Aula 28 - Derivadas das Funções Trigonométricas

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Derivadas das Funções Trigonométricas
Inversas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Derivadas das Funções Trigonométricas
Inversas
1.Funções trigonométricas
2.Funções circulares inversas
3.Derivadas das funções trigonométricas inversas
4.Exemplos
1. Funções trigonométricas
Vamos apresentar o comportamento das
funções seno, cosseno, tangente, cotangente,
secante e cossecante.
3
1.1. Função seno
Chama-se função seno a
função definida de ℜ em ℜ por
f(x) = sen x.
4
1.1. Função seno
Para analisar o comportamento da função seno,
imagine que a extremidade P
de um arco, partindo da
origem, percorra a circunferência trigonométrica no sentido anti-horário.
5
1.1. Função seno
Nesse suposto deslocamento da extremidade do arco,
observamos que:
• De 0 a π/2 o seno cresce de
0 a 1.
• De π/2 a π o seno decresce
de 1 a 0.
• De π a 3π/2 o seno decresce
de 0 a -1.
• De 3π/2 a 2π o seno cresce
de -1 a 0.
6
1.1. Função seno
Supondo que a extremidade P continue se deslocando
indefinidamente, a cada nova volta na circunferência
trigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições,
todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagem
simples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-se
periodicamente de 2π em 2π.
7
1.1. Função seno
Na linguagem matemática escrevemos:
… = sen ( x − 4π ) = sen ( x − 2π ) = sen ( x ) = sen ( x + 2π ) = sen ( x + 4π ) = …
ou ainda
∀x ∈ ℝ e ∀k ∈ ℤ, sen x = sen ( x + k ⋅ 2π )
8
1.1. Função seno
Então dizemos que: “A função f(x) = sen (x) é uma
função periódica de período igual a 2π”. De um modo geral,
uma função f é denominada periódica sempre que existe um
número T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se:
f (x) = f (x + T )
9
1.1. Função seno
O menor valor (positivo) de T que satisfaz essa
igualdade é chamado período da função. O gráfico de sen(x)
é chamado senóide.
f ( x ) = sen x
⇒
D(f ) = ℝ

Im(f ) = [ −1; 1]
10
1.2. Função cosseno
Assim como analisamos
função seno, vamos analisar
comportamento de f(x)
cos(x) para x variando de 0
2π.
a
o
=
a
• De 0 a π/2 o cosseno decresce de 1 a 0.
• De π/2 a π o cosseno decresce de 0 a -1.
• De π a 3π/2 o cosseno cresce
de -1 a 0.
• De 3π/2 a 2π o cosseno
11
cresce de 0 a 1.
1.2. Função cosseno
Da segunda volta em
diante, o cosseno passa a
repetir, em idênticas condições, os valores da primeira
volta. Isto é,
∀x ∈ ℝ e ∀k ∈ ℤ, cos x = cos ( x + k ⋅ 2π )
Então dizemos que a
função f(x) = cos (x) é uma
função periódica de período
igual a 2π.
12
1.2. Função cosseno
O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.
Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que a
senóide deslocada de π/2 unidades, na direção horizontal,
para a “esquerda”. Essa característica da cossenóide pode
13
ser traduzida assim:
1.2. Função cosseno
π

∀x ∈ ℝ, cos x = sen  x + 
2

f ( x ) = cos x
⇒
D(f ) = ℝ

Im(f ) = [ −1; 1]
14
1.3. Função tangente
Chama-se função tangente a função definida por
f ( x ) = tg x,
x≠
π
2
+ kπ , k ∈ ℤ
15
1.3. Função tangente
A função tangente também é periódica. Porém,
enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a
2π, a função tangente tem período igual a π.
16
1.3. Função tangente
Isso significa que a cada meia-volta a função
tangente repete-se em idênticas condições. Isto é,
π


∀x ∈ ℝ e ∀k ∈ ℤ,  x ≠ + kπ  ⇒ tg x = tg ( x + kπ )
2


17
1.3. Função tangente
• De 0 a π/2 a tangente cresce de 0 a +∞.
• De π/2 a π a tangente cresce de -∞ a 0.
18
1.3. Função tangente
Daí em diante, a cada meia-volta, a tangente
comporta-se exatamente como na primeira meia-volta.
19
1.3. Função tangente
f ( x ) = tg x
⇒

π


D(f ) =  x ∈ ℝ / x ≠ + kπ 
2



Im(f ) = ℝ

(k ∈ ℤ)
20
1.4. Funções cotangente, secante e cossecante
Por serem menos importantes que as demais
funções trigonométricas, serão apresentadas de
forma resumida, enfatizando-se o domínio e o
conjunto-imagem das funções cotangente, secante
e cossecante.
21
1.4. Funções cotangente, secante e cossecante
P=π
f ( x ) = cotg x
⇒
D(f ) = { x ∈ ℝ / x ≠ kπ }

Im(f ) = ℝ
(k ∈ ℤ )
22
1.4. Funções cotangente, secante e cossecante
P = 2π
f ( x ) = sec x
⇒

π


π
D
(
f
)
=
x
∈
ℝ
/
x
≠
+
k



2



Im(f ) = {y ∈ ℝ / y ≤ −1 ou

(k ∈ ℤ )
y ≥ 1}
23
1.4. Funções cotangente, secante e cossecante
P = 2π
f ( x ) = cossec x
⇒
D(f ) = { x ∈ ℝ / x ≠ kπ } (k ∈ ℤ )

Im(f ) = {y ∈ ℝ / y ≤ −1 ou y ≥ 1}
24
2. Funções circulares inversas
As funções trigonométricas inversas são
também conhecidas como funções arco. Nessa
notação:
sen-1 x = arc sen x
cos-1 x = arc cos x
tg-1 x = arc tg x
cotg-1 x = arc cotg x
sec-1 x = arc sec x
cossec-1 x = arc cossec x
25
7.1. Função arco-seno
A função de domínio ℜ definida por
f(x) = sen x não admite função inversa por não ser
injetora(*).
Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjunto26
imagem é imagem de um único elemento do domínio.
7.1. Função arco-seno
Porém, restringindo o domínio da função
seno ao intervalo [- π/2, π/2] é possível definir sua
inversa, que é chamada função arco-seno e é
denotada pelo símbolo arc sen.
Por exemplo, a sentença
π
6
significa:
= arc sen
1
2
π
1
é o arco cujo seno é igual a
6
2
27
7.1. Função arco-seno
Definição:
 π π
Para x ∈ [ −1; 1] e y ∈  − ;  , a função arco 2 2
seno é definida pela sentença
y = arc sen x ⇔ sen y = x
28
7.1. Função arco-seno
Veja estes exemplos:
π
1
a)
6
= arc sen
π  1
, pois sen   =
2
6 2
π
 π
b ) - = arc sen( −1), pois sen  −  = −1
2
 2
Este esquema mostra que a função arcoseno é a inversa da função seno:
29
7.1. Função arco-seno
Gráfico de f(x) = arc sen x
30
2.1. Função arco-seno
Se considerarmos a função seno restrita ao
intervalo [-π/2, π/2] e com contradomínio [-1, 1],
isto é,
g: [-π/2, π/2] → [-1, 1]
tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa e
g-1 será denominada função arco-seno. Notemos
que g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/2,
π/2] e associa a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [-π/2, π/2]
tal que y é um arco cujo seno é x (indica-se y = arc
sen x). Temos, portanto, que:
y = arc sen x ⇔ sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
31
2.1. Função arco-seno
32
7.2. Função arco-cosseno
A exemplo da função seno, a função cosseno
não admite inversa quando seu domínio é o
conjunto ℜ. Assim, para definir a inversa da
função cosseno, vamos restringir o seu domínio ao
intervalo [0; π].
33
7.2. Função arco-cosseno
A inversa da função cosseno é chamada
função arco-cosseno e é denotada por arc cos.
Definição:
Para x ∈ [ −1; 1] e y ∈ [0; π ], a função arco-cosseno é definida pela sentença
y = arc cos x ⇔ cos y = x
34
7.2. Função arco-cosseno
Veja estes exemplos:
π
3
3
π 
a)
= arc cos
, pois cos   =
6
2
2
6
b ) π = arc cos( −1), pois cos (π ) = −1
Este esquema mostra que a função arcocosseno é a inversa da função cosseno:
35
7.2. Função arco-cosseno
Gráfico de f(x) = arc cos x
36
2.2. Função arco-cosseno
Se considerarmos a função cosseno restrita
ao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], isto
é,
g: [0, π] → [-1, 1]
tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa e
g-1 será denominada função arco-cosseno. Notemos
que g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] e
associa a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [0, π] tal que y é
um arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x).
Temos, portanto, que:
y = arc cos x ⇔ cos y = x e 0 ≤ y ≤ π
37
2.2. Função arco-cosseno
38
7.3. Função arco-tangente
Para definir o inverso da função tangente,
vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo
(-π/2, π/2). Observe o gráfico seguinte e note que,
nesse intervalo, a função tangente é bijetora.
39
7.3. Função arco-tangente
A inversa da função tangente é chamada
função arco-tangente e é denotada por arc tg.
Definição:
 π π
Para x ∈ ℝ e y ∈  − ;  , a função arco-tan 2 2
gente é definida por
y = arc tg x ⇔ tg y = x
40
7.3. Função arco-tangente
Observe estes exemplos:
π 
= arc tg (1) , pois tg   = 1
4
4
π
 π
b ) - = arc tg( − 3 ), pois tg  −  = − 3
3
 3
a)
π
41
7.3. Função arco-tangente
Gráfico de f(x) = arc tg x
42
2.3. Função arco-tangente
Se considerarmos a função tangente
restrita ao intervalo aberto (-π/2, π/2) e com
contradomínio ℜ, isto é,
g: (-π/2, π/2) → ℜ
tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g-1
será denominada função arco-tangente. Notemos
que g-1 tem domínio ℜ, contradomínio (-π/2, π/2) e
associa a cada x ∈ ℜ um y ∈ (-π/2, π/2) tal que y é
um arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x).
Temos, portanto, que:
y = arc tg x ⇔ tg y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
43
2.3. Função arco-tangente
44
2.4. Quadro resumo
Atenção! Nenhuma função trigonométrica
possui inversa, o que fazemos aqui é a modificação
do domínio destas funções, criando assim novas
funções que sejam inversíveis.
45
2.4. Quadro resumo
Função trigonométrica
Função trigonométrica com
domínio modificado
Inversa trigonométrica
y = sen x
Domínio: (-∞, +∞)
Imagem: [-1, 1]
y = sen x
Domínio: [- π/2, π/2]
Imagem: [-1, 1]
