9a aula

Física Computacional 9
a Eq. de Schrödinger como
caso de estudo de EDO e EDDP
1.
A equação de Schrödinger como caso de estudo de EDO e de EDDP
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
O nascimento da Mecânica Quântica há um século
Derivando a Eq. de Schrödinger
O nosso caso de estudo: unidimensional, estacionário, oscilador harmónico
Solução analítica para o estado fundamental
Estados excitados
Origem da instabilidade numérica com o método de Euler
A Eq. de Schrödinger como Eq. matricial
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Física Computacional - MEFT 2009/10 – P. Bicudo & P. Martins
1

A equação de Schrödinger como caso de estudo de
EDO e de EDP c++
◦ O nascimento da Mecânica quântica (MQ) há um século.
 Em 1899, a MQ nasce com a soma discreta da radiação de
Planck, utilizada em Física Estatística. A Física Estatística
estuda sistemas com um grande número de partículas e
calcula médias considerando os possíveis micro-estados.
 Planck conseguiu entender a radiação do corpo negro, que
inclui todos os tipos de ondas eletromagnéticas, visíveis e
invisíveis. Um exemplo de corpo negro é uma simples caixa
contendo radiação, com uma pequena janela aberta para a
passagem da radiação.
Eq. de Schrödinger ex. EDO, EDDP
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 Plank conseguiu a reproduzir os dados experimentais, limitando
as energias possíveis da radiação a valores múltiplos de um
valor muito pequeno, o quantum de radiação, onde surgiu a
constante de Planck h.
E  n  h ,
h  6.02  10
-34
Js
E
Anteriormente os físicos tinham considerado simplesmente que
todas as energias eram possíveis, tinham assumido um
continuum de energia.
E
Para os matemáticos, isto equivale a substituir a integral por
uma soma, um conceito matemático bem mais simples de
definir,



Eq. de Schrödinger ex. EDO, EDDP
Pedro Bicudo, IST 3

O efeito fotoeléctrico de Einstein (1905)
 Einstein levou mais longe o conceito de quantum de
luz, ao qual chamou de fotão . Notemos que Einstein
realizou a sua Tese em física estatística, e que desde o
liceu, ele estava interessado no problema da
velocidade da luz na relatividade.
Einstein propôs, em 1905, para resolver o problema do
efeito foto-eléctrico, que a luz seja composta de
Equanta
 h  de energia,

eV  h   eV0
e
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Pedro Bicudo, IST 4
 A MQ tornou-se verdadeiramente eficaz quando o momento
linear p=mv dos fotões e dos electrões foram
quantificados. Já em 1913 Bohr havia quantificado o
momento angular dos electrões no átomo, e em 1916,
Einstein havia quantificado o momento linear do fotão. Mas
Louis de Broglie foi mais longe na ligação entre a onda de
partículas ao longo da dualidade onda-partícula enfatizada
por Einstein em 1909. De Broglie descobriu uma relação,
p
h

 que complementa a famosa relação da energia de PlanckEinstein,
E hv
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◦ Derivando a eq. de Schrödinger.
 Na época os físicos eram especialistas em ondas, pois
no anterior século XIX tinham havido grandes
progressos nos estudos das ondas não lineares, e das
respectivas equações diferenciais. Para começar
podemos verificar que, numa onda plana,
  Nei ( kx  wt )
 existem operadores diferenciais que equivalem tanto
ao momento de de Broglie como à energia de Plank,
2
h 

,
  ik   i   px  i

2 x
x

h 
  iw   i 2 v  E  i
,
2 t
t
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 Schrödinger tentou partir de várias equações
clássicas, mas teve sucesso quando aplicou a susa
substiuição na equação da conservação da energia
mecância clássica,

p2
 V( r )  E
2m
 Chegando à Equação (de Schrödinger),




p2
 ( r , t)  V( r )  ( r , t)  E  ( r , t) 
2m



(h / 2 ) 2
h  
 ( r , t)

