Matrizes - Vestibular1

Matemática
Mário
Matrizes
Definição: Uma matriz é um conjunto de elementos
agrupados em uma “tabela” de m linhas por n colunas tal
que m e n pertençam aos N*.
Igualdade: Uma matriz é igual a outra se são de mesma
ordem, ou seja, possuem o mesmo número linhas e
colunas, além disso os respectivos elementos devem ser
iguais.
Tipos de matrizes:
Matriz linha: A matriz só possui uma linha.
Matriz coluna: A matriz só possui uma coluna.
Matriz nula: Matriz que possui todos os seus elementos
iguais a zero.
Matriz quadrada: Matriz em que o nº de linhas é igual ao
nº de colunas. Quando uma matriz não é quadrada ela é
chamada de matriz retangular, é fácil, basta ver seu
formato.
Matriz oposta: A matriz é oposta a alguma outra quando
o sinal de todos seus elementos é trocado.
Matriz transposta: Matriz em que as linhas e as colunas
t
foram trocadas entre si. É tida como A .
Matriz simétrica: Uma matriz é dita simétrica se for igual
a sua transposta.
Matriz anti-simétrica: A matriz é anti-simétrica se sua
oposta for igual a sua transposta.
Por fim temos a matriz identidade e matriz
diagonal, mas para falarmos sobre elas é necessário
descrever as diagonais de uma matriz.
Uma matriz, quadrada possui diagonais, sendo
duas, a diagonal principal e a diagonal secundária. É
como se fizéssemos a diagonal de um quadrado. A
diagonal principal é composta pelo primeiro elemento da
primeira linha e coluna, o segundo da segunda linha e
coluna e assim sucessivamente, já a diagonal
secundaria possui o ultimo elemento da primeira linha e
primeiro elemento da ultima coluna, o penúltimo
elemento da segunda linha e o segundo elemento
penúltima coluna e assim sucessivamente.
Matriz diagonal: É composta por elementos na diagonal
principal, não importando quais sejam, mas os demais
elementos da matriz devem ser iguais a zero.
Matriz identidade: Para que uma matriz seja identidade
ela precisa que os componentes da diagonal principal
sejam iguais a um e que os demais elementos da matriz
sejam iguais a zero.
Observação: Matrizes retangulares não possuem
nenhuma diagonal, portanto não podem ser matrizes
diagonais ou identidades.
É importante lembrarmos que existem outros
tipos de matrizes, mas não são tão comuns.
Operações:
Soma e subtração: Para somar ou subtrair matrizes, as
mesmas devem ser de mesma ordem. A soma ou
subtração é feita elemento a elemento correspondente.
A soma e subtração possuem propriedades que
podem e devem ser usadas. Suponhamos A, B e C
matrizes de mesma ordem.
A + B = B + A (comutativa)
(A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
A + 0 = 0 + A = A (elemento neutro)
A + (-A) = -A + A = 0 (elemento oposto)
t
t
t
(A+B) = A + B
Multiplicação: Pode ser feita entre matrizes e entre
matriz e números reais. A multiplicação feita com um
número real resulta em uma matriz em que todos os
elementos ficam multiplicados por tal número, já a
multiplicação entre matrizes é mais complicada, vamos
ver:
Para multiplicar duas matrizes, uma com a outra,
é necessário que o número de colunas da primeira seja
igual ao número de linhas da segunda. O resultado é
uma matriz com o nº de linhas da primeira e o nº de
colunas da segunda. Veja o exemplo:
A
multiplicação
também
possui
importantes, suponhamos A, B e
convenientes para a multiplicação:
propriedades
C matrizes
(A.B).C = A.(B.C) (associativa)
C.(A+B) = C.A + C.B (distributiva)
A.I=I.A=A
t
t
t
(A.B) = A . B
Observação: A.B não é sempre igual a B.A.
1
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Determinantes:
É necessário compreender o método de calculo
de determinantes de matrizes de ordem igual ou inferior
a 3.
Determinantes de matrizes de ordem 1: É a
própria matriz.
Determinantes de matrizes de ordem 2: É
simples, basta fazer o seguinte: Multiplique os elementos
da diagonal principal, agora multiplique os elementos da
diagonal secundária, subtraia o primeiro resultado do
segundo, o resultado será a determinante.
3 – Se uma matriz quadrada for multiplicada por
um número real, o determinante da matriz que resultará
é igual ao determinante da matriz original multiplicado
pelo mesmo número real elevado a ordem da matriz.
4 – Se uma fila de uma matriz quadrada for
multiplicada por um numero real, o seu determinante é
multiplicado pelo mesmo número real.
5 – Se duas filas paralelas forem trocadas de
lugar entre si, o determinante troca de sinal.
6 – Sendo A uma matriz, podemos escrever sua
determinante da seguinte forma: det(A).
7 – det(A.B) = det(A).det(B)
n
8 – det(A ) = (detA)
n
9 – det(I) = 1
Determinantes de matrizes de ordem 3: Para
calcular o determinante neste caso também é simples,
veja o exemplo:
-1
10 – det(A ) = 1/det(A)
Matriz inversa:
Suponha A uma matriz, B será sua matriz
inversa se e somente se A.B = B.A = Identidade
conveniente. Sendo a matriz B dita como matriz inversa
-1
de A e representada por A .
Nem toda matriz é inversível, quando a matriz
em questão é inversível a chamamos de matriz nãosingular, já quando ela não é inversível e tida como
matriz singular.
As matrizes inversas possuem algumas
propriedades, então considere A e B matrizes
convenientes, daí temos:
Outra forma de calcular o determinante é a
seguinte: escolhe-se uma linha ou coluna, de preferência
a que contenha maior número de zeros, para facilitar as
contas. Distingui-se o primeiro número da linha ou
coluna escolhida, depois, forme outra matriz com os
números que não estejam na mesma linha e coluna do
número escolhido. O número escolhido então deve
multiplicar (-1) elevado a soma das linhas e colunas em
que o mesmo esta e tudo isso deve multiplicar o
determinante da pequena matriz restante, faça isso para
os outros números. Esse método é extremamente válido
quando a matriz original possui zeros, pois agiliza as
contas. Veja um exemplo de uma matriz onde convém
esta forma:
-1 .
A A=I
-1 -1
(A ) = A
-1 t
t -1
(A ) = (A )
-1
-1
-1
(A.B) = B . A
Se a matriz inversa existir ela é única.
Observação: O determinante de uma matriz inversível é
sempre diferente de zero.
Sistemas Lineares
Uma equação linear é dada na seguinte forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b
Onde a1, a2,...,an e b são números reais e os demais são
incógnitas (variáveis). O número representado por b é
chamado de termo independente.
Exemplo: x+4y = 2
Observações:
As soluções são dadas pelo conjunto de
números que satisfaz as equações, no exemplo anterior
podemos citar (0,1/2).
1 – O determinante de uma matriz é igual ao
determinante da sua transposta.
2 – Uma matriz que possui duas linhas ou
colunas iguais possui determinante igual a zero.
Observação: uma equação linear é dita homogênea
quando seu termo independente for nulo.
2
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Pode ser que encontremos um problema que
envolva duas restrições, ou até mais, bom, sendo estas
restrições entendidas como equações lineares, como
resolver?
Bata fazer um sistema de equações, mas como
resolver? Bom, existem alguns métodos.
Substituição: basta isolar uma variável de uma
das equações e substituir em outra, por exemplo:
x+y=2
x+2y = 3
=>
x = 3 – 2y
Voltando a equação x+y=2 e substituindo o x temos:
3-2y+y = 2 => y = 1 => x = 1
Soma ou subtração: Em alguns casos convém
somar ou subtrair as equações, veja como seria isso
com o exemplo anterior
x+y=2
x+2y = 3
Se subtrairmos a
2ª da 1ª
Exercícios:
01 – Calcule o resultado das seguintes operações com
matrizes:
2 3 0 4

