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ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 05: MODELAGEM E PROBLEMAS DIVERSOS
TÓPICO 02: PROBLEMAS DIVERSOS
VERSÃO TEXTUAL DO FLASH
Vamos aproveitar esse tópico para apresentar alguns fatos e
alguns problemas que complementam as aulas anteriores.
EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM MAIOR QUE DOIS
Para começar, lembramos que na aula 03 concentramos nossos
estudos nas EDO’s lineares de segunda ordem com coeficientes constantes,
homogêneas e também não-homogêneas. Nesse contexto aprendemos a
resolver as homogêneas, associando a elas uma equação quadrática
(chamada equação característica) cujas raízes eram usadas na definição de
soluções da equação. A pergunta natural é se esse mesmo método se aplicaria
para equações lineares de ordem maior que dois, com coeficientes
constantes. A resposta é afirmativa. De fato, os mesmo enunciados dos
teoremas de existência e unicidade para soluções de problemas de valor
inicial continuam valendo. É claro que a dificuldade adicional se dá por conta
do fato de que resolver uma equação algébrica de grau maior 2 pode ser um
problema difícil.
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO
PROBLEMA RESOLVIDO 03
Encontre a solução do problema de valor inicial:
Solução: clique aqui
PROBLEMA PROPOSTO 02
Resolva as seguintes equações diferenciais:
PARADA OBRIGATÓRIA
EQUAÇÕES DE BENOULLI:
Embora o estudo das equações diferenciais não-lineares em geral
seja consideravelmente mais difícil que o estudo das lineares, em alguns
casos é possível por meio de uma mudança de variáveis transformar uma
EDO não-linear em uma linear. Aqui estamos interessados em uma família
de exemplos importantes:
clique aqui
EXEMPLO
Resolver a seguinte EDO não linear:
SOLUÇÃO: CLIQUE AQUI
PARADA OBRIGATÓRIA
EQUAÇÕES DE EULER:
Muitas vezes uma equação linear de segunda ordem com
coeficientes variáveis pode ser transformada em uma equação com
coeficientes constantes por meio de uma mudança da variável dependente.
A classe mais importante de exemplos desse tipo são as chamadas
equações de Euler:
clique aqui
EXEMPLO
VEJAMOS UM EXEMPLO:
Identifique, caso seja possível, a mudança de variáveis que
transforma a equação de Euler
em uma EDO com
coeficientes constantes. Em caso afirmativo, determine a solução geral
dessa equação.
SOLUÇÃO: CLIQUE AQUI
EXERCÍCIO PROPOSTO 03
Exercício (Clique aqui) (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.)
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
O trabalho desta aula consta em escolher DOIS dos três exercícios
propostos. As soluções para estas questões devem ser postadas no
Portfólio individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho
desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo no
período indicado na Agenda do ambiente Solar.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual