+ z

O que você deve saber sobre
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos
números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das
resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem
aceitos e usados amplamente.
I. Introdução
No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um
conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A
teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números
reais, como representado abaixo.
NÚMEROS COMPLEXOS
II. Forma algébrica
Números complexos representados na chamada forma algébrica:
em que a e b são números reais, e i é chamado unidade
imaginária.
A unidade imaginária é um número i tal que:
Decorrência da definição anterior:
NÚMEROS COMPLEXOS
II. Forma algébrica
• Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z).
• Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z).
• Todo número real é complexo e pode ser representado como tal,
desde que sua parte imaginária b seja igual a zero.
• Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número
imaginário puro.
• Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter
suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais.
• Definição do conjunto dos números complexos:
NÚMEROS COMPLEXOS
III. Operações com números complexos
Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di:
Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas
respectivas partes reais e imaginárias:
Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva:
NÚMEROS COMPLEXOS
III. Operações com números complexos
Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado.
O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por:
O produto de um número complexo por seu conjugado resulta
sempre em um número real. Assim, para obter o quociente w ,
z
devemos multiplicar numerador e denominador
pelo conjugado de z:
NÚMEROS COMPLEXOS
III. Operações com números complexos
Potências de i: observe na tabela que os resultados
se repetem a partir da quarta potência de i:
Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado,
divide-se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se
o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i.
NÚMEROS COMPLEXOS
IV. Representação geométrica de número complexo
Representação por um ponto
O número complexo z = a + bi é representado, no plano de
Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e
z é denominado afixo do ponto P.
i
NÚMEROS COMPLEXOS
IV. Representação geométrica de número complexo
•
Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor
OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P.
•
Módulo de z: indicado pela letra grega  (rô), é definido como a
medida do segmento OP e dado por:
•
Direção de z: indicada pelo ângulo  (0 ≤  ≤ 2), que o vetor
estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como
argumento de z.
NÚMEROS COMPLEXOS
IV. Representação geométrica de número complexo
Representação trigonométrica: como decorrência da representação de
um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu
módulo  e de seu argumento  na forma algébrica, podemos também
representá-lo na forma trigonométrica ou polar:
NÚMEROS COMPLEXOS
V. Operações na forma trigonométrica
Dados dois números complexos z1 = 1(cos 1 + i sen 1) e
z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos:
Produto
Quociente
Potenciação (1a fórmula de De Moivre)
NÚMEROS COMPLEXOS
V. Operações na forma trigonométrica
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Todo número complexo w, tal que wn = z, é denominado raiz enésima
de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula:
com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n 
e n > 1.
Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas
raízes distintas de z, todas de mesmo módulo
n
p; e argumentos distintos
iguais θ  2k . No plano imaginário, os pontos que representam as n
n
raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio e ;
n
a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada
um 2 .
n
NÚMEROS COMPLEXOS
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(UFRJ)
Determine o módulo, o argumento e represente graficamente
o número complexo z = 2 + 2 3i .
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(UFRJ)
No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w,
chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w
é o número complexo t tal que tz = w.
Considere a mira z e o alvo w
indicados na figura ao lado.
Determine o tiro certeiro de z em w.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(Fuvest-SP)
A figura representa o número
no plano complexo, sendo i =
Nessas condições:

 1  3i
2
1 a unidade imaginária.
a) determine as partes real e imaginária
de 1 e de 3.

RESPOSTA:
b) represente 1 e  na figura a seguir.

c) determine as raízes complexas da equação z3 – 1 = 0.
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(Ufal)
Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z.
Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor
da diferença b  a.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
8
(UFC-CE)
Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidem
com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem.
Se x = 3 + i, determine y, z e w.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
(UFRN)
Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondência biunívoca
z = a + bi  P = (a, b), conforme ilustração a seguir.
a) Represente, no plano XY anterior, os números complexos
z1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta
Oz1 e Oz2 e calcule o ângulo z1Ôz2.
RESPOSTA:
c) Se z = a + bi, prove que
z’ = iz é obtido girando-se z 90º
no sentido anti-horário, em
torno da origem.
RESPOSTA:
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
14
(Unicamp-SP)
Um número complexo z = x + iy, z
 0, pode ser
escrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos  + i sen ), onde
| z | x  y = cos  = | XZ | .
Essa forma de representar os números complexos não nulos é muito
conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de
números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:
2
2
que é valida para todos t
a) calcular

b) sendo z =

. Use essas informações para:
3i

12
.
2
2
i
,
2
2
calcular o valor de 1 + z + z2 +
+ z3 + ... + z15.
NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA: