Função Trigonométricas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE DE NOVA ANDRADINA
SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
DISCIPLINA – CÁLCULO I
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
CLAUDIA DA SILVA NABARRO
DAVID CARDOSO SIQUEIRA
DENISE FARIAS BOEIRA
EDILSON A. DO NASCIMENTO
EMERSON F. A. DO COUTO
IVAIR R. DE OLIVEIRA
LEILA R. B. BARBOSA
MARINA A. DE OLIVEIRA
MÁRIO S. DE A. MENDONÇA
ROSIMEIRE DA SILVA OLIVEIRA
ROSVELY T. T. DA VEIGA
VALÉRIA DOS SANTOS PEREIRA
DEZEMBRO – 2010
NOVA ANDRADINA - MS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE DE NOVA ANDRADINA
SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
DISCIPLINA – CÁLCULO I
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Trabalho apresentado no curso de
graduação, Segunda Licenciatura em
Informática, como requisito para
conclusão da disciplina de Cálculo I, sob
a orientação do Prof. Msc. Márcio
Demetrius Martinez.
DEZEMBRO – 2010
NOVA ANDRADINA - MS
1 INTRODUÇÃO
Tendo em vista os significativos avanços da tecnologia e suas contribuições
para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem matemático tornase interessante a observação de recursos tecnológicos utilizados como ferramenta
didática. O uso de recursos computacionais além de motivar as aulas de
matemática, contribuir para a formação de conceitos, aprofundarem o entendimento
dos mesmos através da exploração e integração dos aspectos gráficos,
geométricos, numéricos e analíticos, permite também a construção de modelos
matemáticos abstratos, simples e precisos. Com o uso destes recursos as aulas de
matemática tornam-se inovadoras reforçando o papel da linguagem gráfica e
relativizando a importância do Cálculo.
O presente trabalho tem por objetivo observar e analisar as funções
trigonométricas e sua aplicabilidade através do software matemático MuPAD. Além
da pesquisa bibliográfica, propõe a utilização do software educacional MuPAD que
foi utilizado na disciplina de Cálculo I. Este software possibilita a expansão dos
limites da sala de aula proporcionando aos alunos uma melhor construção dos
conhecimentos matemáticos e permitindo aliar a teoria à prática tornando o
conteúdo significativo e contextualizado em uma abordagem interdisciplinar,
melhorando a qualidade das aulas ministradas.
2 BREVE HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA
Trigonometria é o estudo das relações entre os lados e os ângulos de um
triângulo, sua origem etimológica provém do grego: tri (três), gono (ângulo) e metrien
(medida). Embora a origem da trigonometria seja incerta, há registros de que os
povos egípcios e babilônicos utilizavam as relações entre os lados e os ângulos para
resolver problemas relacionados à Astronomia.
Por volta da segunda metade do século II a.C, o astrônomo Hiparco de Nicéia
construiu uma tábua com os valores das cordas de ângulos de 0º a 180º, a qual
passou a ser conhecida como a primeira tabela trigonométrica, a partir deste feito
Hiparco passou a ser considerado o “Pai da Trigonometria”. No entanto, foi Ptlomeu
quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, sua obra Almagesto
apresenta uma tabela de cordas semelhante à tabela de senos.
As relações entre a Trigonometria e a Astronomia estavam intrinsecamente
ligadas ao estudo dos triângulos curvos de lados curvilíneos formados sobre a
superfície esférica, dessa forma a Trigonometria Esférica teve seu desenvolvimento
anterior ao da Trigonometria Plana. Os estudos trigonométricos esféricos eram
baseados na relação entre um arco arbitrário e sua corda, tais estudos eram
utilizados nos cálculos astronômicos e na navegação.
A partir da relação do comprimento de uma corda, os árabes e os hindus
calculavam o seno, que era a metade da corda do arco duplo de raio unitário, já o
conceito de cosseno correspondia ao seno do complemento de um ângulo, tanto os
conceitos de seno e cosseno surgiram da necessidade de calcular problemas
relativos à Astronomia. O conceito de tangente, cuja denominação antiga era função
sombra, tinha como concepção a associação das sombras projetadas por uma vara
colocada na horizontal, a variação na elevação do Sol causava uma variação no
ângulo formado entre os raios solares e a vara que modificava o tamanho da
sombra. O estudo das sombras foi importante para o cálculo das alturas das
pirâmides, bem como para a criação do relógio do sol. Dessa forma, diferentemente
dos conceitos de seno e cosseno, os conceitos de tangente e cotangente não
surgiram a partir da associação de ângulos e cordas. Somente por volta do século
XV surgiram as primeiras tabelas de secante e cossecante, as quais não eram
utilizadas pelos astrônomos antigos.