+
 4 5  7 3 
A) 
B)
02 – Muitas das vezes antes de começar a resolver um
exercício pode ser interessante perder algum tempo
pensando como fazê-lo. Veja a operação abaixo, que
neste caso é simples e defina dois métodos de
resolução (lembrando que um deles é o mesmo do
exercício anterior, ou seja, somar termo a termo).
0 3 4  0 3 4 
6 10 13 + 6 10 13

 

7 21 9  7 21 9 
x+2y – (x+y) = 3-2
=> x+2y-x-y = 1
Perceba que o x e o -x vão se anular, e diretamente já
teremos o valor de y
=> y = 1 => x = 1
Tente você, verá que na maioria das vezes, quando
temos esta possibilidade, as contas ficam reduzidas,
diminuindo o tempo gasto para a resolução.
As vezes você poderá encontrar sistemas que
não poderão ser resolvidos,eles são chamados sistemas
impossíveis ou incompatíveis, por exemplo:
x+y=1
x+y=2
Observação: Um sistema é dito possível determinado
se possuir uma única solução e possível indeterminado
se possuir infinitas soluções.
03 – Tire suas conclusões dos seguintes casos:
45 97 25
48 0

A) 32 1
3  + 

44 0
79 2 0  
0
0 1 2 

 0
B) 1 1 0 − 

 0
2 0 2 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

1
04 – De o resultado das operações abaixo, quando for
possível.
Matriz associada a um sistema linear
Podemos associar um sistema linear a uma
matriz, veja como ficaria:
7 6   2 0 
5 4 − 9 10

 

A)
2 3 1 1
0 0 x 1 0

 

1 0 3
1 2 1 

B) 
 x  3 1 0
6
4
3

 0 0 1 



0
10

  29,5

 
C) 25 19 x  0


 4 7  43,74


1

11
7

45 2 
23 9 


3
Matemática
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2
05 - Calcule o determinante de A . Veja que alguns
números pertencem aos complexos.
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
A matriz M é? Tal que
2 
3 + i
A=
3 − i 
 5
6 – (UFU – 2005) Considere a matriz
11 – Quando possível, calcule o determinante das
matrizes abaixo:
1 2 3 


B) 2 0 0


1 1 1
1 2
A) 

3 4
4
Então A + 2A³ + 4A² + 8A é igual a
6
A) A
8
B) A
10
C) A
5
D) A
07 – (UFU – 2006) Considere a matriz
0
2
C) 
9

5
0
1
0
5
0
4
7
5
0
2
3

8
D)
1 0 9
8 7 9


12 – Para que o determinante da matriz
Determine quantas soluções tem o sistema linear.
09 – (UFU – 2007) Sejam A e P matrizes quadradas de
-1
ordem 3, com P inversível, e
B = P A P . Assinale a
única alternativa incorreta.
10
10
-1
A) B = P A P
B) Se det A = 2, então, det (-3B) = -6
C) Se A não é inversível, então det B = 0
-1
D) A = P B P
10 – (UFU – 2006 / adaptada) Por recomendação
médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com
duas refeições diárias. Estas refeições são compostas
por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas
dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte
tabela:
Vitamina A
Vitamina B
Alimento 1
20 uni./ grama
30 uni./ grama
Alimento 2
50 uni./ grama
45 uni./ grama
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada
refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500
unidades de vitamina B.
Considere nesta dieta:
1 + a − 1 
 3 1 − a


seja nulo, o valor da variável “a” deve ser:
A)
B)
C)
D)
4 ou 5
1
2 ou -2
3 ou -3
p 2

13 – (UESP) Se o determinante da matriz p 4

 p 4
 p −1

-18, então o determinante da matriz p − 2

 p − 2
2
4 é
1
2
4 é
1
igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
-9
-6
3
6
9
Gabarito:
06. A
09. B
12. C
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
4
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Trigonometria
Na trigonometria, estudamos os triângulos, seus
“componentes” e algumas aplicações, muitas das vezes
praticas, mas para isso, vamos ver antes alguns
conceitos.
Arco: Tendo uma circunferência escolhemos dois pontos
sobre a mesma, o pedaço da circunferência contido
entre estes dois pontos é dito um arco da circunferência
e recebe o nome dos pontos escolhidos, ex.: AB.
Ângulos: Dados dois segmentos ou mesmo duas retas
com um ponto em comum é possível medir a inclinação
entre os dois segmentos ou retas partindo do ponto em
questão. Esse seria o ângulo. Existem alguns tipos de
ângulo, citados a seguir:
- Ângulo reto: ângulo cuja medida é exatamente
90°.
- Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre
0°(maior que 0°) e 90° (menor que 90°).
- Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre
90° (maior que 90°) e 180° (menor que 180°).
- Ângulo raso: ângulo cuja medida é exatamente
180°.
Tangente: Cateto oposto sobre hipotenusa ou seno
sobre cosseno.
Observação: Cateto oposto e cateto adjacente são
vistos com relação ao ângulo que se quer a informação,
o cateto oposto ao ângulo é aquele que se encontra a
frente dele, ou seja, dos três lados do triângulo, é aquele
que não tem “contato” com o ângulo. Por eliminação o
cateto adjacente é o lado que sobra, ou seja, para saber
qual é ele, basta excluir a hipotenusa e o cateto oposto.
É possível com estas relações encontrar alguns
valores dos “componentes” do triângulo, como por
exemplo, a medida de um dos lados, mas antes de
vermos um exemplo disso, é necessário saber os
valores destas relações para os ângulos ditos notáveis.
O que são ângulos notáveis? São aqueles
primordiais para a resolução de vários exercícios. Quais
são? 30°, 45°, 60°.
Os ângulos de 0° e 90° também são importantes,
mas vamos falar sobre eles em um tópico posterior.
Existe uma tabela muito comum para os valores
dos ângulos notáveis, veja abaixo:
30°
seno
45°
1/2
√2 / 2
√3 / 2
cosseno
√3 / 2
√2 / 2
1/2
tangente
√3 /3
1
√3
Observação: grau é uma unidade de ângulo, que pode
ser medido também em radianos (aquela representação
usada com um “pi”). Veremos isso ainda.
Relação e conversão de ângulos
Agora podemos
Encontre o valor de x e y.
Imagine 360 arcos iguais em uma circunferência
e segmentos ligando suas extremidades a origem da
circunferência. Um grau corresponde a inclinação entre
dois segmentos que ligam as extremidades de um único
arco destes.
Bom, alem dos graus temos os radianos, basta
saber que qualquer circunferência possui comprimento
de 2π.
Vale a igualdade: π = 180°. Então para
transformarmos graus em radianos ou o contrario, basta
fazer regra de três.
60°
partir
para
um
exemplo.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é um triângulo que
possui um ângulo reto. Ele é formado por dois catetos e
uma hipotenusa, que são os lados do mesmo. Como
saber quais são os catetos e qual é a hipotenusa? É fácil,
a hipotenusa está sempre oposta ao ângulo de 90 graus
(ângulo reto), os outros lados são os catetos.
É possível relacionarmos os lados de um
triângulo desses citados acima. E quais relações são
essas? Bom, vamos vê-las agora.
Seno: Cateto oposto sobre hipotenusa
Veja que não é complicado encontrar o valor de
X e Y, pois temos um ângulo notável acompanhado da
medida do seu cateto adjacente. Nas relações ditas
anteriormente, quais as que nos interessa, ou seja, quais
envolvem a hipotenusa e o cateto oposto juntamente ao
ângulo de 30°?
Note que:
Cosseno: Cateto adjacente sobre hipotenusa
5
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cos 30° = √3 / 2
Mas o cosseno de algum ângulo também é igual
a:
cateto adjacente
hipotenusa
Nesse caso o cateto oposto é Y e a hipotenusa é
x, então temos
Observação 2: Essa é muito importante, pois as vezes
esquecemos dos valores das tangentes para os ângulos
notáveis. Quando isso acontecer, recorram a formula da
tangente, “seno sobre cosseno”. Pegue os valores dos
senos e cossenos correspondentes ao ângulo e
substitua na formula para obter a tangente desejada.
Portanto não existe a necessidade de memorizar os
valores das tangentes dos ângulos notáveis, a não ser
para agilizar a resolução de problemas.
Redução ao primeiro quadrante
cos 30° = √3 / 2 = cateto adjacente = 20
hipotenusa
X
Logo temos:
Sabemos que existem quatro quadrantes
angulares, o que são estes quadrantes? Veja abaixo a
figura e entenderão perfeitamente. Detalhe: já estão
numerados em ordem.
√3 = 20
2
X
Para descobrir o valor de X temos que isolá-lo,
daí:
X = 20 . 2
√3
É comum racionalizar, mas não é errado deixar
desta forma.
Agora vamos encontrar o valor de Y, tendo em
mãos os valores da hipotenusa e do cateto adjacente. É