y = sen-1 x = arc sen x
Domínio: [-1, 1]
Imagem: [- π/2, π/2]
y = cos x
Domínio: (-∞, +∞)
Imagem: [-1, 1]
y = cos x
Domínio: [0, π]
Imagem: [-1, 1]
y = cos-1 x = arc cos x
Domínio: [-1, 1]
Imagem: [0, π]
y = tg x
Domínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}
y = tg x
Domínio: (- π/2, π/2)
Imagem: (-∞, +∞)
y = tg-1 x = arc tg x
Domínio: (-∞, +∞)
Imagem: (- π/2, π/2)
y = cotg x
Domínio: (0, π)
Imagem: (-∞, +∞)
y = cotg-1 x = arc cotg x
Domínio: (-∞, +∞)
Imagem: (0, π)
y = sec x
Domínio: [-π, -π/2) U [0, π/2)
Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = sec-1 x = arc sec x
Domínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)
Imagem: [-π, -π/2) U [0, π/2)
y = cossec x
Domínio: (-π, -π/2] U (0, π/2]
Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = cossec-1 x = arc cossec x
Domínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)
46
Imagem: (-π, -π/2] U (0, π/2]
Imagem: (-∞, +∞)
y = cotg x
Domínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}
Imagem: (-∞, +∞)
y = sec x
Domínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}
Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = cossec x
Domínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}
Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
3. Derivadas das funções trigonométricas inversas
Aqui, usaremos a diferenciação implícita
para determinar as derivadas das funções
trigonométricas inversas, supondo que essas
funções sejam diferenciáveis.
47
3.1. Derivada de arc sen x
Lembre-se que a função inversa da função
seno é dada por sen-1 x = arc sen x.
y = sen-1 x significa sen y = x
e -π/2 ≤ y ≤ π/2
Diferenciando sen y = x implicitamente em
relação a x obtemos
cos y
dy
dy
1
=1 ⇒
=
dx
dx cos y
Agora cos y ≥ 0, uma vez que -π/2 ≤ y ≤ π/2,
logo:
cos y = 1 − sen2 y = 1 − x 2
48
3.1. Derivada de arc sen x
dy
1
1
=
=
dx cos y
1− x 2
Portanto
(
)
d
1
−1
sen x =
dx
1− x 2
49
3.2. Derivada de arc cos x
Lembre-se que a função inversa da função
cosseno é dada por cos-1 x = arc cos x.
y = cos-1 x significa cos y = x
e 0≤y≤π
Diferenciando cos y = x implicitamente em
relação a x obtemos
−sen y
dy
dy
1
=1 ⇒
=−
dx
dx
sen y
Agora sen y > 0, uma vez que 0< y< π, logo:
sen y = 1 − cos2 y = 1 − x 2
50
3.2. Derivada de arc cos x
dy
1
1
=−
=−
dx
sen y
1− x 2
Portanto
(
)
d
1
−1
cos x = −
dx
1− x 2
51
3.3. Derivada de arc tg x
Lembre-se que a função inversa da função
tangente é dada por tg-1 x = arc tg x.
y = tg-1 x significa tg y = x
e
-π/2 ≤ y ≤ π/2
Diferenciando tg y = x implicitamente em
relação a x obtemos
sec 2 y
dy
dy
1
=1 ⇒
=
dx
dx sec 2 y
Da identidade sec2 y = 1 + tg2 y, temos
sec 2 y = 1 + tg2 y = 1 + x 2
52
3.3. Derivada de arc tg x
dy
1
1
=
=
dx sec 2 y 1 + x 2
Portanto
(
)
d
1
tg−1 x =
dx
1+ x 2
53
3.4. Derivada de arc cotg x
Lembre-se que a função inversa da função
cotangente é dada por cotg-1 x = arc cotg x.
y = cotg-1 x significa cotg y = x
e
0≤y≤π
Diferenciando cotg y = x implicitamente em
relação a x obtemos
−cossec 2 y
dy
dy
1
=1 ⇒
=−
cossec 2 y
dx
dx
Da identidade cossec2 y = 1 + cotg2 y, temos
cos sec 2 y = 1 + cotg 2 y = 1 + x 2
54
3.4. Derivada de arc cotg x
dy
1
1
=−
=−
2
dx
cossec y
1+ x 2
Portanto
(
)
d
1
cotg−1 x = −
dx
1+ x 2
55
3.5. Derivada de arc sec x
Lembre-se que a função inversa da função
secante é dada por sec-1 x = arc sec x.
y = sec-1 x
significa
sec y = x
e
{y ∈ ℜ/ [- π, -π/2) U [0, π/2)}
Diferenciando sec y = x implicitamente em
relação a x obtemos
dy
dy
1
sec y tg y
=1 ⇒
=
dx
dx sec y tg y
Da identidade tg2 y = sec2 y - 1, temos
tg y = sec 2 y − 1 = x 2 − 1
56
3.5. Derivada de arc sec x
dy
1
1
=
=
dx sec y tg y x x 2 − 1
Portanto
(
)
d
1
−1
sec x =
dx
x x2 − 1
57
3.6. Derivada de arc cossec x
Lembre-se que a função inversa da função
cossecante é dada por cossec-1 x = arc cossec x.
y = cossec-1 x
significa
cossec y = x
e
{y ∈ ℜ/ (-π, -π/2] U (0, π/2]}
Diferenciando cossec y = x implicitamente
em relação a x obtemos
dy
dy
1
−cossec y cotg y
=1 ⇒
=−
dx
dx
cossec y cotg y
Da identidade cotg2 y = cossec2 y - 1, temos
cotg y = cossec 2 y − 1 = x 2 − 1
58
3.6. Derivada de arc cossec x
dy
1
1
=−
=−
dx
cossec y cotg y
x x2 − 1
Portanto
(
)
d
1
−1
cossec x = −
dx
x x2 − 1
59
3.7. Resumo
Se u for uma função de x, derivável,
(
)
d
1 du
sen−1 u =
dx
1 − u 2 dx
(
)
d
1 du
cos−1 u = −
dx
1 − u 2 dx
(
)
d
1 du
−1
tg u =
dx
1 + u 2 dx
(
)
d
1 du
−1
cotg u = −
dx
1 + u 2 dx
(
)
d
1
du
−1
sec u =
dx
u u 2 − 1 dx
(
)
d
1
du
−1
cossec u = −
dx
u u 2 − 1 dx
60
4. Exemplos
Exemplo 1: Derive y = sen-1 x2.
(
)
d
1 du
sen−1 u =
dx
1 − u 2 dx
d
1
sen−1 x 2 =
2x
2
dx
1− x 2
(
)
(
)
( )
2x
d
−1
2
sen x =
dx
1− x 4
61
4. Exemplos
−1
Exemplo 2: Derive f ( x ) = tg
(
)
d
1 du
tg−1 u =
=
2
dx
1 + u dx
1
x +1

