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O que você deve saber sobre NÚMEROS COMPLEXOS Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente. I. Introdução No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo. NÚMEROS COMPLEXOS II. Forma algébrica Números complexos representados na chamada forma algébrica: em que a e b são números reais, e i é chamado unidade imaginária. A unidade imaginária é um número i tal que: Decorrência da definição anterior: NÚMEROS COMPLEXOS II. Forma algébrica • Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z). • Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z). • Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero. • Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro. • Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. • Definição do conjunto dos números complexos: NÚMEROS COMPLEXOS III. Operações com números complexos Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di: Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias: Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva: NÚMEROS COMPLEXOS III. Operações com números complexos Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado. O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por: O produto de um número complexo por seu conjugado resulta sempre em um número real. Assim, para obter o quociente w , z devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z: NÚMEROS COMPLEXOS III. Operações com números complexos Potências de i: observe na tabela que os resultados se repetem a partir da quarta potência de i: Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado, divide-se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i. NÚMEROS COMPLEXOS IV. Representação geométrica de número complexo Representação por um ponto O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P. i NÚMEROS COMPLEXOS IV. Representação geométrica de número complexo • Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P. • Módulo de z: indicado pela letra grega (rô), é definido como a medida do segmento OP e dado por: • Direção de z: indicada pelo ângulo (0 ≤ ≤ 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z. NÚMEROS COMPLEXOS IV. Representação geométrica de número complexo Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu módulo e de seu argumento na forma algébrica, podemos também representá-lo na forma trigonométrica ou polar: NÚMEROS COMPLEXOS V. Operações na forma trigonométrica Dados dois números complexos z1 = 1(cos 1 + i sen 1) e z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos: Produto Quociente Potenciação (1a fórmula de De Moivre) NÚMEROS COMPLEXOS V. Operações na forma trigonométrica Radiciação (2a fórmula de De Moivre) Todo número complexo w, tal que wn = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula: com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n e n > 1. Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas raízes distintas de z, todas de mesmo módulo n p; e argumentos distintos iguais θ 2k . No plano imaginário, os pontos que representam as n n raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio e ; n a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada um 2 . n NÚMEROS COMPLEXOS EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 2 (UFRJ) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + 2 3i . RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 3 (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ao lado. Determine o tiro certeiro de z em w. RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 4 (Fuvest-SP) A figura representa o número no plano complexo, sendo i = Nessas condições: 1 3i 2 1 a unidade imaginária. a) determine as partes real e imaginária de 1 e de 3. RESPOSTA: b) represente 1 e na figura a seguir. c) determine as raízes complexas da equação z3 – 1 = 0. NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 7 (Ufal) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z. Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b a. RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 8 (UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem. Se x = 3 + i, determine y, z e w. RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1 12 (UFRN) Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondência biunívoca z = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir. a) Represente, no plano XY anterior, os números complexos z1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i. RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1 12 b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta Oz1 e Oz2 e calcule o ângulo z1Ôz2. RESPOSTA: c) Se z = a + bi, prove que z’ = iz é obtido girando-se z 90º no sentido anti-horário, em torno da origem. RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1 14 (Unicamp-SP) Um número complexo z = x + iy, z 0, pode ser escrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos + i sen ), onde | z | x y = cos = | XZ | . Essa forma de representar os números complexos não nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre: 2 2 que é valida para todos t a) calcular b) sendo z = . Use essas informações para: 3i 12 . 2 2 i , 2 2 calcular o valor de 1 + z + z2 + + z3 + ... + z15. NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR RESPOSTA:
