Curso EAD - Análise Combinatória e Probabilidade

Curso EAD - Análise Combinatória e Probabilidade
Turma 221 – 2ª série do E.M. – 3º trimestre/2009
Professora: Leonor W. Pedroso
Probabilidade
A probabilidade é o ramo da Matemática que estuda as chances de um evento
aleatório ocorrer.
Evento aleatório é um evento para o qual não sabemos o resultado de maneira
previsível.
Exemplo:
Um casal está esperando um filho. Sabemos que esse filho é menino? Não! Sabemos
apenas que o casal terá uma chance em duas de ter um filho homem (idem para filha mulher).
Esse é um evento aleatório, pois não podemos prever sua ocorrência.
Nesse mesmo exemplo, quando se diz “uma chance em duas”, temos duas informações
importantes: primeira, o número de elementos do espaço amostral (que é o conjunto de
todos os resultados possíveis).
Notação para espaço amostral:  .
Notação para número de elementos do espaço amostral: n().
 = {menino, menina}
n() = 2 elementos
Segunda informação, o número de elementos do evento A: “ter um filho homem”,
notação n(A).
A = {menino}
n(A) = 1
A probabilidade é um número que mede as chances de um evento A ocorrer em um
espaço amostral , assim temos:
P (A) 
n (A)
n ()
No exemplo anterior: P (A) 
n (A) 1
  0,5  50 % , ou seja, o casal tem 50% de chances
n () 2
de ter um filho homem. O mesmo ocorrerá para o evento B: “ter uma filha mulher”. P(B) =
50%.
Observações importantes:
1) A probabilidade pode ser dada na forma fracionária, decimal ou em porcentagem.
2) A probabiliade será sempre um número entre 0 e 1 (inclusive): 0  P (A)  1 .
3) Probabilidade zero significa que o evento não tem chances de ocorrer, por
exemplo, qual é a chance de “sair o número 7” no lançamento de um dado
comum? Em um dado comum as faces estão numeradas de 1 a 6, então P(A) =
0
 0 , pois não existe face 7.
6
4) Probabilidade 1 significa: “evento certo”, ou seja, com certeza irá ocorrer. Por
exemplo, no lançamento de um dado comum, qual é a chance de “sair um número
de 1 a 6”?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(A) = 6
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n() = 6
P (A ) 
6
 1.
6
O cálculo de probabilidades é feito em três etapas: encontrar o número de elementos
do espaço amostral, o número de elementos do evento em questão e, finalmente, o cálculo da
probabilidade.
Agora iremos ver mais alguns exemplos de casos que apresentam algumas restrições
ou detalhes que devem ser levados em consideração nas resoluções.
1) Considere o lançamento de dois dados honestos (significa que todas as faces têm as
mesmas chances de aparecer no resultado) e responda:
a) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja uma número
par?
b) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja um número par
e um múltiplo de 3?
c) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja uma número
par ou um múltiplo de 3?
Resoluções:
a) Para encontrar o número de elementos do espaço amostral devemos considerar que são
dois lançamentos, portanto duas vagas para preencher. Temos 6 resultados possíveis para o
primeiro lançamento e 6 para o segundo. Pelo princípio multiplicativo:
n()= 6 . 6 = 36 possibilidades de resultados.
Número de elementos do evento “soma das faces é um número par”. Isso pode ocorrer das
seguintes formas:
1+1 2+2 3+1 4+2 5+1 6+2
1+3 2+4 3+3 4+4 5+3 6+4
1+5 2+6 3+5 4+6 5+5 6+6
Logo, n(A) = 18 somas pares.
Esse resultado também pode ser calculado sem “listar” todas os casos. São duas vagas, se
a primeira for preenchida com um número ímpar (3 números à disposição), a segunda também
será preenchida com nº ímpar (3 números à disposição): 3 . 3 = 9 . Se for par, idem: 3 . 3 = 9.
Total = 9 + 9 = 18.
p 
18 1
  50 %
36 2
b) O espaço amostral é o mesmo. Muda o evento: “soma ser par e múltiplo de 3”. Basta ver
quais dos resultados acima são também míltiplos de 3: (1 + 5), (2 + 4), (3 + 3), (4 + 2), (5 + 1)
e (6 + 6). Logo: n(A) = 6 e P (A) 
6
1
 .
36 6
Isso é o que chamamos de probabilidade da intersecção de dois eventos: “ser par” e
“ser múltiplo de 3” ao mesmo tempo. A intersecção é indicada pelo conetivo “e”.
c) O espaço amostral é o mesmo. Muda o evento: “soma ser par ou múltiplo de 3”. Aqui
devemos ter um cuidado maior com conetivo “ou” o qual significa que o número pode ser
apenas par, ou apenas múltiplo de 3, ou as duas coisas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos
acrescentar na tabela do item “a” os números múltiplos de 3 que não são pares: (1 + 2), (2 +
1), (3 + 6), (4 + 5), (5 + 4) e (6 + 3). Total = 18 + 6 = 24.
Probabilidade: P 
24 2

36 3
Isso é o que chamamos de probabilidade da união de dois eventos, indicada pela
pelo conetivo “ou”. Existe uma fórmula para o seu cálculo, mas, como fizemos nesse item c,
não precisa ser utilizada explicitamente (decorada). Na verdade, essa resolução intuitiva que
fizemos e a fórmula são a mesma coisa, porém não precisa ter seu uso explícito.
p (AUB )  P (A)  P (B )  p (A  B )
Resolvendo o item c pela fórmula:
P(A) =
18
36
P(B) =
6  6 12
(os 6 múltiplos de 3 que aparecem na tabela e os seis acrescentados

36
36
depois).
P(AB) =
6
(pares e múltiplos de 3).
36
P(AUB) =
18 12
6
24 2




36 36 36 36 3
2) Num conjunto de 100 parafusos, 90 deles estão em boas condições. Dois deles são
retirados, sucessivamente, ao acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de que o primeiro
parafuso defeituoso seja encontrado na 2ª retirada?
Resolução:
Espaço amostral: são duas retiradas, portanto, duas vagas para preencher: 100. 99 =
9900.
Evento: se o parafuso defeituoso aparece na segunda retirada, então para a primeira
retirada (1ª vaga) teremos 90 parafusos bons à disposição e, para a 2ª retirada, 10 parafusos
defeituosos: 90.10 = 900 maneiras diferentes desse evento ocorrer.
P 
90 .10
1

100 .99 11
3) Um grupo de pessoas está classificado conforme a tabela:
Professor Advogado Dentista
Homens
60
80
50
Mulheres
90
40
30
a) Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa, qual é a probabilidade de que ela seja um
homem dentista ou advogado?
b) Escolhendo-se aleatoriamente um homem, qual é a probabilidade de que ele seja
Advogado?
c) Escolhendo-se aleatoriamente um advogado, qual é a probabilidade de que seja
mulher?
Resoluções:
a) P 
50  80
130 13


60  80  50  90  40  30 350 35
b) A diferença aqui é que não escolheremos uma pessoa qualquer, sabemos antecipadamente
que iremos escolher um dos homens, ou seja, é como se restringíssemos o espaço amostral
apenas aos homens:
P 
80
8

190 19
c) Agora, restringimos o espaço amostral apenas aos advogados:
P 
40
1

120 3
Os itens b e c são exemplos do que chamamos de probabilidade condicional que
ocorre quando há uma restrição no espaço amostral.