1 

⋅−
2
2

 1   ( x + 1) 
1+ 

 x + 1
1
d  −1 1 
1
tg
=
dx 
x + 1  ( x + 1)2
1
+
2
2
( x + 1) ( x + 1)

1 

⋅−
 ( x + 1)2 



d  −1 1 
1
1 

= 2
⋅−
tg


2

dx 
x + 1  x + 2x + 1 + 1
( x + 1) 

2
( x + 1)

d  −1 1 
1
−
=
⋅
tg
dx 
x + 1  x 2 + 2 x + 2  ( x + 1)2

( x + 1)
2

1
=−
x 2 + 2x + 2


62
4. Exemplos
Exemplo 3: Derive y = x 3 cotg−1
dy
= 3 x 2 ⋅ cotg−1
dx


x
1
3
+ x ⋅−
2
3
 1+ x

9

dy
= 3 x 2 ⋅ cotg−1
dx

x  x3
−
3  9 + x2

 9
x
3

 1
⋅
 3



 1
⋅
 3


dy
9 x3 1
2
−1 x
= 3 x ⋅ cotg
−
⋅
2
dx
3 9+x 3
dy
3x3
2
−1 x
= 3 x ⋅ cotg
−
dx
3 9 + x2
63
4. Exemplos
x
Exemplo 4: Ache dy/dx se ln ( x + y ) = tg  
y
−1
1
x+y
 dy 
⋅ 1+
=