No século XVIII, Euler realizou a sistematização dos conceitos de seno,
cosseno e tangente como números ligados ao círculo de um raio, assim como as
notações utilizadas atualmente. Contudo, somente em 1635, a Trigonometria passou
a ter um tratamento funcional, quando Roberval esboçou uma curva do seno.
As funções trigonométricas como o seno, o cosseno, a tangente, a
cotangente, a secante e a cossecante estabelecem as relações das medidas de
ângulos a medidas de segmentos de reta. Atualmente, a trigonometria não se limita
apenas ao estudo de triângulos, seu campo de aplicação estende-se a diversos
campos como mecânica, eletricidade, acústica, música, astronomia, engenharia,
medicina, entre outros.
3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3.1 Função seno
Sabemos que a todo número real x corresponde um único ponto M do ciclo
trigonométrico; a ordenada de M, OM 1 , relação ao sistema cartesiano uOv, é uma
função de x, isto é, a cada x corresponde um único número OM 1 . Essa função é
denominada função seno.
Definição:
Seja M a imagem, no ciclo, do número real x. Por definição: seno de x é a
ordenada de M.
Representação:
sen x = OM 1
v
M1
o
M(x)
u
A
Observações:
A definição do seno de um ângulo agudo, no triângulo retângulo, é coerente
com a definição acima, restringindo-se aos valores de x pertencentes ao intervalo
] 0,
[. De fato, se x
] 0,
[ , então sua imagem M está no 1º quadrante do ciclo e
sen x = OM 1 .
Por outro lado, x é a
medida em radianos do ângulo
agudo AÔM e, considerando o
v
triângulo M2OM conforme indica a
figura abaixo, temos:
sen x =
M 2M
OM
Como
M1
M
.
o
u
M2 A
e
OM = 1(Raio) , segue que:
sen x =
OM 1
= OM 1
1
Devemos notar, ainda, o
uso freqüente da unidade grau em
medidas de ângulos. Neste caso,
o seno da medida do ângulo é o
M
seno do número real que se
obtém exprimindo a medida em
radianos, por exemplo:
sen 30º = sen
x
, sen 60º = sen
O
M2
.
sen 90º = sen
As mesmas observações
são
válidas
para
as
demais
funções trigonométricas.
3.1.1 VALORES NOTÁVEIS E SINAIS
X
0
sen x
0
2
1
0
-1
0
X
(30º)
(45º)
(60º)
sen x
Analisando os sinais da ordenada de M, cada quadrante, temos:
v
1º Quadrante: x
] 0,
[
sen x > 0
2º Quadrante: x
]
[
sen x > 0
+
3º Quadrante: x
] ,
4º Quadrante: x
]
[
,
+
sen x < 0
[
sen x < 0
0
–
–
3.1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Se percorremos x no intervalo [0, 2
vejamos o que acontece com f(x) = sen x.
u
Pela figura acima, obtemos a seguinte tabela para o seno:
x
0
sen
0
2
0
1
0
x
Fazendo um diagrama com x em abscissas e f(x) = sen x em ordenadas,
podemos representar os pares (x, sen x ) da tabela anterior por pontos e ligá-los
para obtermos parte do gráfico da função seno, chamado senóide.
Gráfico
y = sen (x), no intervalo ] 0, [
• plotfunc2d(sin(x),x = 0..PI)
sin(x)
y
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
Gráfico
y = sen (x), no intervalo ] 0, 2 [
• plotfunc2d(sin(x),x = 0..2*PI)
sin(x)
y
1
0.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-0.5
-1
3.1.3 DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
O domínio da função seno é IR e a imagem é o intervalo [-1,1]. Isso significa
que
e vice-versa:
Nota-se como o domínio da função seno é IR, a senóide continuará tanto à
direita de 2
e à esquerda de 0. Pois a figura acima mostra apenas uma parte do
gráfico.
