Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Paulo Afonso Bracarense
Ubiratan Vieira Guimarães
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
2008
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por
escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
B796
Bracarense, Paulo Afonso / Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios. / Paulo Afonso Bracarense ; Ubiratan Vieira Guimarães.
— Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2008.
324 p.
ISBN: 978-85-7638-902-6
1. Investimentos – Análise. 2. Análise de regressão. 3. Correlação
(Estatística). 4. Análise de séries temporais. 5. Séries temporais. I. Título.
II. Guimarães, Ubiratan Vieira.
CDD 650.01513
Todos os direitos reservados.
IESDE Brasil S.A
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200
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Paulo Afonso Bracarense
Doutor em Engenharia de Produção com concentração em Inteligência Artificial pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre
em Estatística e Experimentação Agrícola pela
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz
(ESALQ-USP). Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor
da UFPR. Diretor Superintendente da Fundação
da Universidade Federal do Paraná (FUNPAR).
Ubiratan Vieira Guimarães
Mestre em Administração com concentração em
Sistemas de Informação para Tomada de Decisão pela Universidade Federal do Rio Grande do
Sul (UFRGS). Especialista em Estatística Aplicada
e Qualidade e Produtividade pelo Instituto Brasileiro de Qualidade Nuclear (IBQN) , Bacharel em
Estatística pela Universidade Federal do Paraná
(UFPR). Foi diretor executivo do Ibmec Educacional em Curitiba e Coordenador Acadêmico dos
Programas Executivos – MBA e CBA do Ibmec MG.
Atuou na consultoria de grandes empresas e instituições, tais como: Electrolux S/A, Grupo Positivo,
Renault, Volvo, Spaipa, Banco Mundial, BID, V&M,
entre outras.
sumári
sumário
Introdução – conceitos e aplicações |
09
9 | Público-alvo
10 | Linguagem matemática
11 | Modelagem matemática dos fenômenos reais
12 | Os papéis da teoria de probabilidades e da análise de dados amostrais
13 | Organização dos capítulos do livro
19 | Análise de dados |
19
19 | Problema
23 | Conceitos fundamentais
26 | Variáveis categorizadas
29 | Variáveis quantitativas
36 | Medidas estatísticas
53 | Probabilidades e distribuições de probabilidades |
53 | Problema
55 | Conceitos fundamentais
59 | Axiomas e regras de probabilidades
62 | Probabilidades conjunta, marginal, condicional e independência
65 | Teorema de Bayes
67 | Distribuições de probabilidades discretas
72 | Variáveis aleatórias discretas
83 | Amostragem |
83
83 | Problema
84 | Conceitos fundamentais
87 | Tipos de amostragem
91 | Tabela de números aleatórios
93 | Principais técnicas de amostragem
99 | Tamanho da amostra
53
Estimação |
115
115 | Problema
116 | Conceitos fundamentais
119 | A distribuição normal
129 | Distribuição amostral das médias
132 | Distribuição amostral das proporções
134 | Estimação por ponto
137 | Intervalo de confiança
142 | Testes de hipóteses
142 | Hipótese nula versus hipótese alternativa
Análise de regressão e de correlação |
153 | Problema
154 | Conceitos fundamentais
159 | Construindo a reta de regressão
168 | Verificação da bondade do modelo
181 | Predição e intervalos de predição
Teoria da decisão |
189
189 | Problema
190 | Conceitos fundamentais
192 | Critérios de escolha utilizando distribuição a priori
197 | Representação através de diagrama de decisão
153
sumári
sumário
199 | Estabelecimento de distribuições de probabilidades
205 | Tomada de decisões baseada na utilidade esperada
206 | Tomada de decisão com probabilidades a posteriori
Análise de séries temporais |
219
219 | Problema
220 | Conceitos fundamentais
224 | Método dos mínimos quadrados ordinários
230 | Modelo de médias móveis
243 | Outros métodos de previsão
Anexos |
249
Gabarito |
279
Referências |
Anotações |
321
323
Apresentação
Métodos Quantitativos
Aplicados a Negócios
Este livro foi escrito com o objetivo de fornecer
elementos teóricos e técnicos para profissionais
que necessitam tomar decisões tendo como
material essencial conjuntos de dados que precisam ser analisados.
