1 O fator integrante

Métodos Matemáticos 2012 –Notas de Aula
Equações Diferenciais Ordinárias II
A C Tort∗
25 de setembro de 2012
1
O fator integrante
Suponha que a EDO de primeira ordem seja da forma:
y ′ (x) + p(x) y(x) = g(x).
(1)
u(x) y ′ (x) + u(x) p(x) y(x) = u(x) g(x).
(2)
u′ (x) = u(x) p(x),
(3)
u(x) y ′ (x) + u′ (x) y(x) = u(x) g(x),
(4)
d [u(x) y(x)] = u(x) g(x).
(5)
Multiplicando a EDO por u(x):
Definindo:
ficamos com:
ou ainda:
Portanto,
u(x) y(x) =
Z
u(x) g(x) dx + C,
(6)
onde C é uma constante de integraçnao que deve ser determinada com uma condição adicional sobre y(x). Segue
que:
R
u(x) g(x) dx + C
.
(7)
y(x) =
u(x)
Para obter o fator integrante u(x) voltamos à Eq. (3) :
d u(x)
= u(x) p(x).
dx
Usando o método de separação de variáveis rescrevemos esta equação na forma:
du
= p(x) dx.
u
Integrando obtemos:
∗ email:
[email protected]
1
(8)
(9)
2
Notas de Aula. AC TORT 2012
ln u =
Z
p(x) dx + K,
(10)
Z
(11)
ou ainda fazendo K = 0 e invertendo:
u(x) = exp
p(x) dx .
Exemplo 1 A lei de resfriamento de Newton Seja T a temperatura do meio ambiente e θ(t) a temperatura de um
corpo imerso nesse meio. A lei do resfriamento de Newton nos diz que:
dθ
= −κ (θ − T ) ,
(12)
dt
onde κ é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições específicas ao meio e ao corpo.
Para obter uma solução geral desta equação com o método do fator integrante escrevemos:
dθ
+ κ θ = κ T,
dt
e fazemos as identificações: p(t) = κ e g(t) = κT . Segue que:
Z
u(t) = exp
κ dt = exp (κ t),
(13)
(14)
e, logo,
θ(t) =
R
exp (κ t) κT dt + C
κT exp(κ t)/κ + C
=
= T + C exp (−κ t) .
exp (κ t)
exp (κ t)
(15)
Para determinar C deve-se conhecer a temperatura do corpo em um determinado instante t0 (problema do valor
inicial) θ(t0 ) = θ0 .
E XERCÍCIO 1:
Mostre que se θ(t0 ) = θ0 , a temperatura do corpo varia de acordo com:
θ(t) = T + (θ0 − T ) exp [−κ (t − t0 )] .
E XERCÍCIO 2:
(16)
A que mecanismo de transmissão de calor a lei de resfriamento de Newton está associada?
Exemplo 2 CSI - Rio Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t0 = 0. A
temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é θ0 = 29 o C. O corpo é retirado da cena
do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é θ1 = 23 o C. O
crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a
suposição adicional de que a temperarura do meio ambiente entre a hora da morte tm e a hora em que o cadáver foi
encontrado t0 tenha se mantido mais ou menos constante T ≈ 20 o C. A perícia sabe também que a temperatura
normal de um ser humano vivo é de 37 o C. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Solução O primeiro passo é reunir os dados. Temos t0 = 0 (por simplicidade), θ0 = 29 o C ; t1 = 2 h, θ1 = 23 o C;
T = 20 o C. O segundo passo é determinar a constante de resfriamento κ para este caso com a solução (16):
θ1 − T = (θ0 − T ) exp (−κ t1 ) .
Aplicando logarítmos e substituindo valores:
1
1
θ1 − T
23 − 20
1
1
= − ln
= − ln
≈ 0.55 h−1.
κ = − ln
t1
θ0 − T
2
29 − 20
2
3
(17)
(18)
3
Notas de Aula. AC TORT 2012
Agora usamos uma vez mais a solução (16) para estimar a hora da morte tm :
θm = T + (θ0 − T ) exp (−0.55 tm) .