A função seno é uma função periódica, pois observamos que a partir de 2
ela começa a repetir os seus valores.
Observe o gráfico abaixo:
Gráfico
y = sen (x), no intervalo ] 0, 4 [
• plotfunc2d(sin(x),x = 0..4*PI)
sin(x)
y
1
0.5
0
0
2.5
5
7.5
10
12.5
x
-0.5
-1
3.2 Função cosseno
Sabemos que todo número real x corresponde um único ponto M do ciclo
trigonométrico; a abscissa de M, OM 2 , em relação ao sistema cartesiano uOv, é
uma função de x, isto é, que a cada x corresponde um único número OM 2 . Essa
função é denominada função cosseno.
Definição:
Seja M a imagem, no ciclo, do número real x. Por definição: cosseno de x é a
abscissa de M.
Representação:
cos x = OM 2
v
M
o
u
M2 A
3.2.1 VALORES NOTÁVEIS E SINAIS
x
0
cos x
1
0
X
(30º)
–1
0
1
(45º)
(60º)
cos x
Sinais:
1º Quadrante: x
] 0,
[
cos x > 0
2º Quadrante: x
]
[
cos x < 0
–
3º Quadrante: x
] ,
4º Quadrante: x
]
[
,
+
cos x < 0
[
cos x > 0
0
–
+
u
3.2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Analogamente ao que aconteceu na função seno, se fizermos x percorrer no
intervalo [0, 2
vejamos o que acontece com f(x) = sen(x).
Pela figura acima, obtemos a seguinte tabela para o seno:
x
0
cos x
1
2
0
0
1
Representando os pares( x, cos x ) por pontos de um plano cartesiano e
ligando-os, obtemos parte do gráfico da função cosseno, chamado cossenóide.
Gráfico
y = cos (x), no intervalo ] 0, [
• plotfunc2d(cos(x),x = 0..PI)
cos(x)
y
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
-0.5
-1
Gráfico
y = cos (x), no intervalo ] 0, 2 [
• plotfunc2d(cos(x),x = 0..2*PI)
cos(x)
y
1
0.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-0.5
-1
3.2.3 DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
O domínio da função cosseno é IR e a imagem é o intervalo [-1,1]. A função
cosseno é periódica e de período p = 2
Nota-se como o domínio da função cosseno é IR, a cossenóide continuará
tanto à direita de 2
e à esquerda de 0. Pois a figura acima mostra apenas uma
parte do gráfico.
A função cosseno é uma função periódica, pois observamos que a partir de
ela começa a repetir os seus valores.
2
Observe o gráfico abaixo:
Gráfico
y = cos (x), no intervalo ] 0, 4 [
• plotfunc2d(cos(x),x = 0..4*PI)
cos(x)
y
1
0.5
0
0
2.5
5
7.5
10
12.5
x
-0.5
-1
3.3 Propriedades das funções seno e cosseno
3.3.1 FUNÇÃO LIMITADA
Dizemos que uma função f: A
B é limitada se existir um número M, M > 0,
que satisfaz a condição:
para todo
As funções seno e cosseno são limitadas porque:
1e
1, para todo x.
Reconhecendo uma função limitada: Uma função é limitada quando seu
gráfico situa-se numa faixa horizontal do plano cartesiano.
Veja uma exemplo:
• plotfunc2d(cos(x),x = -2*PI..2*PI)
y = cos ( x )
cos(x)
y
1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-0.5
-1
• plotfunc2d(sin(x),x = -2*PI..2*PI)
sin(x)
y
1
y = sen ( x )
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-0.5
-1
3.3.2 FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
Dizemos que uma função é par se:
:A
B
.
Dizemos que uma função é ímpar se:
:A
B
.
Logo, observamos que os números x e – x têm, no ciclo, imagens simétricas
em relação ao eixo das abiscissas. Então, temos
e
para todo x, onde concluímos que o seno é função ímpar e o
cosseno é função par.
v
sen x
x
o cos x
-sen x
–x
u
Para reconhecermos uma função par basta observarmos se o seu gráfico é
simétrico em relação ao eixos das ordenadas, ou seja, verifique que numa função
par, pontos de abscissas opostas têm a mesma ordenada. Já uma função ímpar o
seu gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano, ou seja, basta
verificarmos que numa função ímpar, pontos de abscissas opostos têm ordenadas
também opostas.