Um conjunto de dados, por si só, não passa de
um conjunto de dados. É necessário que se
domine uma série de técnicas para que esses
dados possam gerar alguma informação. O patamar superior da análise de dados é a aquisição do conhecimento. E ela só estará disponível
se ao domínio teórico do campo de atuação, à
experiência profissional e de vida e à intuição
do tomador de decisões forem trabalhadas as
técnicas quantitativas necessárias para agregar
a esses atributos informações provenientes de
dados corretamente adquiridos.
O livro foi organizado de forma a cobrir toda a
base que compõe o campo de conhecimento da
Estatística. Começando por técnicas de estatística descritiva e de análise exploratória de dados,
passando pela medição da incerteza através da
teoria de probabilidades e pela compreensão
das possibilidades indutivas da teoria clássica
da Estatística no trato com amostras.
Três técnicas úteis e bastante utilizadas na área
de negócios foram apresentadas em detalhes
balanceando-se a complexidade com a exploração da intuição. O trato conceitual foi priorizado
em relação ao trabalho matemático extensivo.
Optamos por trabalhar com toda a conceituação
básica até o quinto capítulo buscando ajudar o
leitor a desenvolver sua sensibilidade com relação aos conceitos abordados. Tratamos cada
técnica com exemplos específicos e ilustrativos
na Área de Negócios.
Métodos Quantitativos
Aplicados a Negócios
A ciência busca compreender os fenômenos
reais através de modelos, muitas vezes de
modelos matemáticos muito próprios para
estudos realizados em ambiente de incerteza. A teoria de probabilidades e a teoria
estatística clássica são ferramentas muito
úteis para ajudar o tomador de decisões em
sua opção por diferentes ações diante de
cenários postos.
Esperamos que o conteúdo do livro, acompanhado das aulas, possa ser de grande valia
para os leitores. Estamos certos, no entanto,
que navegar por essas águas fará com que
cada um sinta-se mais confortável em viver
e trabalhar em um mundo cercado de incertezas e que vale mais a pena compreender
o mundo dessa forma do que viver seguro,
acorrentado e míope na ilusão das coisas
certas e absolutas.
Teoria da decisão
Problema
A empresa ABC está fabricando um novo equipamento que deseja disponibilizar para o mercado. É sabido que o investimento em propaganda pode
trazer um grande retorno se a vendagem do produto for alta. No entanto, o
investimento tem um custo elevado e se a quantidade vendida do produto
não for alta, esse investimento em propaganda pode trazer prejuízo para a
empresa. A questão colocada para a diretoria é se ela deve ou não proceder
ao investimento em propaganda.
Duas ações, então, são possíveis de serem tomadas. A primeira é não investir em propaganda e a segunda é realizar o investimento. Uma pesquisa
extensiva foi realizada e os cenários que foram apresentados para a diretoria
representavam três possibilidades de venda (forte, moderada e fraca). Os resultados financeiros podiam variar como segue.
No caso de investimento em propaganda se as vendas do novo produto
forem fortes o retorno financeiro pode chegar a R$90.000,00 por mês. Se
as vendas forem moderadas o retorno pode chegar a R$30.000,00 e se as
vendas forem fracas a empresa pode ter um prejuízo de R$4.000,00. Na hipótese de não se fazer o investimento em propaganda os retornos esperados
para as três situações de venda serão R$60.000,00, R$10.000,00 e R$2.000,00
dependendo de as vendas serem fortes, moderadas ou fracas.
