3. Gravitação

GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
Professor André
O SISTEMA SOLAR
Planeta anão
Planetas em escala
Posição do Sistema Solar
na galáxia
Sistemas planetários
O mais famoso sistema
planetário grego foi o de
Cláudio Ptolomeu (100170), que considerava a
Terra como o centro do
Universo (sistema
geocêntrico).
Segundo esse sistema,
cada planeta descrevia
uma órbita circular
cujo centro descreveria
outra órbita circular em
torno da Terra.
Nicolau Copérnico (14731543), astrônomo polonês,
criou uma nova concepção
de Universo, considerando
o Sol como seu centro
(sistema heliocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a
Terra, descrevia uma órbita circular em torno do
Sol.
Entretanto, o modelo de
Copérnico não foi aceito pelo
astrônomo dinamarquês Tycho
Brahe (1546-1601), segundo o
qual o Sol giraria em torno da
Terra e os planetas em torno do
Sol.
Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a
seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630),
que tentou, em vão, explicar o movimento
dos astros por meio das mais variadas
figuras geométricas.
Baseado no heliocentrismo, em sua
intuição e após inúmeras tentativas, ele
chegou à conclusão de que os planetas
seguiam uma órbita elíptica em torno do
Sol e, após anos de estudo, enunciou três
leis.
LEIS
DE
KEPLER
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em
torno do Sol são elipses nas
quais ele ocupa um dos focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das
distâncias aos focos é constante.
a+b=c+d
b
a
Foco
Foco
c
d
ELIPSE
2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta
(linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é
diretamente proporcional ao tempo gasto
para descrevê-la.”
Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas
Afélio
são descritas.
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A2
A1
Velocidade Areolar = A
t
A2
A1
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo
de sua órbita elíptica. Logo:
A1 = A2
t1
t2
Sol
planeta
Afélio
Afélio  ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol
Periélio
Periélio  ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol
A2
A1
A velocidade linear no periélio é maior que no afélio.
Afélio = 29,3 km/s
Periélio = 30,2 km/s
3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de
um planeta em torno do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua
elipse orbital.”
Raio Médio  média aritmética entre as distâncias
máxima e mínima do planeta ao Sol.
2
T

cons
tan
te
3
R
Planeta
T
(dias terrestres)
R
(km)
Mercúrio
88
5,8 x 107
Vênus
224,7
1,08 x 108
Terra
365,3
1,5 x 108
Marte
687
2,3 x 108
7,8 x
108
Júpiter
4343,5
Saturno
10767,5
1,44 x 109
Urano
30660
2,9 x 109
Netuno
60152
4,5 x 109
Plutão
90666
6,0 x 109
T2/R3
4,0 x 10-20
EQUINÓCIOS E SOLSTÍCIOS
AS FASES DA LUA
As Leis de Kepler dão uma visão
cinemática do sistema planetário.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de
força o Sol exerce sobre os planetas,
obrigando-os a se moverem de acordo
com as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por
Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
LEI DA GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
“Dois pontos materiais se atraem
mutuamente com forças que têm a direção da
reta que os une e cujas intensidades são
diretamente proporcionais ao produto de
suas massas e inversamente proporcionais
ao quadrado da distância que os separa.”
M
F
F
m
r
GMm
F 
2
r
G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)
Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:
Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair
os planetas em sua direção
Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade
do planeta para que possa escapar do campo de
atração gravitacional do Sol
A densidade de um planeta influencia na sua
velocidade de rotação
(quanto mais denso, mais lento)
Cálculo da aceleração da
gravidade
FG  Peso
GMm
r
2
 mg
GM
g 2
r
Corpos em órbitas circulares
Satélites
Naturais
Artificiais
Lua
Telecomunicações
v
MCU
FC  Fg  Peso
mv2 GMm
 2
r
r
GM
v
r
mv 2
 mg
r
v  rg
Questões
1. (Udesc 2011) Analise as proposições a seguir sobre as principais características
dos modelos de sistemas astronômicos.
F I. Sistema dos gregos: a Terra, os planetas, o Sol e as estrelas estavam incrustados
em esferas que giravam em torno da Lua.
V II. Ptolomeu supunha que a Terra encontrava-se no centro do Universo; e os
planetas moviam-se em círculos, cujos centros giravam em torno da Terra.
V III. Copérnico defendia a ideia de que o Sol estava em repouso no centro do
sistema e que os planetas (inclusive a Terra) giravam em torno dele em órbitas
circulares.
V IV. Kepler defendia a ideia de que os planetas giravam em torno do Sol,
descrevendo trajetórias elípticas, e o Sol estava situado em um dos focos dessas
elipses.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
2. (Ufrs 2011) Considere o raio médio da órbita de Júpiter
em torno do Sol igual a 5 vezes o raio médio da órbita da
Terra.
Segundo a 3a Lei de Kepler, o período de revolução de
Júpiter em torno do Sol é de aproximadamente:
a) 5 anos.
b) 11 anos.
c) 25 anos.
d) 110 anos.
e) 125 anos.
Resolução questão 2:
Temos que:
Pela 3ª Lei de Kepler:
B
3. (Unicamp 2011) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da
Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração
gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M , dada
por sendo G = 6,7 x 10−11 Nm2 /kg2 a constante de gravitação
universal. Sabendo-se o valor de G, o raio da Terra, e a
aceleração da gravidade na superfície da Terra, foi possível
encontrar a massa da Terra, Mt = 6,0 x 1024 kg.
A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite
orbitando a Terra é igual a g = 0,25m/s2.
A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de:
a) 1,7 x 103 km.
b) 4,0 x 104 km.
c) 7,0 x 103 km.
d) 3,8 x 105 km.
Resolução questão 3:
Dados: Mt = 6,0  1024 kg; G = 6,7  10−11 N.m2 /kg2; g = 0,25 m/s2
Da expressão dada:
GM
g= 2
d
d=
G Mt

g
6,7  1011  6  1024
 16  1014  4  107 m
0,25
d = 4  104 km
B