3.4 Função tangente
Para a definição da tangente de um arco x, é necessário acoplar um terceiro
eixo ao ciclo trigonométrico. Na figura, o eixo (vertical) das tangentes é obtido
quando se tangencia, por uma reta, o ciclo no ponto A de origem dos arcos.
Unindo-se o centro O à extremidade do arco x e prolongando-se esse raio, ele
interceptará o eixo das tangentes – no caso, no ponto T.
Por definição, a medida algébrica do segmento AT é a tangente do arco x
radiano. A orientação do eixo das tangentes é cima, sendo x do 1° quadrante,
temos: tg x = AT>0.
Como temos feito até aqui, procuraremos associar a cada número real x o
valor de tg x, introduzindo a função y = tg x.
3.4.1 DOMÍNIO
Inicialmente poderíamos pensar no conjunto R como possível domínio da
função y = tg x. Ocorre porém que, no caso de termos, por exemplo, x = π,
2
deixa de existir o ponto T, visto que a reta que une o centro O à extremidade do arco
x torna-se paralela ao eixo das tangentes, não o interceptando, portanto.
O mesmo ocorre quando x = 3 π/2. Assim, podemos dizer que não existem tg
(π/2), tg (3 π/2), etc. De maneira geral, escrevemos “não existe tg(π/2 + k π ), k є Z”.
senos
tangentes
π
2
o
A
cossenos
3π
2
Concluímos que o domínio da função y = tg x é D= x є R | x ≠ π + k π, k є Z
2
A imagem da função y= tg x é o intervalo ]- ∞, + ∞[.
Relação Fundamental: tg x= sen x,
cos x
válida para qualquer x є R | x ≠ π + k π, k є Z.
2
3.4.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
plotfunc2d(tan(x),x=0..PI/6) y=tg x, no intervalo [0, π]
tan(x)
y
0.5
0.375
0.25
0.125
0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
x
plotfunc2d(tan(x),x=PI/4..PI/3) y=tg x, no intervalo [π/4, π/3]
tan(x)
y
1.625
1.5
1.375
1.25
1.125
1
0.8
0.85
0.9
0.95
1
x
plotfunc2d(tan(x),x=PI/2..PI) y=tg x, no intervalo [π/2, π]
x
1.75
2
tan(x)
2.25
2.5
2.75
3
0
-1.25e+8
-2.5e+8
-3.75e+8
-5e+8
y
plotfunc2d(tan(x),x=3*PI/2..2*PI)
4.75
0
-1.25e+8
-2.5e+8
-3.75e+8
-5e+8
y
5
5.25
y=tg x, no intervalo [3π/2,2 π]
tan(x)
5.5
5.75
6
x
6.25
plotfunc2d(tan(x),x=0..2*PI)
y=tg x, no intervalo [0, 2π]
tan(x)
y
25
12.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-12.5
-25
plotfunc2d(tan(x),x=PI..3*PI)
y = tg(x), no intervalo [π, 3 π]
x
3.75
0
-25
-50
-75
y -100
5
tan(x)
6.25
7.5
8.75
3.5 Função cossecante
Considere o ciclo trigonométrico da figura.
sen
D
M”
M
x
o
A
M’
S
cos
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M, interceptamos o
eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
Da figura, definimos cossec x = OD. Utilizando a semelhança de triângulos,
podemos obter:
OD = 1__ = cossec x, sen x ≠ 0
sen x
Domínio = x≠ k π, k є Z.
Imagem = cossec x ≤ - 1 ou cossec x ≥1
3.5.1EXERCÍCIOS
1) Qual é o domínio da função y= cossec (x + π/7)?
RESOLUÇÃO: A condição de existência é: x + π ≠ k π.
7
Logo, x ≠ - π + k π, k є Z.
7
Portanto, D ={x є R| x ≠ - π/7 + k π, k є Z}.
Criando o gráfico pelo software Mupad da função no intervalo [- 1, 1], temos:
plotfunc2d((1/sin (x + PI/7)),x=-1..1)
1/sin(x + 1/7*PI)
y
5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-5
-10
2) Encontre o valor da expressão y = (cossec π/2 + 2cossec(-π/2)/(cossec 5π/2 –
cossec 3 π/2).
