Lista de exercícios 4

Lista de exercícios 4
MCTB026-13 Topologia
Quadrimestre 2016.3
Sejam X um espaço topológico e B uma base para X . Prove que X é compacto
se, e somente se, toda cobertura de X por elementos de B possui subcobertura nita.
1.
Sejam X um espaço topológico, x ∈ X e (xn )n∈N uma sequência em X com
xn −→ x. Prove que {xn : n ∈ N} ∪ {x} é um subconjunto compacto de X .
2.
n→∞
3.
(a) Seja X um conjunto qualquer munido da topologia conita. Prove que todo
subconjunto Y ⊆ X é compacto.
(b) Seja X um conjunto qualquer munido da topologia coenumerável. Prove que
um subconjunto Y ⊆ X é compacto se, e somente se, Y é nito.
Sejam X um espaço topológico compacto e D ⊆ X discreto. Prove que, se
F ⊆ D é fechado em X , então F é nito.
4.
Sejam τ a topologia usual de [0, 1] ⊆ R e p ∈
/ [0, 1]. Considere, sobre o conjunto
X = [0, 1] ∪ {p}, a topologia que tem como base a família
5.
B=τ∪
1
{p} ∪ 0,
: n ∈ N \ {0} .
n
Mostre que, com esta topologia, X é um espaço T1 mas não é um espaço T2 . Verique
que [0, 1] ⊆ X é um subconjunto compacto de X que não é fechado em X .
6.
Sejam X um espaço topológico e K1 , K2 ⊆ X subconjuntos compactos de X .
(a) Prove que K1 ∪ K2 é compacto.
(b) Prove que, se X é T2 , então K1 ∩ K2 é compacto.
(c) Mostre, através de um exemplo, que não se pode omitir a hipótese de que X é
T2 no item anterior.
Sejam X um espaço topológico compacto, U ⊆ X aberto e F 6= ∅ uma família
T
de subconjuntos fechados de X satisfazendo F ∈F F ⊆ U . Mostre que existe F0 ⊆ F
T
com 0 < |F0 | < ℵ0 tal que F ∈F0 F ⊆ U .
7.
Seja (X, τ ) um espaço topológico compacto e T2 . Suponha que {x} é um subconjunto Gδ de (X, τ ) para cada x ∈ X . Prove que (X, τ ) tem caráter enumerável.
[Obs.: Dizemos que A ⊆ X é um subconjunto Gδ de (X, τ ) se existe uma família
T
enumerável U ⊆ τ satisfazendo U 6= ∅ e A = U ∈U U .]
8.
Seja X um espaço topológico T2 . Mostre que, se H, K ⊆ X são compactos
disjuntos, então existem abertos disjuntos U, V ⊆ X tais que H ⊆ U e K ⊆ V .
9.
Sejam X um espaço topológico compacto, Y um espaço topológico T2 e f : X →
Y uma função contínua. Mostre que, se f é injetora, então f é um homeomorsmo
sobre sua imagem.
10.
Mostre que todo subespaço compacto da reta de Sorgenfrey é enumerável.
[Sugestão : Mostre que, se um subespaço X de Rs é tal que o conjunto Y = {−x :
x ∈ X} possui ponto de acumulação em Rs , então X não é compacto.]
11.
Prove que, se X é um espaço topológico compacto e metrizável, então X é
separável.
12.
13.
Considere, sobre o conjunto
X = {f ∈ F([0, 1], [0, 1]) : ∀a, b ∈ [0, 1] (a < b → f (a) ≤ f (b))},
a topologia da convergência pontual. Mostre que X é um espaço compacto.