Diante desse quadro de possibilidades, qual a ação que a diretoria deve
tomar de forma a potencializar as suas possibilidades de lucro?
A tabela abaixo resume as situações de retorno expostas:
A1 = Investir em
propaganda (R$)
A2 = Não investir
em propaganda (R$)
θ1 = venda forte
90
60
θ2 = venda moderada
30
10
θ3 = venda fraca
-4
2
Eventos
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Observa-se que nenhuma das ações é preferível em todos os eventos
ou estados da natureza. A ação de investir em propaganda é preferível nos
casos de futuras vendas fortes ou moderadas, mas se a venda for fraca a ação
preferida é não investir em propaganda.
Se a diretoria soubesse com certeza qual evento ocorreria, o processo de
decisão seria simples. Bastaria olhar para a linha que representasse maior
ganho e selecionar a ação que produzisse o melhor rendimento. No entanto,
a incerteza de que evento ocorrerá torna o problema mais interessante.
Vários diferentes critérios de seleção da melhor ação podem ser sugeridos. Se houvesse ainda a possibilidade de agregar mais informações
sobre as probabilidades de ocorrência de cada um dos eventos, a tomada
de decisão poderia ser realizada com base nessas informações, o que seria
muito desejável.
Conceitos fundamentais
A tomada de decisão gerencial tem crescido em complexidade e os instrumentos da Teoria de Decisão Estatística têm se tornado um importante
modelo para se fazer escolhas racionais entre ações alternativas quando a
informação é incompleta e sob ambiente de incerteza. O problema de decisão sob estudo pode ser representado por um modelo que compreende
cinco elementos.
O tomador de decisão
É o agente a quem cabe a responsabilidade por tomar as decisões. O
tomador de decisões pode ser um indivíduo, uma corporação, uma agência
governamental e assim por diante.
Ações
A decisão envolve uma seleção entre duas ou mais alternativas de ações.
O problema é escolher a melhor entre essas ações alternativas. Algumas
vezes o tomador de decisões deve escolher a melhor das estratégias disponíveis, em que cada estratégia é uma regra de decisão que indica qual ação
deve ser tomada em resposta a um tipo específico de informação amostral
ou experimental.
190
Teoria da decisão
Eventos
Os eventos estão fora do controle do tomador de decisões, que não
sabe ao certo qual evento de fato ocorrerá. Os eventos se constituem de
um conjunto de resultados mutuamente exclusivos, isto é, um e somente um deles ocorrerá. Os eventos também são chamados de estados da
natureza ou simplesmente resultados.
Ganho
É a medida do resultado da opção por uma ação específica. Os ganhos são
apresentados em tabelas de ganhos ou matrizes de ganho, que apresentam as
conseqüências de cada ação selecionada e cada evento que possa ocorrer.
Incerteza
A falta de definição de qual evento ou estado da natureza irá ocorrer é
definido como incerteza. Essa incerteza será indicada em termos de probabilidades associadas aos eventos. Uma das características da Teoria Estatística de Decisão é o assinalamento de probabilidades para a ocorrência
desses eventos. Entre os tipos de probabilidades utilizadas está a probabilidade subjetiva.
A tabela de ganhos é expressa em termos genéricos. Assumimos que existem “n” ações alternativas A1, A2 ... An e “m” possíveis eventos ou estados da
natureza denotados por θ1, θ2 ... θm. Os resultados de ganhos possíveis são
denotados pela letra “u” com os indicadores respectivos de ações e eventos.
A letra “u” está sendo usada por sua associação com “utilidade”, conforme
será mais bem explicado adiante. A matriz abaixo resume as relações acima
descritas:
Ações
Eventos
A1
A2
...
An
θ1
u11
u12
...
u1n
θ2
u21
u22
...
u2n
...
...
...
...
...
θm
um1
um2
...
umn
191
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Como essas utilidades podem ser determinadas será assunto para este
capítulo. Em síntese, a utilidade de se selecionar ação A2 e ter o resultado
do evento θ1 é denotada por u12 e assim por diante. A utilidade uij se refere à
ação “j” e o evento “i”.
Se de antemão for sabido com certeza que o evento que irá ocorrer é o
θ3, então basta ao tomador de decisões olhar ao longo da linha correspondente qual é a maior utilidade e assim definir que ação deve ser tomada. No
entanto, no mundo real, uma vez que o estado da natureza não é de domínio
do tomador de decisões, ele não sabe com certeza qual específico evento irá
ocorrer. A escolha da melhor ação a ser tomada em face de um ambiente de
incerteza é o problema central da tomada de decisão.
Critérios de escolha
utilizando distribuição a priori
Muitos diferentes critérios existem para selecionar a melhor ação. O critério mais imediato é conhecido como o critério maximin de ganho. Outros
três critérios simples também são bastante utilizados, são normalmente conhecidos como: ganho esperado sob incerteza, perda esperada de oportunidade e critério minimax da perda de oportunidade.
Critério maximin de ganho
No método chamado critério maximin, o tomador de decisões assume
que uma vez que uma ação seja escolhida, a natureza será malevolente e
escolherá o estado da natureza que minimize o rendimento de sua escolha.
O tomador de decisões escolhe a ação que maximize o rendimento sob a
pior perspectiva.
Em outras palavras, o melhor do pior é uma forma de proteção. No exemplo do investimento em propaganda, a matriz de rendimentos é apresentada abaixo:
192
A2 = Não investir
em propaganda (R$)
A1 = Investir em
propaganda (R$)
Eventos
θ1 = venda forte
90
60
θ2 = venda moderada
30
10
θ3 = venda fraca
–4
2
Teoria da decisão
Se os diretores escolherem a ação A1, a natureza provocará a ocorrência
de θ3 e o resultado será um prejuízo de R$4.000,00. Se o tomador de decisões
escolher a ação A2, também a natureza provocará a ocorrência de θ3 e o lucro
será de R$2.000,00.
Sendo assim, o tomador de decisões deverá escolher a ação que produza
o maior rendimento, no caso a ação A2. Isto é, a empresa não deve investir em propaganda. Então, o objetivo desse processo de decisão é escolher
aquela ação que produza o máximo entre os mínimos rendimentos, por isso,
o termo maximin.
Naturalmente, o critério maximin é um tipo de critério pessimista. Não
é razoável supor que um executivo tomaria decisões ou deveria tomar decisões dessa forma. Na maioria das situações o critério maximin congelaria
o tomador de decisões em completa paralisia e implicaria que seria melhor
que ele mudasse de ramo de atividade.
Parece ser razoável que um tomador de decisões deva levar em conta as
probabilidades de ocorrência dos diferentes possíveis estados da natureza. Se, no exemplo acima, a probabilidade de vendas fracas for muito pequena, não há porque concentrar-se sobre a possibilidade dessa ocorrência. Os
próximos procedimentos procurarão dar conta dessa alternativa.
Ganho esperado sob incerteza
Em um problema real de tomada de decisão, deve-se esperar que o tomador de decisões tenha alguma idéia sobre a probabilidade de ocorrência
dos vários estados da natureza e que esse conhecimento possa ajudar na
escolha da melhor ação a ser tomada.
No exemplo em questão, se a diretoria percebe que as vendas do novo produto serão fracas e que não compensarão o investimento em propaganda, deve-se
decidir pela ação A1. No entanto, se a diretoria percebe que o produto pode ter
uma boa aceitação, talvez valha a pena fazer um investimento em propaganda.
Se o número de eventos e o número de ações possíveis passarem a ser
muito grandes, o problema pode tornar-se muito complexo, e o tomador
de decisões necessitará de outro tipo de método para processar as informações relevantes. No entanto, os procedimentos apresentados neste capítulo
cobrem uma grande gama de problemas de tomada de decisão.