possível encontrar Y de duas formas, a primeira usando
seno e a segunda usando tangente, vamos ver.
Sen 30° = ½ = cateto oposto = Y = Y
hipotenusa
X 40/√3
Reduzir para o primeiro quadrante as vezes
favorece o calculo de senos, cossenos ou tangentes de
ângulos que estão nos demais, veja que na tabela não
possuímos os valores para ângulos nos quadrantes que
não sejam o primeiro. Veja abaixo a figura mostrando as
formulas de reduções.
Daí,
1= Y
2 40/√3
Basta isolar o Y, como fizemos a pouco com o X.
Agora usando a tangente.
Tg 30° = √3 = cateto oposto = Y
3 cateto adjacente 20
Logo temos:
Y = √3
20 3
Novamente basta isolar o Y, veja que usando o
seno e a tangente o resultado é o mesmo.
É necessário ficar atento ao que estamos
querendo, pois dependendo do quadrante em que o
ângulo original está o sinal seno, cosseno ou tangente,
muda, quando calculamos reduzindo ao primeiro
quadrante. Olhe abaixo os sinais e os quadrantes:
1°
Observação 1: Para memorizar a tabela de senos e
cossenos para ângulos notáveis, existe uma pequena
frase. Após posicionar a primeira linha e coluna
(seno/cosseno e ângulos) é só lembrar: “um dois três,
três dois um, todos sobre dois, só não tem raiz onde tem
um”. Observe a formação da tabela.
2°
3°
4°
Sen
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tg
+
-
+
-
Então se formos calcular o seno de 210°,
reduzindo ao primeiro quadrante temos:
6
Matemática
Mário
Com o teorema de Pitágoras e o circulo
trigonométrico podemos chegar a seguinte relação,
muito importante por sinal:
210 = 180 + X
Onde X é o ângulo correspondente a 210 no primeiro
quadrante.
Estamos seguindo as formulas anteriores.
sen²(x) + cos²(x) = 1
Isolando o X,
Identidades trigonométricas
X = 210 – 180
X = 30°
sen2x + cos2x = 1
O seno de X é então o seno de 30° que na
verdade é ½, mas como nosso ângulo “original” (210°)
está no terceiro quadrante temos que a resposta não é
½ e sim -½ .
Observação: cada quadrante é composto de 90°.
Certo, mas e se o ângulo for 0°, 90°, 180°, 270°
ou 360°.
Aí entra o circulo trigonométrico, que na verdade
já está implícito nos outros valores dos ângulos. O
circulo trigonométrico é um circulo no plano cartesiano,
com origem no ponto (0,0) e raio igual a 1 sempre.
O seno é “medido” no eixo Y e o cosseno no
eixo X. Como o raio do circulo trigonométrico é 1, o valor
máximo do seno e do cosseno é o próprio 1.
sen (-x) = -sen x
cos (-x) = cos x
sec (x) = 1 / cos (x)
cossec (x) = 1 / sen (x)
cotg (x) = 1/ tg (x)
tg (a-b) =
tg (a) – tg (b)
1 + tg (a) . tg (b)
tg (a+b) =
tg (a) + tg (b)
1 - tg (a) . tg (b)
cos (a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)
cos (a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
sen (a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
sen (a - b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)
cos² (x) = 1+ cos(2x)
2
Temos que o 360° coincide com o 0° logo os
valores de seno e cosseno serão iguais.
Logo,
0°
90°
180°
270°
sen
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
A tangente é medida por fora, como mostra a figura
anterior.
Observação: os gráficos serão feitos na sala de aula.
Teorema de Pitágoras
H² = A² + B²
sen² (x) = 1 – cos(2x)
2
sen(a/2) =± √ (1-cos(a))/2
cos(a/2) = ± √ (1+cos(a))/2
Lei dos senos
sen(A) = sen(B) = sen(C)
a
b
c
ou
= b
= c
= 2r
a
sen(A) sen(B)
sen(C)
onde r é o raio da circunferência em que o triângulo está
inscrito. Veja na figura:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa (para os que gostam, ta numa
música dos Mamonas Assassinas).
7
Matemática
Mário
Exercícios:
01 - (Fuvest-SP) Qual das afirmações a seguir é
verdadeira?
A)
B)
C)
D)
E)
Lei dos cossenos
Considerando ainda os lados e ângulos do
triângulo anterior, a lei dos cossenos fica da seguinte
forma:
02 – (UEA-AM) Sabendo que sen x = 2/3 e que x está no
1° quadrante, o valor de cotg x é:
A) 5/2
B) 1/3
C)
a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A)
sen 210° < cos 210° < tg 210°
cos 210° < sem 210° < tg 210°
tg 210° < sen 210° < cos 210°
tg 210° < cos 210° < sem 210°
sen 210° < tg 210° < cos 210°
D)
5 /3
5/3
E)
5/2
03 – (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a
1 − sen 2 ( x)
?
cot g ( x).sen( x)
A)
B)
C)
D)
E)
sen(x)
cos (x)
tg (x)
cossec (x)
cotg (x)
04 – (PUC-BA) Qualquer que seja o número real x, a
expressão
A)
B)
C)
D)
E)
cos 4 ( x) − sen 4 ( x) é equivalente a:
sen² (x) - 1
2(senx).(cosx)
2cos²(x) – 1
2 – cos²(x)
(sen x + cos x). cos x
05 – Se f é uma função real definida por f(x) =
(2tgx)/(1+tg²x) então f(x) é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
cossec 2x
sec 2x
tg 2x
cos 2x
sen 2x
06 – (Fuvest – SP) Se cos(x/2) = 2/4 então cos(x) vale:
A) -3/8
B) 3/8
14 / 4
C)
D) 1/8
E)
32 / 4
07 – (PUC-RJ) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a:
8
Matemática
Mário
A)
B)
C)
D)
E)
8
-8/15
3/4
-3/4
5/8
18 – (UFU) Num triângulo ABC, o ângulo  é reto. A
altura ha divide a hipotenusa a e, dois segmentos, m e n
(com m > n). Sabendo que o cateto b é o dobro do
cateto c, podemos afirmar que m/n vale:
2
x
x