 dx 
1
⋅
y ⋅ 1− x ⋅
dy
dy
1+
dx ⇒
dx =
x+y
1
⋅
2
x
1+ 2
y
y −x
dy
dx
2
y2
y2
x
1+  
y
dy
dy
dy
dy
2
1+
y −x
1+
y
−
x
1
dx =
dx ⇒
dx = y
dx
⋅
⋅
2
2
2
2
2
2
x+y
y +x
y
x+y
y +x
y
2
y
dy
dy
1+
y −x
dx =
dx ⇒ y 2 + x 2 + y 2 + x 2 ⋅ dy = xy + y 2 − x 2 + xy ⋅ dy
dx
x+y
y 2 + x2
dx
dy
dy
dy
y 2 + x2 ⋅
+ x 2 + xy ⋅
= xy − x 2 ⇒ 2 x 2 + xy + y 2 ⋅
= xy − x 2
dx
dx
dx
x (y − x)
dy
xy − x 2
dy
=
⇒
=
dx 2 x 2 + xy + y 2
dx 2 x 2 + xy + y 2
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
64
4. Exemplos
Exemplo 5: Derive a função f ( x ) = sec −1 ( 3e x )
1
f '(x) =
3e
x
(3e )
x
−1
1
f '(x) =
3e
f '(x) =
2
( 3e )
x
x
2
(
⋅ 3e x
−1
(
)
⋅ 3e x
)
1
9e 2 x − 1
65
4. Exemplos
Exemplo 6: Derive a função f ( x ) = x cos sec




1
1
1




f ' ( x ) = cossec −1 + x  −
⋅  − 2 
2
x
x 
 1  1  −1 



 x x





1
f ' ( x ) = cossec −1 + 
x 




1
f ' ( x ) = cossec −1 + 
x


1 
f ' ( x ) = cossec −1 + 
x 


−x 2
 1 
⋅ − 2
2 
1 − x  x  

x2


1 

1− x 2 
x

x 

1− x 2 
−1
1
x
66
4. Exemplos
No exemplo a seguir, um observador está
olhando um quadro colocado em uma parede. Veja a
figura a seguir. Quando o observador está
afastado da parede, o ângulo segundo o qual ele vê
o quadro é pequeno. À medida que o observador se
aproxima da parede, o ângulo irá aumentando, até
atingir um valor máximo. Então, se o observador
continuar se aproximando, o ângulo diminuirá.
Quando o ângulo for máximo, diremos que o
observador tem a “melhor visão” do quadro.
67
4. Exemplos
Exemplo 7: Um quadro com 1 m de altura é
colocado em uma parede de tal forma que sua base
esteja 2 m acima do nível dos olhos de um
observador. Quantos metros o observador deverá
se afastar da parede, para obter a melhor visão do
quadro, isto é, para que o ângulo segundo o qual ele
vê o quadro seja o máximo?
68
4. Exemplos
Seja x m a distância do observador até a
parede, θ a medida em radianos do ângulo segundo
o qual o observador vê o quadro, α a medida do
ângulo em radianos, segundo o qual o observador vê
a parte da parede acima do nível dos olhos e abaixo
do quadro, e β = α + θ.
Queremos encontrar o valor de x que irá
tornar θ um máximo absoluto. Como x está no
intervalo (0, +∞), o valor máximo absoluto de θ será
um valor máximo relativo.
69
4. Exemplos
Vemos, da figura, que:
x
x
cotg β =
e cotgα =
3
2
Como 0 < β <
β = cotg−1
π
2
e 0<α <
π
2
x
x
e α = cotg−1
3
2
Substituindo esses valores de α e β na
relação θ = β - α.
θ = cotg-1
x
x
− cotg-1
3
2
70
4. Exemplos
Derivando com relação a x, teremos:
1
1
3
2
dθ
3
2
=−
+
=
−
+
2
2
dx
9 + x2 4 + x2
x
x
1+   1+  
3
2
Equacionando
dθ
= 0 , iremos obter
dx
2(9 + x 2 ) − 3(4 + x 2 ) = 0
− x 2 + (18 − 12) = 0
x2 = 6
x ≅ 2,45
71
4. Exemplos
A solução -2,45 foi rejeitada por não estar
no intervalo (0, +∞). Os resultados do teste da
derivada primeira estão na tabela abaixo. Como o
valor máximo relativo de θ é um valor máximo
absoluto, concluímos que o observador deve ficar a
aproximadamente 2,45 m da parede.
Conclusão
0 < x < 2,45
+
x = 2,45
0 (θ tem um valor máximo relativo)
2,45 < x < ∞
72