193
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Voltando ao problema do investimento em propaganda. Nesse caso, a maximização consiste em selecionar a ação que produza o maior ganho esperado.
Vamos assumir que a diretoria da empresa ABC tome o seguinte procedimento de assinalamento de probabilidades para cada um dos eventos. Com
base em uma extensiva pesquisa da experiência passada com produtos semelhantes e de acordo com a opinião de especialistas, a diretoria conclui que as
vendas podem ser moderadas (evento θ2) em uma razão de 50 para 50. E mais,
concluem que é um pouco menos provável que as vendas aumentem com
investimento em propaganda (evento θ1) do que as vendas sejam pequenas
(evento θ3). Com base nessa perspectiva, a diretoria estabelece a seguinte distribuição de probabilidades subjetivas para os eventos em questão:
Evento
Probabilidade
θ1 = venda forte
0,2
θ2 = venda moderada
0,5
θ3 = venda fraca
0,3
Total
1
Para determinar a base de escolha entre investir em propaganda (Ação
1) e não investir em propaganda (Ação 2), é necessário calcular o ganho esperado para cada ação. Como indicado na tabela abaixo, o ganho é tratado
como uma variável que toma diferentes valores dependendo de que evento
ocorra. O valor esperado de cada ação será a média ponderada dos resultados sob cada ato, em que os pesos são as probabilidades de que cada
evento possa ocorrer.
Evento
Ação 1: investir em
propaganda
Probabilidade
Resultado
Ação 2: não investir em
propaganda
Resultado
ponderado
Probabilidade
Resultado
Resultado
ponderado
θ1
0,2
90
18
0,2
60
12
θ2
0,5
30
15
0,5
10
5
θ3
0,3
-4
-1,2
0,3
2
0,6
Total
1,0
31,8
1,0
Resultado esperado: R$31.800,00
194
Resultado esperado: R$17.600,00
17,6
Teoria da decisão
Verifica-se dos cálculos realizados que a diretoria pode esperar um resultado de R$31.800,00 de retorno de vendas se investir em propaganda e de
R$17.600,00 caso não invista em propaganda. Para maximizar o ganho esperado, a diretoria deveria selecionar a ação A1 e investir em propaganda.
Perda de oportunidade esperada
Um conceito útil na análise de decisão sobre incerteza é o da perda de
oportunidade. A perda de oportunidade é a perda causada pela falha em
escolher a melhor ação. As perdas de oportunidade são calculadas separadamente para cada evento que pode acontecer.
Da ocorrência de um específico evento pode-se determinar a melhor
ação possível. Para um dado evento, a perda de oportunidade é a diferença
entre o ganho daquele ato e o ganho para o melhor ato que poderia ter
sido selecionado.
No exemplo do investimento em propaganda, se o evento θ3 ocorrer
(vendas fortes) a melhor ação é a A1, para a qual o ganho é de R$90.000,00.
A perda para esta ação é 90 – 90 = 0. O ganho para a ação A2 é R$30.000,00
e a perda de oportunidade da ação A2 é a quantidade que o ganho para
a melhor ação, ou seja, R$90.000,00 excedem os R$30.000,00 de ganho da
ação A2, que é, portanto, R$90.000,00 – R$30.000,00 = R$60.000,00.
A tabela das perdas de oportunidade para o problema em questão é:
Tabela de ganhos
(R$)
Tabela de perda de
oportunidades (R$)
Evento
A1
A2
A1
A2
θ1 = venda forte
90
60
0
30
θ2 = venda moderada
30
10
0
20
θ3 = venda fraca
-4
2
6
0
Pode-se calcular agora as perdas de oportunidades esperadas, levando-se
em conta a distribuição de probabilidades subjetivas estimadas de maneira
análoga ao que foi feito com o ganho esperado sob incerteza. O objetivo será o
de escolher aquela ação com menor perda de oportunidade esperada.
