parte4

8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 4
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
hoje
8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs
8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
8. EDO’s
8.3.1. INTRODUÇÃO
 Se para calcular y i  y  x i , usamos apenas
y i 1  y xi 1  , então dizemos que o Método
é de Passo Um ou de Passo Simples.
 Porém se usarmos mais valores teremos
um Método de Passo Múltiplo.
 Para PVI’s de primeira ordem temos que
y x 0   y 0 é uma aproximação inicial para
a solução. Problema auto-iniciante.
 Para Métodos de Passos Múltiplos devemos ter estratégias para as aprox. iniciais.
8. EDO’s
8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth
 Considere a EDO
d
y 
y  f x, y 
dx
 Suponha que exista uma única solução do
problema no intervalo de interesse.
 Suponha que conhecemos aproximações
para y (x) em x0 , x1 , x 2 , .... , x n e que
xi 1  xi  h
para
i  0,1,2...., n
8. EDO’s
8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth
 Os procedimentos do tipo Adams-Bashforth
consistem em integrar a EDO
d

y 
y  f x, y 
dx
de x n até x n 1 , ou seja,
x n 1
x
n
y ( x) dx 
x n 1
x
f x, y ( x) dx
n
 y ( x n 1 )  y ( x n ) 
x n 1
x
f x, y ( x) dx
n
e resolver a integral por quadratura numérica.
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Se aproximarmos a integral utilizando
x n , x n 1 , x n 2 , ...., x n m
então temos um método explícito. Vamos
aproximar f ( x, y( x)) por um polinômio p m (x )
de grau m , que interpola f ( x, y( x)) em
x n , x n 1 , x n 2 , ...., x n m
 y( xn1 )  y( xn ) 
xn 1
x
n
pm(x) dx
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Se escolhermos m  3 a função f ( x, y( x))
será aproximada por p 3 ( x ) . Chamando

f n j  f x n j , y n j


onde j  0,1,2,3 e
x j 1  x j  h
f ( x, y ( x))  y ( x)  p3 ( x) 
L3 f n3  L2 f n2  L1 f n1  L0 f n
onde as formas de Lagrange são dadas por
x  x0 x  x1 ............x  xk 1 x  xk 1 ...........x  xn 
Lk ( x) 
xk  x0 xk  x1 ............xk  xk 1 xk  xk 1 ...........xk  xn 
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Então:
x  xn2 x  xn1 x  xn   1
x  xn2 x  xn1 x  xn 
L3 ( x ) 

3
 h 2h 3h
6h
x  xn3 x  xn1 x  xn  1
x  xn3 x  xn1 x  xn 
L 2 ( x ) 

3
h h 2h
2h
L1 ( x) 
x  x n3 x  x n2 x  x n   1
 3 x  x n 3 x  x n  2 x  x n 
2h h  h 
2h
x  xn3 x  xn2 x  xn1  1
L0 ( x) 
 3 x  x n3 x  x n2 x  x n1 
3h2hh
6h
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Fazendo a mudança de variáveis
x  xn
x  xn  s h 
s
h
temos que dx  h ds e x  h s  x n .
Segue que:
x  x n3  s  3 h
x  x n1  s  1 h
x  x n2  s  2 h
x  xn  s h
onde x n3  x n  3h , x n2  x n  2h ...
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Através da mudança de variáveis
L 3 
1
6h
L 2 ( x ) 
1




s  2s  1s


x

x
x

x
x

x

n2
n 1
n
3
6
1
2h
1




s  3s  1s


x

x
x

x
x

x

n 3
n 1
n
3
2
1
1
s  3s  2s
L1 ( x)  3 x  x n 3 x  x n  2 x  x n  
2
2h
L0 ( x) 
1
6h
1




s  3s  2s  1


x

x
x

x
x

x

n 3
n2
n 1
3
6
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Enfim, y ( x n 1 )  y ( x n )  
xn 1
xn
x n 1
x
n
p3(x) dx
1
h

p3(x) dx   f n 3
s  2s  1s ds 
0
6
1
h

 f n2
s  3s  1s ds 
0
2
1
h

 f n 1
s  3s  2s ds 
0
2
1
h

 fn
s  3s  2s  1 ds
0
6




onde
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Enfim,
x n 1
y ( x n 1 )  y ( x n )  
p3(x) dx
xn
h
55 f n  59 f n1  37 f n2  9 f n3 
y n 1  y n 
24
 Neste ponto fica claro que temos um
método de passos múltiplos explícito,
pois para calcular
y n 1 utilizamos
f n , f n 1 , f n 2 , f n 3
8. EDO’s
8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
 Sobre os erros do Método de AdamsBashforth Explícito
Da teoria de interpolação, quando interpolamos f por um polinômio de grau m=3, o erro
cometido é localmente de grau 5.
1
e( x n1 ) 
4!
h5