(19)
Procedendo como no cálculo de κ:
1
1
θm − T
37 − 20
17
1
=−
=−
≈ −1.16 h.
ln
ln
tm = − ln
κ
θ0 − T
0.55
29 − 20
0.55
9
(20)
Portanto, o crime ocorreu há um pouco mais de uma hora antes do corpo ser descoberto.
Curva de resfriamento
40
Temperatura (C)
35
30
25
20
–4
–2
0
t (horas)
2
4
Figura 1: Curva de resfriamento.
E XERCÍCIO 3:
Quais são os pontos fracos desta técnica pericial?
Diferenciais exatas
Dada uma função de duas variáveis u(x, y) sua diferencial total ou exata se escreve:
du =
∂u
∂u
dx +
dy.
∂x
∂y
(21)
Suponha agora que u(x, y) = C, onde C é uma constante. Então:
du(x, y) = 0.
(22)
u = x + x2 y 3 = C.
(23)
du = 1 + 2xy 3 dx + 3x2 y 2 dy = 0.
(24)
Exemplo 3 Considere:
A diferencial exata desta função é
Segue que:
1 + 2xy 3
dy
′
.
=y =−
dx
3x2 y 2
(25)
4
Notas de Aula. AC TORT 2012
Isto siginifca que se nos fosse dada esta última EDO, poderíamos manipulá-la algebricamente colocando-a na
forma de uma diferencial exata e depois integrá-la.
Resumindo: uma EDO de primeira ordem da forma:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,
(26)
é dita ser exata se o L.E. desta equação diferencial for uma diferencial total ou exata de uma função u(x, y), isto
é:
∂u
= M (x, y) ,
∂x
∂u
= N (x, y) .
∂y
(27)
Neste caso, u(x, y) = C é a solução implícita da EDO. Por outro lado, é possível provar que a condição necessaria
e suficiente para que a Eq. (26) seja uma diferencial exata é que:
∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
.
∂y
∂x
(28)
Exemplo 4 Resolvendo uma equação diferencial exata Considere
x3 + 3xy 2 dx + 3x2 y + y 3 dy = 0.
(29)
Começamos fazendo o teste de exatidão:
M (x, y) = x3 + 3xy 2 ,
∂M (x, y)
= 6xy,
∂y
(30)
N (x, y) = 3x2 y + y 3 ,
∂N (x, y)
= 6xy,
∂x
(31)
logo, a ED é exata. Podemos escrever:
Z
Z
u = M (x, y) dx + K(y) =
x3 + 3xy 2 dx + K(y).,
(32)
ou ainda:
u=
x4
3
+ x2 y 2 + K(y).
4
2
(33)
Para determinar K(y) escrevemos:
∂u
= N,
∂y
(34)
ou
3x2 y +
dK (y)
= 3x2 y + y 3 .
dy
(35)
Segue que:
dK (y)
= y3,
dy
K(y) =
y4
+ C.
4
(36)
Portanto, a solução é
u(x, y) =
1 4
x + 6x2 y 2 + y 4 = C ′ .
4
(37)
5
Notas de Aula. AC TORT 2012
Exemplo 5 Um contra-exemplo Considere:
y dx − x dy = 0.
(38)
Agora M (x, y) = y e N (x, y) = −x. Segue que Mx (x, y) = 1 e Ny (x, y) = −1. Portanto a equação diferencial
acima não é exata, o que não significa que não possa ser resolvida, mas o método que usamos acima falha. Para
verificar esta afirmativa procedamos como no Exemplo 4:
Z
u = M (x, y) dx + K(y) = yx + K(y).
(39)
dK (y)
∂u
=N =x+
.
∂y
dy
(40)
Mas N (x, y) = −x, logo:
x+
dK (y)
= −x
dy
(41)
ou ainda:
dK (y)
= −2x,
dy
(42)
que é uma contradição já que K e dK/dy dependem somente de y.
E XERCÍCIO 4:
Resolva a EDO:
y dx − x dy = 0,
(43)
pelo método de separação de variáveis. Resposta: y = Cx.
Referências
[1] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. (Wileyl: New York) 1993.
[2] G. E. H. Reuter: A Elementary Differential Equations & Operators. (Routledge & Kegan Paul: London)
1958.
[3] W. E. Boyce & R. C. DiPrima: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 6th ed.
(Wileyl: New York) 1997.