As seguintes quantidades podem então ser definidas POE(A1) e POE(A2)
como perda de oportunidade esperada para a ação de investir em propaganda e a perda de oportunidade esperada ao não se investir em propaganda:
195
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Ação 1: investir em propaganda
Evento
Probabilidade
Resultado
Ação 2: não investir em propaganda
Resultado
ponderado
Probabilidade
Resultado
Resultado
ponderado
θ1
0,2
0
0,0
0,2
30
6,0
θ2
0,5
0
0,0
0,5
20
10,0
θ3
0,3
6
1,8
0,3
0
0,0
Total
1,0
1,8
1,0
Resultado esperado: R$1.800,00
16,0
Resultado esperado: R$16.000,00
Se a diretoria escolher a ação que minimize a perda de oportunidade
esperada, escolherá a ação A1, a mesma ação selecionada sob o critério de
maximizar o ganho esperado. Pode ser demonstrado que esse resultado não
ocorreu por acaso. Sempre a ação escolhida pelo critério da maximização do
ganho esperado também será o escolhido para a minimização da perda de
oportunidade esperada.
Critério minimax da perda de oportunidade
No método do critério minimax de perda de oportunidade, o tomador
de decisão seleciona a ação que minimiza a pior perda de oportunidade
possível. Como no critério de maximin, de maximizar os piores ganhos, o
critério minimax para a perda de oportunidade toma uma perspectiva pessimista. O tomador de decisão determina para cada ação a maior perda de
oportunidade que pode ocorrer.
No exemplo em discussão, para a ação A2 a maior perda de oportunidade
possível é de R$16.000,00, para a ação A1, é R$1.800,00. Então, o tomador de
decisões opta pela ação A2, que é a de não se investir em propaganda.
Nesse exemplo, a ação escolhida pelo processo minimax foi a mesma da escolhida para o processo maximim, ação A2, mas esse fato nem sempre ocorre.
Valor esperado da informação
perfeita (VEIP) ou o custo da incerteza
A quantidade perda de oportunidade esperada (POE) pode ser interpretada também através do valor esperado da informação perfeita (VEIP)
ou do custo da incerteza (CI).
196
Teoria da decisão
O valor esperado da informação perfeita (VEIP) é a diferença entre o
ganho esperado com informação perfeita e o ganho esperado sob incerteza. Como foi visto acima, para o problema do investimento em propaganda, o ganho esperado sob incerteza foi de R$31.800,00 o ganho esperado
com informação perfeita pode ser determinado pela escolha do melhor
ganho para cada evento e as probabilidades aqui são consideradas como
aproximações das freqüências relativas calculadas por várias observações
anteriores.
Ganhos
(R$)
Probabilidades
Ganhos
ponderados
θ1 = venda forte
90
0,2
18,0
θ2 = venda moderada
30
0,5
15,0
θ3 = venda fraca
2
0,3
0,6
Evento
33,6
Então, o valor esperado da informação perfeita será igual a R$33.600,00
– R$31.800,00 = R$1.800,00. Exatamente o mesmo valor encontrado para a
perda de oportunidade esperada.
A expressão custo da incerteza destaca o custo associado à tomada de
decisão sob incerteza, uma vez que o ganho esperado com perfeita informação subentende que esse seria o ganho esperado com o conhecimento de
eventos passados ou ganho esperado “sob certeza”.
Representação através de diagrama de decisão
Pode ser útil para melhor visualização representar a estrutura de um
problema de decisão sob incerteza através de um diagrama de árvore
de decisão, também chamado de diagrama de decisão ou diagrama
de árvore.