 ( r , t)  V( r )  ( r , t)  i
2m
2 t
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◦
O nosso caso de estudo: unidimensional, estacionário,
oscilador harmónico




No entanto esta equação é uma equaçaõ diferencial às
derivadas parciais (EDDP), e começa-se por estudar
normalmente um caso simplificado.
Podemos estudar um caso unidimensional afim de
simplificarmos o Laplaceano. E ainda podemos considerar
apenas as soluções estacionárias, entendidas por Bohr,
afim de ficarmos sem a derivada no tempo
Finalmente considerarmos uma exemplo de potencial, e
consideramos o potencial do oscilador harmónico.
Assim ficamos com uma equação diferencial ordinária
(EDO). A eq. é linear na funçãod e onda  e nas suas
derivadas, mas os coeficientes não são lineares,
(h / 2 ) 2 d 2
k 2


(
x
)

x  ( x)  E  ( x)
2
2m dx
2
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◦
Solução analítica para o caso fundamental



Para obter uma primeira solução, consideremos sem perda
de gereralidade um sistema de unidades tal que
h/2=m=k=1, ficando a eq. na forma,
d2
2

(
x
)

(x
 2 E )  ( x)
2
dx
No limite de x grande podemos desprezar a energia.
Podemos ainda supor que uma solução para x grande
deverá verificar,
d
 ( x)  x 2  ( x)   x ( x)

dx
  ( x)  Ne


x2
2
  ( x)  Ne

x2
2
Obtemos assim duas soluções, uma que diverge e outra
uma gausseana que tende para 0 para grandes x.
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
A solução que tem alguma semelhança com a solução
clássica é a solução convergente com a forma de uma
gausseana. Verifiquemos então se esta solução, para além
de ser válida para x grande, é válida para todo o x,
d
d
φ(x)  2 Ne
2
dx
dx
x2 


d 

 xNe 2 

dx 

2
2
 (x 2  1 )Ne



x2
2
x2
2
E realmente esta solução é boa, sendo a sua energia,
E0 
1
2
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◦
Estados excitados

Que outras soluções podemos ter para o memso
comportamento a grande x? Como a exponencial domina
sobre os polinómios, podemos ter soluções do tipo,
 ( x)  polinómio( x) Ne
d
ex : 2 Nxe
dx
2

x2

2

x2
2
,
 ( x 2  3) Nxe
x2

2
 E1 
3
2
Onde o estudo destes polinómios (neste caso de Hermite)
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
será dado nas cadeiras de mecânica quântica. Os
polinómios pares têm as mesma condições fronteira que o
estado fundamental
 (0)  cste,  ' (0)  0,

mas os ímpares tem uma condição fronteira diferente
 (0)  0,  ' (0)  cste,
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◦
Origem da instabilidade numérica

A origem da instabilidade numérica está na existência de
uma solução explosiva. Assim que tenhamos x2>E, a
solução é uma combinação linear entrea solução explosiva
e a solução que tende para 0.

O erro numérico faz com que as soluções que tendam para
0 já não tenham energias exactamente iguais a,
En= n+1/2, n=0,1,2...
mas sim tenham um pequeno desvio desses valores.
Se usarmos os valores de obtidos analíticamente existirá
uma mistura da componete explosiva, que, mesmo que
seja pequena, irá acabar por explodir.
No entanto, numéricamente, mesmo assim podemos obter
uma solução excelente, muitíssimo próxima da solução
analítica.


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◦
A Eq. de Schrödinger como Eq. matricial

Podemos tratar a Eq. de Schödinger como uma Eq.
matricial onde a energia E é um valor próprio,
 (h / 2 ) 2 d 2 k 2 
 
 x   ( x)  E  ( x)
2
2m dx
2 


pois a partir do momento que discretizamos a função de
onda, que fica na forma matemática de um vector,
 ( x)  i

O operador hamiltoniano também fica discretizado na
forma matemática de uma matriz (nota: deixamos os
detalhes da discretização como exercício)
 (h / 2 ) 2 d 2 k 2 
 
 x   H i j
2
2m dx
2 

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