Movimento Harmônico Simples (MHS)

FIS 503 – Física Geral IV
Prof. Paulo Waki E-mail: [email protected]
Universidade Federal de Itajubá
Movimento Oscilatório:
Movimento de “vai-e-vem”
em torno de um ponto de
equilíbrio.
Movimento Periódico:
Movimento que se repete
em intervalos de tempo
iguais (PERÍODO).
Movimento Harmônico Simples
(MHS) é simultaneamente
OSCILATÓRIO e PERIÓDICO.
Onde x é o deslocamento do corpo
em relação ao ponto de equilíbrio.
Fres
Fres = - k.x
X = 0 no ponto de
equilíbrio.
X > 0  F para
esquerda.
X < 0  F para
direita.
k é a constante
elástica da mola

Fres x  k.xxˆ 
2a LEI DE NEWTON:


Fres  m.a

  d 2r 
a   2 
 dt 

Fres x  k.xxˆ 
Equação
Diferencial

m.a  k.xxˆ 
d 2x
m. 2 xˆ   k .xxˆ 
dt
d 2x
k
   x
2
dt
m2

d 2x
2



x
2
dt
d 2x
m. 2 xˆ   k .xxˆ 
dt
k
  
m
2
Pergunta: Que função x(t) é tal que sua derivada segunda dá ela mesma?
Resposta:
xt   sin .t 
ou
xt   cos.t 
Solução Geral: Combinação Linear das duas soluções particulares.
xt   A1 sin .t   A2 cos.t 
xt   A1 sin .t   A2 cos.t 
Sempre é possível escrever:
A1  A cos0 
e
A2  A sin 0 
xt   A cos0 sin .t   A sin 0 cos.t 
xt   A sin .t  0 
Onde: A é a amplitude máxima do MHS;  a freqüência angular
e 0 o ângulo de fase inicial do movimento.
Condições Iniciais: os valores de A e 0 são determinados a
partir das condições iniciais do problema.
xt   A sin .t  0 
Velocidade:
Aceleração:
Lembrando:
k

m
dxt 
vt  
dt
dvt 
at  
dt
vt   A cos.t  0 
at    2 A sin .t  0 
Freqüência:

1
f 

2 2
Período:
k
m
1
m
T   2
f
k
xt   A sin .t  0 
vt   A cos.t  0 
at    2 A sin .t  0 
Energia Cinética:
Ecin
Mas:
1 2
 mv
2
Ecin
m  k
2
1
 m 2 A2 cos 2 .t  0 
2
Ecin
1 2
 kA cos 2 .t  0 
2
Sistema Conservativo:
A força elástica da mola é conservativa, ou seja,
a energia mecânica do sistema se conserva:
Emec  Ecin  E pot  const
Energia potencial é a energia armazenada no sistema a partir do trabalho realizado por
um agente externo, que realiza este trabalho contra a força conservativa do sistema.
E pot   Fext x .dx
x
0
Mas: Fext = - Fmola
E pot
1 2
 k .x
2
E pot    Fmola x .dx   k.x.dx
E pot
x
x
0
0
1 2 2
 kA sin .t  0 
2
Energia Cinética:
Energia Potencial:
Ecin
1 2
 kA cos 2 .t  0 
2
E pot
1 2 2
 kA sin .t  0 
2
Energia Mecânica:
Emec


1 2
1 2
2
2
 kA cos .t  0   sin .t  0   kA
2
2
Equilíbrio de Forças:
T = Py  T = mg.cosq
Movimento Oscilatório:
A componente x do peso será
responsável pelo movimento
oscilatório do pêndulo.
Fres = mg.senq
Quando o ângulo de oscilação é pequeno, a
trajetória do pêndulo pode ser considerada
retilínea, na direção do eixo x.

Fres q   mg sin q xˆ 
q
Para ângulos q muito pequenos:
x
sin q  tan q  q 
L
L
Finalmente:
Fres
0
x
x

mg
Fres q   
xxˆ 
L

mg
Fres q   
xxˆ 
L
mg
k
L
q
Constante
Elástica
Freqüência Angular:
L
k
m

Período:
Fres
0

g
L
x
x
T
2

L
T  2
g
Semelhante ao pêndulo simples,
apenas que o movimento é de rotação.
Torque restaurador:
k
  k .q
é o módulo de torção
Da 2a Lei de Newton
para mov. de rotação:
d 2q t 
k
  q t 
2
dt
I
I é o momento de inércia
Equação Horária do Movimento
q t   qm sin .t  0 
Período:
T  2
I
k