Lista de Exerc´ıcios - 01 EDO - Engenharia Mecânica C. A. Raposo

Lista de Exercı́cios - 01
EDO - Engenharia Mecânica
C. A. Raposo - DEMAT / UFSJ
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Uma Equação Diferencial Ordinária - EDO, é uma equação que envolve uma função incógnita e suas
derivadas, as quais dependem de apenas uma variável independente, por exemplo,
y 000 − 5x y 0 = ex + 1,
(1)
y 0 = 5x − 3.
(2)
A ordem de uma EDO é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação, por exemplo, (1) é de
Terceira Ordem e (2) é de Primeira Ordem.
Uma solução de uma EDO na função incógnita y e na variável independente x, definida no intervalo I ⊂ R,
é uma função y(x) que verifica a equação para todo x ∈ I.
Por exemplo, para todo x ∈ R, y(x) = c1 sen x + c2 cos x é solução de y 00 + y = 0, pois, derivando y
obtemos
y 0 (x) = c1 cos x − c2 sen x,
y 00 (x) = −c1 sen x − c2 cos x,
de onde segue que
y 00 + y = −c1 sen x − c2 cos x + c1 sen x + c2 cos x = (−c1 + c1 )sen x + (−c2 + c2 )cos x = 0.
No exemplo acima, as constantes reais c1 e c2 são arbitrárias e por isto, a solução obtida é dita solução geral
da EDO. Quando escolhemos as constantes, por exemplo c1 = 2 e c2 = 5 a solução y(x) = 2sen x + 5cos x é
dita uma solução particular de y 00 + y = 0.
Uma EDO de primeira ordem pode ser apresentada de duas formas, a forma normal (3)
y 0 = f (x, y)
ou reescrevendo
f (x, y) =
(3)
M (x, y)
−N (x, y)
e utilizando a notação
y0 =
dy
dx
obtemos de (3) a forma diferencial (4)
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
1
(4)
Para a primeira prova vamos utilizar a forma normal ou forma diferencial para estudar quatro categorias de EDO de primeira ordem. Vamos começar com a EDO de primeira ordem Linear. Vamos supor
que na forma normal, podemos escrever f (x, y) = −p(x) y + q(x) e então (3) passa a ser escrita do seguinte
modo
y 0 + p(x)y = q(x)
cuja solução pode ser obtida multiplicando a EDO por
e
R
p(x) dx
.
Exercı́cios:
1. Verifique, em cada caso, se a função dada é uma solução da EDO.
00
y = ex
y − y = 0,
000
0
y + 2y − 3y = 0,
y
0000
y = e−3x
000
+ 4y + 3y = x,
y=
x
3
0
2. Determine para que valores de r, y + 2y = 0 tem solução do tipo y = erx .
3. Determine a solução das seguintes EDO lineares de primeira ordem.
0
y + 3y = x + e−2x
0
y + 3y = xe−x + 1
1
0
y + y = cos x, x > 0
x
4. Determine a solução do problema de valor inicial
0
y − 2xy = x
y(0) = 1
5. Determine a solução do problema de valor inicial
0
xy + 2xy = 4x2
y(1) = 2
0
6. Seja λ > 0, mostre que a solução de y + λy = e−λx converge a zero, isto é, y → 0, quando x → ∞.
2