INSTITUTO DE PROMOÇÃO SOCIAL DE BUSTOS Ficha de trabalho: Matemática B Setembro/2009 Introdução ao Cálculo das Probabilidades Distribuição de Probabilidades Experiência aleatória é uma experiência que se pode repetir tantas vezes quantas se queira nas mesmas condições e da qual são conhecidos os resultados possíveis mas não é possível prever (determinar) o seu resultado. Exemplo: Lançar uma moeda ao ar. Experiência determinista é uma experiência em que é possível determinar o resultado mesmo antes de ser efectuada, desde que sejam conhecidas as condições em que se realiza. Exemplo: Atirar uma pedra a um lago. Espaço Amostral, designa-se por S ou Ω, é o conjunto de todos os resultados possíveis, associados a uma experiência aleatória. Acontecimento associado a uma experiência aleatória é cada um dos resultados possíveis e consequentemente, um dos subconjuntos do espaço amostral. Acontecimento certo é aquele que consta de todos os elementos do espaço de resultados. O acontecimento certo verifica-se sempre. Acontecimento Impossível é aquele que não tem qualquer elemento do espaço amostral. O acontecimento impossível nunca se verifica. Acontecimentos incompatíveis são aqueles em que a realização de um implica a não realização do outro. S Verifica-se: A ∩ B = { }=Ø A B Acontecimentos contrários A e A , são aqueles em os resultados de um deles são todos os elementos do espaço amostral que não são resultados do outro. S Verifica-se: i) A ∩ A = { } e A A ii) A ∪ A = S Acontecimento diferença entre A e B é aquele que se realiza se e só se A se realiza sem que B se realize. Aos elementos de A retiram-se os de B. S A A\B B A – B = A\B Conceito frequencista de Probabilidade (Lei dos Grandes Números): A probabilidade P(A) de um acontecimento A, é o valor para que tende a frequência relativa desse acontecimento quando se repete a experiência um grande número de vezes. Regina Costa Vidal Página 1 Propriedades: Verifique que: 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(S) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) se A ∩ B = { } P(A) = 1 − P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) se A ∩ B ≠ { } Definição clássica de Probabilidade ( Lei de Laplace): No caso dos acontecimentos do espaço amostral serem equiprováveis a probabilidade de um determinado acontecimento A é o quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis (número de elementos do espaço amostral). Prática 1. A turma do 12ºX da Escola Secundária de Trabalheira é constituída por 26 alunos. Sabe-se que, nesta turma, 18 alunos estão inscritos em Matemática , 14 em Geologia e 2 em nenhuma destas disciplinas. Considere a experiência aleatória que consiste em seleccionar ao acaso um aluno desta turma e anotar as disciplinas em que está inscrito. Sejam M e G os conjuntos associados aos seguintes acontecimentos: M: “Estar inscrito em Matemática.” G: “Estar inscrito em Geologia.” 1.1. Represente a informação dada num diagrama de Venn. 1.2. Indique o número de elementos dos conjuntos seguintes: 1.2.1. M ∩ G 1.2.2. M ∪ G 1.2.3. G 1.2.4. M \ G 2. Num saco temos três fichas numeradas de 1 a 3. 2 3 1 Considere as experiências: A: “Extrair sucessivamente duas fichas, repondo a 1ª ficha antes de 2ª extracção.” B: “Extrair sucessivamente duas fichas, sem reposição.” 2.1. Construa um diagrama de árvore para indicar todos os casos possíveis de A e B. 2.2. Relativamente à experiência A defina os acontecimentos: C: “Extrair dois números ímpares.” D: “Extrair um múltiplo de 3.” 2.3. Relativamente à experiência B defina os acontecimentos: E:“Extrair o número 2.” F: “Não extrair o número 3.” 3. Considere a experiência que consiste no lançamento de dois dados um cúbico e outro tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 6 e de 1 a 4, respectivamente e observar os resultados. 3.1. Construa uma tabela de dupla entrada para indicar todos os casos possíveis. 3.2. Identifique os acontecimentos seguintes: 3.2.1. A: “ A soma dos pontos obtidos é igual a 6.” 3.2.2. B: “ A soma obtida dos pontos obtidos é superior a 8.” 3.2.3. C: “A soma dos pontos obtida é um número primo superior a 7.” 3.2.4. D: “A soma dos pontos obtidos é um número natural.” 3.3. Classifique os acontecimentos AeB, C, D. Justifique. Regina Costa Vidal Página 2 4. De dois acontecimentos incompatíveis A e B sabe-se que: Calcule P(A) , P(B) e P(A ∪ B) . P(A) = 0,7 e P(B) = 2P(A) . 5. Lançou-se 70 vezes um dado tetraédrico, com os vértices numerados de 1 a 4. Obteve-se 15 vezes o vértice um, 20 vezes o vértice dois, 12 vezes o vértice três e as restantes o vértice quatro. 5.1. Elabore um quadro de distribuição de frequências relativas dos acontecimentos elementares. 5.2. Determine a frequência relativa de cada um dos acontecimentos: 5.2.1. A: “Sair um vértice não inferior a 3.” 