α +α α - Maurício Fabbri

MATEMÁTICA II -
Engenharias/Itatiba
1o Semestre de 2009
Prof. Maurício Fabbri
© 2004-9
2a Série de Exercícios
ALGUMAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ÚTEIS
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen 2 α + cos 2 α = 1
Exercício 1: Se sen α = 0,375 ,
(a) encontre os valores possíveis para cos α
(b) encontre os valores possíveis para o ângulo α em graus e minutos,
no intervalo –180 ≤ α ≤ +180
o
o
Resp: +0,927 ou -0,927 ; 22
o
o
1´ ou 157
59´
M sen α = 3
,
Exercício 2: Calcule M e α de modo que ⎧⎨
⎩M cos α = 5
(a) escolhendo M > 0 , e –180 ≤ α ≤ +180
(b) escolhendo M < 0 , e –180 ≤ α ≤ +180
Resp:
o
(a) 5,83 e 30
58´
o
(b) –5,83 e –149
o
o
o
o
(três significativos, graus e minutos)
2´
Exercício 3: Repita o exercício anterior para ⎧⎨M sen α = 8
⎩M cos α = −6
Resp:
o
(a) 10,0 e 126
52´
o
(b) –10,0 e –53
8´
sen( a + b )
=
sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a
cos(a
+
b)
=
cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b
sen( a − b )
=
sen a ⋅ cos b − sen b ⋅ cos a
cos(a
−
b)
=
cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b
tan(a + b )
=
tan a
+
tan b
1 − tan a ⋅ tan b
tan(a − b )
=
tan a
−
tan b
1 + tan a ⋅ tan b
Exercício 4: Calcule M e N, com três significativos, de modo que:
(a) 15sen(2x+30 ) = Msen(2x) + Ncos(2x)
(b) 50cos(3πx-67º) = Msen(3πx) + Ncos(3πx)
o
Resp.:
(a) 13,0 e 7,50
(b) 46,0 e 19,5
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α = 2 sen(α ) cos(α )
2
2
cos(2α ) = cos (α ) − sen (α)
2 tan(α)
tan(2α ) =
2
1 − tan (α )
sen( 2 )
Sabe-se que sen(α) = 0,600. Calcule sen(2α) , cos(2α) e tan(2α) com três significativos,
impondo que:
Exercício 5:
(a) 0o ≤ α ≤ 90o
(b) 90o ≤ α ≤ 180o
Resp: (a) 0,960 0,280
(b) -0,960 0,280
-3,43
Encontre todos os ângulos α entre 0o e 360o tais que cos(2α) = 0.5
Exercício 6:
o
Resp.: 30
Exercício 7:
3,43
o
150
o
210
o
330
Encontre todos os ângulos α, em radianos e entre -π e +π tais que sen(5α) = 0,2 .
(respostas com quatro significativos)
Resp: -2,473 -1,925 -1,216 -0,6686 0,04027 0,5880 1,297 1,845 2,554 3,101
sen A + sen B = 2 sen 1 (A + B) cos 1 (A − B)
2
2
cos A + cos B = 2 cos 1 (A + B) sen 1 (A − B)
2
2
Exercício 8:
Encontre todos os ângulos x, em radianos e entre -π e +π tais que
(a) sen(2x) + sen(4x) = 0 .
π /3 -π /2 -π /3
Resp: -2
0
π /3 π /2 2π /3 π
(b) cos(x) + cos(3x) = 0
π /4 -π /2 -π /4 π /4 π /2
Resp: -3
π /4
3
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