08 – (Unifor-CE) A expressão  sen + cos  é
2
2

equivalente a:
A)
B)
C)
D)
1
0
cos²(x/2)
1 + sen x
{x є R; x = 2kπ, k є Z}
{x є R; x = 2kπ ± π/2, k є Z}
{x є R; x = kπ ± π/4, k є Z}
{x є R; x = kπ, k є Z}
A)
B)
C)
D)
E)
A) 2
B) ½
C) 1
D)
2
Gabarito:
10 – Quando Resolvida no intervalo [0; 2π], o número de
quadrantes nos quais a desigualdade 2cos x <
apresenta soluções é:
4
3
2
7/2
5
19 – (UFU – 2007) O valor de tg 10° (sec 5°+cossec 5°)
(cos 5° - sen 5°) é igual a:
09 – (UFJF) O conjunto solução da equação |cos2x| = 0
é:
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
E)
3
0
1
2
3
4
11 – Sabendo que o triângulo ABO é retângulo em B,
que o lado oposto ao ângulo OÂB mede 5 unidades e
que o ângulo AÔB mede 12 unidades. Determine o valor
do seno, cosseno e tangente dos dois últimos ângulos
citados.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
18.
19.
B
E
B
C
E
D
B
D
C
E
A
A
12 – Num campeonato de asa-delta, um participante se
encontra a uma altura de 160m e vê o ponto de chegada
a um ângulo de 60°. Calcular a componente horizontal x
da distância aproximada em que ele está desse ponto de
chegada.
13 – Quais valores k pode assumir para tornar possível a
igualdade sen x = 2k – 5?
14 – Quais valores k pode assumir para tornar possível a
igualdade cos x = 2k – 9?
15 – Determine o conjunto verdade da equação 2sen² (x)
+ sen (x) – 1 = 0 (Dica: veja que esta é uma equação do
segundo grau).
16 – Determine o conjunto verdade da equação sem x +
cos x = 1.
17 – Mostre sen² (x) + cos²(x) = 1.
9
Matemática
Mário
Geometria plana
Paralelismo: Uma reta ou um segmento de reta é
paralelo a outro quando a distancia entre dois pontos
(um de cada reta) for igual, sendo estes pontos,
pertencentes a um seguimento perpendicular a ambas
as retas. Isso deve ser válido para todo par de pontos
das retas que seguirem esse perfil, porém, para se
certificar basta analisar dois pares, veja abaixo na figura:
Perpendicularismo: Duas retas, semi-retas e/ou
segmentos são perpendiculares entre si quando têm um
ponto em comum e alem disso, o ângulo formado entre
os dois é reto, ou seja, de 90°
Congruência de figuras planas: Duas figuras planas são
congruentes quando possuem lados e ângulos iguais.
Semelhança de figuras planas: Duas figuras planas são
semelhantes se possuem a mesma forma, mas não
necessariamente o mesmo tamanho.
3 – Dois ângulos são suplementares se a soma dos dois
é igual a 180°.
Teorema de Tales
O teorema de Tales afirma que, tendo duas
retas paralelas e duas retas transversais a estas
paralelas, os segmentos correspondentes formados
pelas retas transversais, são proporcionais, observe:
Daí o teorema de Tales diz que:
AB = AE = AC
BC ED AD
Classificar triângulos quanto aos lados
Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e os dois
ângulos formados com o lado “diferente” também são
iguais.
Semelhança de triângulos
Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e os três
ângulos também.
Existem alguns casos de semelhanças de
triângulos, vamos ver alguns deles:
Triângulo escaleno: todos os lados diferentes.
AA: Se dois ângulos (por conseqüência três
ângulos também) correspondentes de um triângulo são
congruentes então os dois triângulos são semelhantes.
LLL: Se dois triângulos possuem seus lados
correspondentes, sendo proporcionais, então estes
triângulos são semelhantes.
LAL: Se dois triângulos possuem dois lados
correspondentes semelhantes, de forma que estes dois
lados formem entre si um ângulo correspondente ao do
outro triângulo que seja congruente, existe também o
caso de semelhança.
Os casos citados acima são os principais
critérios usados para verificar a semelhança entre
triângulos.
Observações:
Algumas definições
Polígono regular: um polígono é regular quando seus
lados e ângulos são congruentes. Por exemplo, o
quadrado, todos os seus ângulos internos medem 90° e
os lados são todos de mesma medida. Um polígono
regular pode ser inscrito em uma circunferência, de
forma que seus vértices estejam sobre a circunferência.
Cuidado, nem todo polígono inscrito em uma
circunferência é regular.
Apótema: o segmento que liga o centro de um polígono
regular a um lado, fazendo 90° com esse lado é dito
apótema.
Diagonal de um retângulo: A diagonal de um retângulo,
ou quadrado, pode ser calculada usando o teorema de
Pitágoras.
1 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Corda: Segmento que une dois pontos de uma
circunferência.
2 - Dois ângulos são complementares se a soma dos
dois é igual a 90°.
Diâmetro: o diâmetro é um “componente”
circunferência, é uma corda que passa pelo centro.
da
10
Matemática
Mário
Setor circular: é realmente o setor de um circulo, ou
sejam uma parte dele, como se fosse uma fatia de uma
pizza.
Ou seja, para a área total da circunferência temos 360°,
para a área do setor circular temos X graus. É
simplesmente uma “comparação” de áreas com graus.
Outras fórmulas
Perímetros
Cordas se interceptando dentro de uma circunferência:
O perímetro de um polígono é simplesmente a
soma de todos os seus lados, mas e o perímetro (na
verdade chamado de comprimento) da circunferência?
Existe uma formula que nos responde isso.
Fica válido nesse caso, dizer que:
C = 2.π.r
π vale aproximadamente 3,14. Nas
Observação:
respostas das questões, a não ser que seja realmente
necessário, não é interessante gastar tempo substituindo
a letra por esse valor.
a.d=c.b
Áreas
Secantes se interceptando fora de uma circunferência:
Área de um triângulo:
A=b.h
2
onde b é o tamanho da base e h o tamanho da altura do
triângulo.
Área de um quadrado:
A = lado x lado
Área de um retângulo:
Fica valido nesse caso, dizer que:
A=b.h
(a+b).b = (c+d).d
onde b é o tamanho da base e h é o tamanho da altura
do retângulo.
Secante e tangente
circunferência:
se
interceptando
fora
da
Área de um polígono regular: veja que um polígono
regular possui todos os lados iguais, portanto tente
dividi-lo em triângulos e calcular a área de um deles,
depois multiplicar pela quantidade de triângulos divididas.
Como um polígono regular pode ser inscrito em uma
circunferência, dois dos lados desses triângulos citados
serão do mesmo tamanho do raio da circunferência.
Temos então triângulos isósceles.
Área de uma circunferência:
A = π . r²
onde r é o raio da circunferência.
Área do setor circular: Para calcular a área de um setor
circular basta fazer uma regra de três.
Fica valido nesse caso, dizer que:
a² = (b+c).c
Ângulo inscrito e central:
área da circunferência ---------- 360°
área do setor ----------------- graus
11
Matemática
Mário
Exercícios:
1 – Mostre a fórmula da diagonal de um quadrado de
lado “a”.
2 – Mostre a fórmula de área de um triangulo eqüilátero
de lado “a”.
3 – Um triângulo eqüilátero possui 6 cm de lado. Qual é
o perímetro e a área deste triângulo?
Fica valido nesse caso, dizer que:
4 – (UFU – 2007) Na figura abaixo, a área do triângulo
ADE corresponde a 20% da área do quadrado ABCD.
2b = a
Mais definições
Nos triângulos também podemos encontrar:
Mediana: Mediana é o segmento que une o ponto médio
de um lado ao seu ângulo oposto. O ponto de encontro
das medianas é chamado baricentro. O tamanho do
segmento do baricentro ao vértice é de 2/3 do tamanho
total da mediana.
Mediatriz: reta que sai de forma perpendicular do ponto
médio do segmento, ou no caso, do lado do triângulo.
Bissetriz: reta que divide o ângulo em dois iguais.
Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30cm², o
lado do quadrado ABCD deve ser igual a
A) 10cm.
B) 10√2 cm.
C) 5√3 cm.
D) 5cm.
5 – (UFU – 2006) Na figura abaixo, O é o centro da
circunferência de raio 1 cm.
Sabendo-se que ABCD é um quadrado e que “alpha” é
igual a 60º, a área da região sombreada é igual a
12
Matemática
Mário
A) ( π + 2 – 2√3) cm²
B) ( π - 1 - √3) cm²
C) ( π + 1 - √3) cm²
D) ( π - 2 – 2√3) cm²
6 – (UFU – 2004) Na figura abaixo o ângulo x, em graus,
pertence ao intervalo
A)
B)
C)
D)
E)
20°
30°
50°
60°
90°
10 – No triângulo ADE da figura, em que B e C são
pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB=AC,
BC=BD e CD=CE.
A) (0º, 15º)
B) (15º, 20º)
C) (20º,25º)
D) (25º, 30º)
7 – Da figura abaixo deduza (considerando as bases
paralelas) a formula da área de um trapézio, usando as
formulas para as áreas de retângulos e triângulos.
A)
B)
C)
D)
E)
8 – (UFU – 2004) Sabendo-se que, na figura abaixo, CD
= 1 cm e BD = √3 cm, determine:
x = 48°
x = 50°
x = 52°
x = 54°
x = 56°
Gabarito:
04. A
05. A
06. B
09. A
10. C
A) os ângulos “alpha” e “beta”.
B) a área do triângulo ABC.
9 – (Fuvest – 2001) Na figura abaixo, tem-se que
AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80°,
então o ângulo ABC mede:
13
Matemática
Mário
Geometria espacial
Por dois pontos no espaço passa uma
única
reta e por três pontos não colineares um único plano.
O que é um plano? Um conjunto de retas que
podem ser concorrentes ou paralelas entre si. Indo mais
alem, as retas são conjuntos de pontos, se um plano é
um conjunto de retas, um plano também é um conjunto
de pontos.
Se dois planos diferentes se interceptam, a
interseção é uma reta.
Posições relativas entre retas
Retas concorrentes: interceptam-se em um único ponto.
Retas paralelas: já foram citadas anteriormente.
Retas reversas: não são coplanares (não pertencem a
um único plano).
Retas ortogonais: não reversas e apresentam um ângulo
reto entre si.
Posições relativas entre retas e planos
Concorrentes: uma reta e um plano são concorrentes
quando possuem apenas um ponto em comum, pode-se
dizer também que a reta é secante ao plano.
Paralelos: uma reta é paralela a um plano quando
ambos não possuem nenhum ponto em comum.
Se o sólido possui ponta, por exemplo, o cone,
ou uma pirâmide, basta fazer:
1/3 (área da base x altura)
Se o sólido não possuir ponta, como o cubo, o
paralelepípedo ou
o cilindro, basta retirar da
formula anterior o “1/3”, ou seja, o volume é dado por:
(área da base x altura)
Note que alguns sólidos são formados por
alguns mais simples, como por exemplo, o
“classiquissimo” balão de São João, daqueles pequenos
feito em escolas, aqueles de papel. Têm a forma de
duas pirâmides, uma de cabeça para baixo e outra de
cabeça para cima, dividindo a mesma base.
Para calcular o volume de um sólido desse tipo,
basta calcular o volume de uma das pirâmides de dobrar
(considerando que as duas são iguais).
Mas e o volume e área da esfera? E a área do
cone? Vamos falar deles agora.
Área de um cone
Agora a pouco vimos que a área de um sólido
geométrico é a soma das áreas de suas faces.
A base de um cone é uma circunferência, cuja
formula para a área já foi mencionada quando tratamos
da geometria plana.
Falta agora ver a área daquela parte que fica
“em volta”.
Perpendiculares: se uma reta é perpendicular a duas
retas concorrentes de um plano, então ela é concorrente
ao plano.
Posições relativas entre planos
Planos concorrentes: dois planos são concorrente
quando possuem apenas uma reta em comum.
Planos paralelos: dois planos são paralelos se não
possuem nenhuma reta em comum.
Planos perpendiculares: dois planos são perpendiculares
se algum deles contem uma reta perpendicular ao outro.
Áreas e volumes
Como calcular a área e volume de sólidos
geométricos? Para isso precisamos usar os conceitos e
formulas de áreas da geometria plana, que vimos
anteriormente.
