Lista 7 Espaços Métricos – SMA0343 Prof. Fernando Manfio

Lista 7
Espaços Métricos – SMA0343
Prof. Fernando Manfio
1. Prove que a união finita de subconjuntos compactos é compacta. O mesmo
vale para uma união infinita?
2. Sejam X um espaço métrico compacto e f : X → R uma função contínua
tal que f (x) > 0, para todo x ∈ X. Prove que existe uma constante c > 0
tal que f (x) ≥ c, para todo x ∈ X.
3. Seja X um espaço métrico discreto. Prove que X é compacto se, e somente
se, X é finito.
4. Dado um espaço métrico compacto X, considere dois subconjuntos fechados A, B ⊂ X tais que d(A, B) = 0. Prove que A ∩ B 6= ∅. Dê um exemplo
mostrando que a hipótese de X ser compacto é necessária.
5. Dê um exemplo de um conjunto limitado que não seja compacto.
6. Dado um espaço métrico compacto X, considere dois subconjuntos A, B ⊂
X tais que d(A, B) = 0. Prove que existe x ∈ ∂A ∩ ∂B.
7. Se X é totalmente limitado, prove que toda aplicação uniformemente
contínua f : X → Y é limitada.
8. Prove que um espaço métrico X é totalmente limitado se, e somente se,
toda sequência em X possui uma subsequência de Cauchy.
9. Dado uma sequência (xn ) no espaço métrico X, escrevemos lim xn = ∞
para indicar que (xn ) não possui subsequência convergente em X. Dado uma
aplicação contínua f : X → Y , o conjunto limite de f é o conjunto
L(f ) = {y ∈ Y : y = lim f (xn ) e lim xn = ∞}.
(a) Prove que lim xn = ∞ se, e somente se, para todo compacto K ⊂ X o
conjunto {n ∈ N : xn ∈ K} é finito.
(b) Seja f : X → Y uma aplicação contínua e injetora. Prove que f é um
mergulho se, e somente se, f (X) ∩ L(f ) = ∅.
10. Seja f : X → Y uma aplicação contínua. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
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(a) L(f ) = ∅.
(b) Se lim xn = ∞ em X então lim f (xn ) = ∞ em Y .
(c) Para todo subconjunto compacto K ⊂ Y , a imagem inversa f −1 (K) é
um subconjunto compacto de X.
Quando f cumpre uma dessas condições (e portanto todas) dizemos que f é
uma aplicação própria.
11. Prove que toda aplicação própria é uma aplicação fechada.
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