Resolvendo pelo Mupad, temos:
• (1/sin(PI/2)+2*(1/sin(-PI/2)))/(1/sin(5*PI/2)-1/sin(3*PI/2))=
y = -1/2
Criando o gráfico dessa função através do software Mupad, temos:
plotfunc2d((1/sin(PI/2)+2*(1/sin(-PI/2)))/(1/sin(5*PI/2)-1/sin(3*PI/2)))
-1/2
y
0.75
0.5
0.25
0
-5
-2.5
0
-0.25
-0.5
-0.75
2.5
5
x
3.6 Função secante
A função secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z,
estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores.
Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de
x, denotada por sec(x).
no intervalo [0,2 ].
Segue uma tabela com valores de
x 0
y 1
/4
/2
3
não existe -
/4
5 /4
-1 -
3 /2
7 /4 2
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
y = sec(x)
plotfunc2d(sec(x), x=0..2*PI)
1/cos(x)
y
25
12.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-12.5
-25
Quando x assume valores próximos de
/2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima
de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
3.6.1 PROPIEDADES
,
O domínio da função é o conjunto IR ={
} , e o contradomínio da
, sabendo que a função secante é periódica de
função é
Im(sec(x)) = IR - {y pert IR / -1<y<1}
O gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).
plotfunc2d(sec(x), x=-PI/2..5*PI/2)
1/cos(x)
y
40
20
0
0
2
4
6
x
-20
-40
3.6.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Gráfico da função y =sec(x), no intervalo [0, 2π]
plotfunc2d(1/cos(x),x=0..2*PI)
1/cos(x)
y
25
12.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-12.5
-25
.
Gráfico da função y = sec(x/2), no intervalo [0, 2π]
plotfunc2d(sec(x/2),x=0..2*PI)
1/cos(1/2*x)
y
25
12.5
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-12.5
-25
Gráfico da função y = sec(2x/5), no intervalo [-1, 1]
plotfunc2d(sec(2*x/5),x=-1..1)
1/cos(2/5*x)
y
1.08
1.06
1.04
1.02
-1
-0.5
1
0
0.5
1
x
3.7 Função cotangente
onde k é um
A função cotangente não existe para arcos da forma (k+1)
inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes
valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a
cotangente de x, denotada por:
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x
0
/4
y não existe 1
/2 3
0
/4
-1
5 /4 3 /2 7 /4
não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
y=cot(x)
• plotfunc2d(cot(x), x=0..2*PI)
cot(x)
y
25
12.5
0
1.25
-12.5
-25
2.5
3.75
5
6.25
x
1
0
-1
2
não existe
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está
próxima de
(ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce
muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais
horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
3.7.1 PROPRIEDADES
• O domínio da função é R/ {k , k
Z}, e o contradomínio da função é todo o
conjunto R;
• O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais,
assim I=R.
• O gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).
y = cotg(x)
• plotfunc2d(cot(x), x=-PI..3*PI)
cot(x)
y
50
25
0
-2.5
0
-25
-50
2.5
5
7.5
x
3.7.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Gráfico da função y = cotg(x), no intervalo [0, 2π]
cos(x)/sin(x)
y
25
12.5
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
-12.5
-25
Gráfico da função y = cotg(x/2), no intervalo [-1,1]
plotfunc2d(cos(x/2)/sin(x/2),x=-1..1)
cos(1/2*x)/sin(1/2*x)
y
10
5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-5
-10
plotfunc2d(cos((3*x +1)/2)/sin((3*x +1)/2),x=-1..1)
cos(3/2*x + 1/2)/sin(3/2*x + 1/2)
y
5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-5
-10
4. Referências bibliográficas
BOYER, C.B. História da Matemática, Editora Blücher, São Paulo, SP, 1974.
BOULOS, PAulo .Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 1999
GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto. MATEMÁTICA COMPLETA. 2ª
série do ensino médio, 2. ed. São Paulo:FTD, 2005.
GUIDORIZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol I. 5ª ed. Rio de Janeiro:
Editora LTC, 2000.
IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, Roberto,
ALMEIDA, Nilze de. MATEMÁTICA: Ciência e Aplicações. 2ª série do ensino médio,
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