4!
xn 1
x
x  xn3 x  xn2 x  xn1 x  xn  f iv   x , y x  dx
n
xn 1
x
n
s  3s  2s  2s  f iv   x , y x  dx
8. EDO’s
8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
 Se aproximarmos a integral utilizando
x n1 , x n , x n1 , ...., x nm
então temos um método implícito. Vamos
aproximar f ( x, y( x)) por um polinômio
p m1 ( x) , onde m  2 , que interpola f ( x, y( x))
em x n 1 , x n , x n 1 , x n  2 .
 y n 1  y n 
 yn 
x n 1
x
p3 ( x) dx
n
x L2 ( x) f n2  L1 ( x) f n1  L0 ( x) f n  L1 ( x) f n1 
x n 1
n
8. EDO’s
8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
onde:
x  xn1 x  xn x  xn1   1
L 2 ( x ) 
 3 x  x n1 x  x n x  x n1 
 3h 2h h
6h
x  xn2 x  xn x  xn1  1
x  xn2 x  xn x  xn1 
L1 ( x) 

3
h h 2h
2h
L0 ( x) 
x  x n2 x  x n1 x  xn1   1
 3 x  x n  2 x  x n 1 x  x n 1 
2h h  h 
2h
x  xn2 x  xn1 x  xn  1
L1 ( x) 
 3 x  x n2 x  x n1 x  x n 
3h2hh
6h
8. EDO’s
8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
 De modo análogo, fazendo
x  xn
x  xn  s h 
s
h
temos que dx  h ds e x  h s  x n .
Segue que:
x  x n2  s  2 h
x  x n1  s  1 h
x  x n1  s  1 h
x  xn  s h
8. EDO’s
8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
 Através da mudança de variáveis
1
1
s  2 s s  1
L
(
x
)

s  1 s s  1
1
L2 
2
6
1
1
s  2s  1s  1 L1 ( x)  s  2s  1 s
L0 ( x) 
2
6
 Enfim,
h
y n1  y n  9 f n1  19 f n  5 f n1  f n2 
24
que é um método de passos múltiplos
implícito.
8. EDO’s
8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
 Sobre os erros do Método de AdamsBashforth Implícito
Da teoria de interpolação, quando interpolamos f por um polinômio de grau m=3, o erro
cometido é localmente de grau 5.
1
e( x n1 ) 
4!
h5

4!
xn 1
x
x  xn2 x  xn1 x  xn x  xn1  f iv   x , y x  dx
n
xn 1
x
n
s  2s  1s s  1 f iv   x , y x  dx
8. EDO’s
8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
Exemplo 1: Para o PVI dado, estime y (1) .
PVI:
y   0.04 y
com
y (0)  1000
Pelo Método de Runge-Kutta com:
•
•
1ª ordem y(1)  1040 .604
2ª ordem y(1)  1040 .8101
•
•
3ª ordem y(1)  1040 .8107
4ª ordem y(1)  1040 .8107
Com h=0.25
Com h=1
8. EDO’s
8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
Exemplo 1: Para o PVI dado, estime y (1) .
PVI:
y   0.04 y
com
y (0)  1000
Utilizando h  0.2 e os quatro dados iniciais
y 0 ( x0  0)  1000
y 2 ( x 2  0.4)  1016 .1287
y1 ( x1  0.2)  1008 .0321
,
,
y3 ( x3  0.6)  1024 .2903
8. EDO’s
8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
xn
yn
f n  f ( xn , y n )
y n sol. exata
0.0
1000
40
1000
0.2
1008.0321 40.321284 1008.0321
0.4
1016.1287 40.645148 1016.1287
0.6
1024.2903 40.971612 1024.2903
0.8
1032.517487 41.30069948
1.0
1040.810756
Roxo: 4 dados iniciais
1032.5175
1040.810774
Laranja: Valores calculados