Repare que não é tão difícil quanto parece.
A área se resume em somar as áreas das faces
do sólido. As faces são geralmente retângulos ou
triângulos, salvo o cone, que veremos com mais calma.
E o volume? Para todos os sólidos que iremos
estudar, exceto a esfera, as formulas são fáceis.
Na figura acima “g” é a geratriz do cone, é como
se fizéssemos a projeção desta vista lateral em um
plano, ficaria um triângulo, g é um dos lados desse
triângulo.
Observe que o cone estando “aberto” vira um
setor circular, novamente, para calcular sua área basta
fazer uma regra de três.
Área e volume da esfera
A = 4.π.r²
V = 4.π.r²
3
14
Matemática
Mário
Exercícios:
1 – (UFU – 2006) Uma esfera maciça de ferro de raio 10
cm será fundida e todo o material derretido será usado
na confecção de um cilindro circular e de um cone
circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura
também r cm. Não havendo perda de material durante o
processo, r será igual a
4 – (UFU – 2004) Bóias de sinalização marítima são
construídas de acordo com a figura abaixo, em que um
cone de raio da base e altura r é sobreposto a um
hemisfério de raio r.
A) 4 cm.
B) 8 cm.
C) 5 cm.
D) 10 cm.
2 – (UFU – 2005) Uma certa empresa dispõe de dois
reservatórios, um com formato cônico e outro cilíndrico,
ambos com o mesmo raio da base circular. O
reservatório cônico está totalmente cheio de álcool e
todo seu conteúdo será transferido para o reservatório
cilíndrico, inicialmente vazio. O restante do reservatório
cilíndrico será preenchido com gasolina. Sabendo-se
que a altura do reservatório cilíndrico é igual a 10 m, e
que a mistura resultante deve conter 30% de álcool e
70% de gasolina, a altura do reservatório cônico deve
ser igual a
A) 9 metros.
B) 3 metros.
C) 7 metros.
D) 1 metro.
3 – (UFU – 2004) Cubos são colocados uns sobre os
outros, do maior para o menor, para formar uma coluna,
como mostra a figura abaixo.
Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia é
multiplicado por
A) 8.
B) 27/8.
C) 9/4.
D) 4.
5 – Deduza a fórmula da diagonal do cubo usando o
Teorema de Pitágoras.
6 – (UFU – 2008) Dispõe-se de um cilindro maciço
circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4
cm e a altura 10 cm. Esse cilindro será derretido e com o
material fundido serão fabricadas esferas de aço de raio
2 cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de
material, então o número de esferas a ser fabricadas, a
partir do cilindro dado, é igual a:
A)
B)
C)
D)
O volume do cubo maior é 1 m³ e o volume de cada um
dos cubos seguintes é igual a 1/27 do volume do cubo
sobre o qual ele está apoiado. Se fosse possível colocar
uma infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a
A) (27/26) m.
B) 2 m.
C) 1,5 m.
D) 4,5 m.
13
15
14
16
Gabarito:
01. D
02. A
03. C
04. B
06. B
15
Matemática
Mário
Análise combinatória
Este conteúdo é tido por muitos como complicado e
na verdade realmente não é tão fácil, muitas das vezes
pela sua simplicidade. Por isso vamos tentar abordá-la
da maneira mais didática possível.
Iremos nos deparar com 3 tipos de situações:
1ª situação:
Imagine que você vá ao cinema com seu (sua)
namorado(a), as coisas estão muito paradas e o filme
está muito chato, daí você olha para o lado e vê mais um
tanto de gente e imagina... “de quantas maneiras seria
possível todos nós sentarmos nesta fileira?” Ahh, agora
sim as coisas ficam divertidas. Então vamos pensar,
imaginando que naquela fileira estejam 10 poltronas,
todas elas com pessoas.
Vamos imaginar quando todos estavam entrando e
as poltronas ainda estavam vazias. A primeira pessoa a
chegar, teria quantas opções de lugar? 10 correto, pois
não havia ninguém sentado até então.
Pronto, a primeira pessoa já se sentou, aí lá vem a
segunda, que da aquela clássica tropeçada na escada
devido a pouca luz, quando ela chega a fileira, quantas
opções restam? Por certo que são 9 opções.
Bom, esse raciocínio continua, até que toda a fileira
seja preenchida com a chegada da ultima pessoa e sua
única opção, que por certo não será no meio.
E daí!? E daí que tivemos uma seqüência
decrescente de números: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. E a
resposta para a pergunta que você havia feito é
justamente a multiplicação destes números, ou seja,
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10! (dez fatorial)
Isso é o que chamam de permutação!
Existem muitas coisas clássicas nessa vida, por
exemplo: uma manhã de domingo, frango no almoço,
alguns desenhos, algumas séries... e... aquela
brincadeira de dançar em volta da cadeira! É sobre ela
que vamos falar... imagine, o quão perigoso pode ser
aquele jogo em que se ouve uma música e quando a
mesma para, todos correm para sentar nas cadeiras,
aquilo lá sim, é danado! Então vamos imaginar uma
aventura dessas, mas para tornar tudo mais
emocionante teremos 3 cadeiras a menos que o número
de pessoas. Vamos de novo imaginar 10 pessoas na
brincadeira, portanto 7 cadeiras, quando a musica para,
quantas são as possibilidades de grupos se sentarem?
O importante é se sentar, não importa em que
cadeira seja, portanto, não importa a ordem dos
elementos nesse caso.
Isso se classifica como uma permutação. Temos
menos cadeiras do que pessoas e não importa a ordem
que se sentem. É extremamente aconselhável o uso da
fórmula:
C 710 =
10!
7!(10 − 7)!
Resumindo:
Nome
Permutação
Ordem
Importa
Fórmula
Arranjo
Importa
Combinação
Não importa
n!
(n − p)!
n!
C pn =
p!(n − p)!
Pn = n!
A pn =
2ª situação:
Pronto, imagine agora a mesma situação anterior,
mas desta vez teremos 15 pessoas para 10 poltronas. Aí
lascou, alguns vão rodar! Agora é como se ao invés das
