinam e
formam toda a matéria conhecida. As forças nucleares
fortes e fracas determinam a estrutura do núcleo
atômico, sendo que a primeira é responsável pela
coesão do núcleo e a segunda pelos processos de
decaimento radioativo.
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
Existiria ainda uma quinta força que atua apenas no
universo na escala de bilhões de anos-luz e funciona
como se fosse uma “antigravidade cósmica” que
controla a expansão do universo. Contudo, ainda não se
tem uma explicação definitiva sobre ela. Três dessas
forças (eletromagnética, nuclear forte e fraca) são
explicadas no âmbito da mecânica quântica, enquanto a
gravidade é explicada pela teoria da relatividade geral
de Einstein. Essas duas teorias não conseguem ser
compatibilizadas, pois partem de idéias e princípios
totalmente distintos. A primeira descreve o universo na
escala atômica, e a segunda, na escala cósmica.
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
O “Santo Graal” da física
Até o momento, não houve sucesso em encontrar uma
teoria que descreva a harmonia cósmica por completo.
Uma das tentativas para resolver esse desafio é a
chamada “teorias de cordas”, na qual os blocos
fundamentais da natureza seriam “cordas” com
dimensão na ordem de 10-35 metros que vibrariam no
espaço e no tempo.
Nessa proposta, seria possível se obter uma única
teoria que reunisse a gravidade e as outras forças da
natureza, desde que o universo tivesse dez dimensões
espaciais e uma temporal, explicando assim as
características da forças fundamentais da natureza.
Entretanto,
ainda
não
foi
possível
verificar
experimentalmente as previsões feitas pelas teorias de
cordas. Espera-se que nos próximos anos sejam
descobertas as primeiras evidências da existência
desses entes físicos.
Anexo: A harmonia cósmica por Adilson de Oliveira
Talvez a teoria das cordas seja o “Santo Graal” da
Física. Seria como voltar à música das esferas proposta
por Pitágoras há 2500 anos. Desta vez, as notas da
sinfonia cósmica seriam tocadas por cordas que
vibrariam muito além da nossa percepção cotidiana.
Contudo, nem sempre a beleza reflete a realidade e,
talvez, essa teoria seja apenas mais um dos sonhos em
busca da beleza eterna e imutável.
Adilson de Oliveira
Departamento de Física
Universidade Federal de São Carlos
19/09/2006
Referências
Wikipedia: http://pt.wikipedia.org
Questão do Sputnik:
http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?p=4403&sid=a21086
93e66a686d1b11c5d8dc51a6c9
Ciência Hoje: http://cienciahoje.uol.com.br/58318