5.2.2. B: “Sair um vértice par.” 6. Numa caixa há bombons de café e de licor. Retirando, ao acaso, um bombom da caixa, a 1 probabilidade de ele ser de café é . Quantos bombons há de licor, sabendo que há seis bombons de 4 café? 7. A figura representa um quadrado. Determine a probabilidade de: 7.1. Escolhidos dois vértices ao acaso, eles definirem uma diagonal. 7.2. Escolhidos três vértices ao acaso, eles definirem um triângulo. A D B C 8. Quando se tira, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de: 8.1. Sair às. 8.2. Sair copas. 8.3. Sair copas e figura. 8.4. Sair paus ou rei. 8.5. Não sair figura. 9. O António tem, num bolso do casaco, duas moedas de 0,50€, uma moeda de 1€ e uma de 0,20€. Se retirar, duas moedas, ao acaso determine a probabilidade de, com elas perfazer uma quantia que permita pagar uma despesa de 1,20€. 10. Considere uma caixa com quatro camisolas, uma de cada cor, e uma caixa com quatro saias, com as mesmas cores das camisolas. Retirou-se, ao acaso, uma camisola e uma saia. Determine a probabilidade de obter uma saia e uma camisola da mesma cor. 11. Um casal tem três filhos e decidiram ir ao cinema. Sabe-se que vão ocupar lugares consecutivos e que o pai e a mãe se sentam ao lado um do outro. Determine de quantas maneiras diferentes pode a família ocupar os cinco lugares. 12. Considere todos os números de algarismos diferentes menores que 2000 que são possíveis escrever com os algarismos 1,2,3,4 e 5. Determine a probabilidade de ao escolher, ao acaso, um desses números ele ser par. 13. Um fabricante de bicicletas atribui um código de fábrica a cada bicicleta que produz. Cada código é formado por 4 algarismos (de 0 a 9). Sabendo que 0034 é um dos códigos possíveis e que o código 0000 não existe, diga qual o número máximo de bicicletas que o fabricante pode produzir. Regina Costa Vidal Página 3 14. Numa turma do 12º ano de uma escola foi constituída uma equipa de cinco elementos para participar num concurso. Os seus nomes são João (J), Ana(A), Pedro(P), Rui(R) e Susana(S). 14.1. A 1ª prova consta de três questões colocadas a três elementos distintos da equipa. A 1ª e a 3ª questões são dirigidas a rapazes e a 2ª é dirigida a uma rapariga. Determine a probabilidade de o João ser escolhido para responder a uma das questões. Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível. R: 2/3 14.2. Para a última prova foram escolhidos ao acaso dois elementos da equipa. Determine a probabilidade de os elementos escolhidos não serem do mesmo sexo. Apresente o resultado sob a forma de percentagem. R: 60% 15. Um número telefónico é constituído por cinco dígitos. Qual a probabilidade que o número telefónico contenha: 15.1. Um ou mais dígitos repetidos. R:0,6976 15.2. Exactamente um dígito igual a 3. R:0,06561 16. Num torneio de Voleibol estão inscritas 5 equipas: Frei Gil Voleibol, Académica de Espinho, Ala de Gondomar, Castelo Maia e Boavista. As equipas inscritas vão jogar todas contra todas, apenas uma vez. Determine qual o número de jogos que se irão realizar. 17. Num saco há cinco fichas, sendo duas brancas e três azuis. Retiram-se, sucessivamente, sem reposição três fichas. Construa a tabela de distribuição da variável aleatória X=”Numero de fichas brancas saídas”. R:ncp=10 Sugestão: Construir uma tabela de dupla entrada para identificar o espaço amostral. 18. O Xavier foi à Feira do Livro. Ao visitar as diversas livrarias da feira, o Xavier deparou-se com alguns livros que pretende comprar, principalmente três de José Saramago, com os preços de 11 euros, 13 euros e 15 euros dois de Lobo Antunes, com os preços de 18 e 30 euros, e, finalmente, dois de Miguel Sousa Tavares, que custam 22 e 24 euros, respectivamente. O Xavier decidiu comprar um livro de cada um dos três autores. 18.1. Determine de quantas maneiras diferentes o pode fazer. 18.2. Admita que o Xavier escolheu os três livros ao acaso. Considere a variável aleatória X que representa o custo dos três livros que o Xavier vai comprar. 18.2.1. Diga quais os possíveis valores que a variável X pode tomar. 18.2.2. Defina, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável aleatória X. 18.2.3. Quando foi pagar reparou que só tinha 55 euros. Determine a probabilidade de poder pagar a despesa em dinheiro. 19. Num saco estão quatro bolas com os números: 10, 20, 30 e 40. Extraem-se simultaneamente, duas bolas do saco e toma-se nota dos números saídos. Seja X a variável aleatória que corresponde ao maior número que saiu. Defina através de uma tabela a distribuição de probabilidades. 20. Um fabricante analisou os registos diários do número de artigos vendidos por um dos seus representantes e elaborou a seguinte tabela de resultados: Xi- Nº artigos vendidos P(X=Xi) 0 0,1 1 0,35 2 0,3 3 0,1 4 P 5 0,07 6 0,06 Calcule o valor de p. Regina Costa Vidal Página 4