Passos para o Cálculo de Limites

Ensino Superior
Cálculo 1
1.5- Passos para o Cálculo de Limites
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites
PASSOS A SEGUIR PARA O CÁLCULO DE LIMITES
1. Avaluar para saber se é um límite direto ou se estamos
na presença de uma forma indeterminada.
2. TENTAR desaparecer com a indeterminação através de
operações algébricas: fatoração, produtos notáveis,
racionalização, sustituição de alguma identidade
trigonométrica ... se for o caso...
Problema 1
Determine os seguintes limites:
1)
2)
lim
x 0
x4 2
, Rpta : 1/4
x
lim
1 x  1 x
, Rpta : 1
x
x 0
1/3
3)
lim
x 1
4)
lim
x 3
1/3
 x2  x  2 
3
3

3
 3

;
Rpta
:



 x  4x 2  3x 
2
2




x 2  2, si x  3
f(x); donde f(x)  
1/ x  1, si x  3
Problema 2
Utilize as regras para calcular limites para determinar:
x4 1
1) lim
x 1 x - 1
3) lim
x a
4) lim
x 4
x2
2) lim
x 2 4 - x 2
xb  ab
,
2
2
x a
ab
4x  x 2
2 x
2x  4, x  0
5) lim f(x); f(x)  
x  1, x  0
x 0

Problema 3
Utilize as propriedades para achar os seguientes limites:
a. lim
x 1
2x (x  1)
x 1
b. lim  (x  3)
x  2
x2
(x  2)
Cálculo 1 - Limites
LIMITES INFINITOS
Utilize propriedades para achar os seguintes limites:
a. lim
x 1
2x (x  1)
x 1
b. lim  (x  3)
x  2
x2
(x  2)
Problema 4
Com a informação que aparece a seguir, construa o gráfico
de F(x):
lim F(x)  4; lim F(x)  2
x 3
x 3
F(3)  3; F(2)  1
Problema 5
Com a informação que aparece a seguir, construa o gráfico
de F(x):
lim F(x)  -1; lim F(x)  1
x 0
x 0
lim F(x)  1; lim F(x)  0
x 2
x 2
F(2)  1; F(0) indefinida
Cálculo 1 - Limites
TEOREMA DO SANDWICH

Caso a seguinte afirmção seja verdadeira (para
todo x pertencente a algum intervalo aberto que
contenha c): g(x)  f(x)  h(x)

Sendo que: lim g(x)  lim h(x)  L
xc

Então: lim f(x)  L
x c
xc
Cálculo 1 - Limites
TEOREMA DEL SANDWICH
y
h(x)
f(x)
L
g(x)
c
x
Cálculo 1 - Limites
PROBLEMA

1. Se 2  x 2  f(x)  2cosx, para toda , ache lim f(x)

2. Dada a função g(x) = x sen (1/x). Determine:
x 0
lim g(x)
x0
(trabalhe graficamente)
Cálculo 1 - Limites
PROBLEMA
A partir do gráfico da função:
f(x)  x cos( 1
2
x
3
)
Determine, fazendo zoom na origem, o valor de:
lim f(x)
x0
* Confirme seu resultado com uma demonstração.
Cálculo 1 - Limites
PROBLEMA
Analize o comportamento da função dada próximo de x = - 4
5
f(x) 
(x  4)2
Esta função mostra um comportamento consistente ao
rededor de x = - 4, se pode dizer que este limite vale .
5
5

lim
2
x  4 (x  4)2
x  4  (x  4)
5
 lim
 
2
x  4 (x  4)
lim
Cálculo 1 - Limites
Graficamente...
5/(x+4)^2
y
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-8
-6
-4
-2
x
0
2
4
x