Análise II Professor Rubens Penha Cysne 3 de Abr

Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
(EPGE/FGV)
Análise II
Professor Rubens Penha Cysne
3 de Abril de 2006
Lista de Exercícios 1 Data de Entrega: Dia 11 de Abril de 2005, em sala de aula
Obs - Apenas os exercícios asteriscados, de…nidos em sala até a última aula
antes da data de entrega, precisam ser entregues por escrito.
A) Revisão e Generalização de Alguns Conceitos
B) Otimização Sem Restrições
1- De…na um espaço topológico. Considere o conjunto de três pontos X =
fa1 ; a2 ; a3 g : Quantas topologias você consegue de…nir neste subconjunto? Quais?
Dê exemplos de subconjuntos do conjunto das partes de X que não são topologias.
2- Considere o conjunto de três pontos X do exercício 1 e, no mesmo, a
topologia de abertos tX = ffa1 ; a2 g ; ; Xg : Seja o subespaço A = fa1 ; a2 g de
X, ou seja, o subconjunto A de X com a topologia induzida por tX : Lembre
que nesta topologia os conjuntos abertos são aqueles escritos sob a forma: tA =
fA \ U; U 2 tX g : Quais são os conjuntos abertos de A? Qual o complemento
do conjunto dos conjuntos abertos de A em relação ao conjunto dos conjuntos
abertos de X? A é conexo? X é conexo? Faça xn = a1 para todo n natural. A
sequência xn converge para o ponto a1 ? A sequência xn converge para o ponto
a2 ? O espaço topológico considerado é um espaço de Hausdor¤?
3- O conjunto de conjuntos t’X = ffa1 ; a2 g ; fa3 g ; ; Xg é uma topologia em
X? Caso positivo, repita o exercício 2 para esta topologia.
4 - Repita o exercício 2 para a topologia t00X = P (X) (partes de X). Responda
ainda, com relação ao conjunto A: Qual o seu interior? Qual o seu fecho?
5- De…na uma álgebra e uma sigma álgebra. Quais das topologias apresentadas por você no exercício 1 são também sigma-álgebras (ou álgebras) de…nidas
em X?
6)* Considere o espaço topológico Rn+ ; com a topologia herdada do Rn : Seja
n
n
X = x 2 R+
; j< p; x >
r; r 0; p 2 R++
:
Sobre tal conjunto responda e prove:
a) é fechado; é aberto? é limitado? é compacto? é convexo ? é conexo por
caminhos? é conexo?
1
· Qual o seu fecho (X̄)? Qual o seu conjunto de
b) Qual o seu interior (X)?
pontos de Fronteira (Fr(X))?
c) X é aberto em X̄? X é fechado em X̄?
n
n
d) Seja X1 = x 2 R+
; j< p; x >< 2r; r > 0; p 2 R++
onde r e p são os
mesmos do conjunto X. X é aberto em X1 ? X é aberto em X1 ?
e) Seja 1 : Rn ! R a função projeção na primeira coordenada do Rn :
1 (X) é aberto em 1 (X1 )? 1 (X) é aberto em no fecho de 1 (X1 )?
f) Além de X e (conjunto vazio), existe algum outro subconjunto de X ao
mesmo tempo fechado e aberto em X?
7- Seja Z o subespaço da reta real [ 10; 1) [ (1; 3]: Este conjunto é conexo?
Caso negativo, qual seria uma separação para Z?
8)* Seja Z o subespaço do R2 dados por Z = f(x; y) j y = 0g[f(x; y) j x > 0 ,y = 1=xg :
Este conjunto é conexo? Porque?
9 - Em Rn ; prove se Verdadeiro ou dê contra-exemplo se Falso: Projeções
de abertos são abertos, projeções de fechados são fechados, produto cartesiano
de abertos é aberto e produto cartesiano de fechados é fechado. Sugestão: use
o fato de a função projeção ser contínua.
10) - Prove que o conjunto Z = f0g [ f1=n; n 2 N g é compacto mostrando
que toda cobertura aberta do mesmo necessariamente contém uma coleção …nita
que também cobre Z.
11) - Mostre que o conjunto X = (0; 1] não é compacto mostrando a existência de uma cobertura aberta que não apresente subcobertura …nita para
Z (que tal f(1=n; 1]; n 2 N g?; observe que na de…nição de cobertura aberta os
elementos devem ser suconjuntos abertos em X).
12- Com base no fato de que a imagem de um conjunto conexo por uma
função contínua é um conjunto conexo, enuncie e prove o teorema do valor
intermediário.
13- Com base no fato de que a imagem de um conjunto compacto por uma
função contínua é um conjunto compacto, enuncie e prove o teorema do valor
extremo.
14) Cysne e Moreira (2000), exercícios 1 e 2, página 179.
n
o
x2
x2
15) Seja o conjunto Z = x 2 R2 ; j 251 + 92 = 1 : Este lugar geométrico é
uma elipse? Caso positivo, de…na os seus eixos maior e menor, bem como seus
pontos de foco. Utilize apenas argumentos geométricos para obter, sujeito a
x 2 Z; o máximo de:
a) f(x) = x1 ; f(x1 ; x2 ) = x1
b) f(x) = x2 ; f(x1 ; x2 ) = x2
Mostre as superfícies de nível e o gradiente da função f em cada caso, bem
como sua intersecção com o conjunto Z nos pontos de ótimo.
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