pessoas escolherem as poltronas, na verdade as
poltronas escolheriam as pessoas, pois estas estão em
menor quantidade, é como se fosse um sorteio.
O sorteio funcionaria assim, para a primeira poltrona,
quantas pessoas poderiam ganhar o direito de sentar
nela? Se pensarmos um pouco, a resposta é 15. O
mesmo acontece para a segunda poltrona, no caso,
como uma pessoa já se sentou na primeira, então resta
apenas 14 possibilidades. Isso se repete, assim como na
situação anterior, mas quando chegar na ultima poltrona,
teremos 6 possibilidades e não apenas uma, como
ocorreu na primeira situação. Logo, sempre cinco
pessoas ficarão de fora.
Essa é a diferença entre permutação (caso anterior)
e arranjo (este caso), ou seja, na permutação todos os
elementos são usados enquanto no arranjo isso não
acontece. Mas a forma de resolver é a mesma,
multiplicando as possibilidades.
3ª situação:
Exercícios:
01 – (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos
poder ser formados com 1,2,3,4,5,6 e 7, satisfazendo a
seguinte regra: O número não pode ter algarismos
repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em
que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.
Assinale o resultado obtido.
A)
B)
C)
D)
E)
204
206
208
210
212
02 – (UFU - 2003) Um sério problema enfrentado pelas
autoridades de saúde é diagnosticar a chamada
pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7
sintomas dessa doença. Se em um paciente forem
detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a
doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar
que o número total de combinações distintas dos
16
Matemática
Mário
sintomas possíveis para que o diagnóstico
pneumonia asiática seja efetivado é igual a:
A)
B)
C)
D)
da
21
29
147
210
Progressão Aritmética
Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa
seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
03 – (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para
passageiros, cada um com três lugares e deve
transportar os três membros da família Sousa, o casal
Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Alem disso,
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de
dispor os nove passageiros na lotação é igual a
A)
B)
C)
D)
E)
918
1152
1828
2412
3456
04 – (UFU – 2007) A prova de um concurso é composta
somente de 10 questões de múltipla escolha, com as
alternativas A, B,C e D por questão. Sabendo-se que, no
gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D
aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos
possíveis de ocorrer?
410
10
B) 2
9
C) 2
9
D) 10.2
A)
5–2=3
8–5=3
11 – 8 = 3
Assim:
Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de
números reais em que a diferença entre um termo
qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é
sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A
representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.
• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.
• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.
A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
• r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A
é constante.
TERMO GERAL DA P.A.
5 – (UFU – 2004) De quantas maneiras distintas um
fazendeiro pode escolher, entre 12 vacas selecionadas
de seu rebanho, 4 vacas e distribuí-las entre as 4
instituições de caridade de sua cidade, sendo uma vaga
para cada instituição?
A)
B)
C)
D)
495
11880
1980
5940
Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r.
Temos:
• a2 - a1 = r
→
a2 = a1 + r
• a3 - a2 = r
→
a3 = a2 + r
• a4 – a3 = r
.
.
.
Assim:
→
a4 = a3 + r
.
.
.
→
→
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
.
.
.
an = a1 + ( n – 1) . r
Gabarito:
01.
02.
03.
04.
05.
E
B
E
D
B
Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do
termos geral de uma P.A.
Exemplo:
Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos
os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º
termo da P.A.
17
Matemática
Mário
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
a20 = 121
•
É fácil demonstrar por indução matemática que:
Concluímos que o 20º termo dessa P.A é 121.
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Soma dos termos de uma P.G.
Para determinar uma P.A apartir de seus elementos
utilizamos de algumas notações que facilitam a
resolução de alguns exercícios.
• Para três termos em P.A, podemos escrever:
(x–r,x,x+r)
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é
definida por:
Exemplo:
Determine três números em P.A, sabendo que o
elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos
os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)
Demonstração
Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo.
Escreva:
Multiplique por q:
Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os
termos repetidos:
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A
A fórmula que nos permite calcular a soma dos n
primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … )
Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn.
Temos então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1
ou
Somando essas igualdades membro a membro,
obtemos:
o que é equivalente a:
Divida ambas os termos por: :
resultado segue.
eo
Soma dos infinitos termos de uma P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada
série geométrica e está bem definida quando | q | < 1.
Sua soma é:
Progressão Geométrica
Costuma-se denotar por an n-ésimo termo de uma
progressão geométrica. Assim, a progressão fica
totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1 e
sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
•
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