O problema do investimento em propaganda pode ser apresentado através do diagrama abaixo:
197
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
θ1
θ2
A1
2
θ3
R$90,00
R$30,00
– R$4,00
1
θ1
A2
θ2
2
θ3
R$60,00
R$10,00
R$2,00
Saindo do ponto 1, o tomador de decisões pode seguir o ramo A1 ou
o ramo A2, correspondentes, respectivamente, às ações de investir em
propaganda e não investir em propaganda. No ponto 2, um novo ramo
pode ser aberto a partir da primeira decisão que corresponde aos possíveis eventos, alcançando os valores de ganhos pela escolha da ação e o
acontecimento do evento.
Para a tomada de decisão, o diagrama precisa receber as novas informações correspondentes ao valor das estimativas de probabilidade que cada
evento ocorra e a realização da análise retrospectiva ou de indução backward
(para trás). Multiplica-se então os valores dos ganhos no final de cada ramo
pelo valor da probabilidade de cada um dos eventos somando os resultados destes produtos e retornando ao ponto 2, que assume o valor de ganho
esperado para cada uma das ações, A1 e A2, com valores de R$31.800,00 e
R$17.600,00 respectivamente.
O valor do ganho esperado para a ação 1 foi determinado pela seguinte
expressão:
31,8 = (0,2).(90) + (0,5).(30) + (0,3).(–4)
O novo passo é retornar do nó 2 para o nó 1 através da escolha do ganho
esperado de maior valor, no caso o ganho esperado correspondente da ação
1, conforme exposto no diagrama 2:
198
Teoria da decisão
R$31,8
A1
R$31,8
1
2
(0,2)
(0,5)
(0,3)
R$90,00
R$30,00
– R$4,00
A2
R$23,0
(0,2)
(0,5)
R$60,00
R$10,00
(0,3)
2
R$2,00
Dessa forma, o diagrama de árvore reproduz de forma esquemática
e compacta a análise realizada através das tabelas. Um diagrama análogo
pode ser construído em termos de perdas de oportunidade.
Estabelecimento
de distribuições de probabilidades
Estabelecer as probabilidades de ocorrência de cada estado da natureza
(eventos) é uma tarefa fundamental para o equacionamento do esquema de
tomada de decisões. Até agora, o estabelecimento dessas probabilidades foi
realizado de forma subjetiva e simples. Se houver uma forma mais científica de estabelecimento da distribuição de probabilidades dos possíveis eventos, o problema da tomada de decisões pode ser mais bem equacionado.
Se a variável aleatória que representa os estados da natureza for discreta e houver somente um número pequeno de resultados possíveis, então
o tomador de decisões provavelmente será capaz de assinalar diretamente
probabilidades para cada possível resultado. No entanto, se a variável aleatória tiver um número grande de valores possíveis, o tomador de decisões terá
que tratar a variável aleatória como contínua e necessitará construir uma
função de distribuição acumulada trabalhando com um número de intervalos selecionados da variável aleatória.
199
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Duas situações possíveis são apresentadas ao tomador de decisões:
1. o tomador de decisões estabelece diretamente uma distribuição de
probabilidades subjetivas sem um processamento formal dos dados;
2. existe uma pequena quantidade de dados do passado, e o tomador
de decisões processa essa informação para construir uma distribuição
de probabilidades acumulada ou cumulativa.
O problema agora é encontrar meios para a construção dessas distribuições
de probabilidades. Trabalharemos com as duas possibilidades, a saber: (I) assinalamento subjetivo direto; e (II) assinalamento usando dados do passado.
Assinalamento subjetivo direto
Nesse caso, o estabelecimento de uma distribuição cumulativa de probabilidades subjetiva será feito sem processamento formal de dados.
Tomemos por exemplo um caso em que o tomador de decisões infere
que para o próximo ano as vendas de certo produto de sua companhia
deverão ficar entre 100 000 e 500 000 unidades e deseja estabelecer uma
distribuição de probabilidades cumulativas subjetivas sem usar explicitamente qualquer dado.
A base de procedimento é focalizar a atenção em poucos pontos da distribuição. Uma proposta é trabalhar com os percentis. Se pensarmos em três
percentis, o mais adequado é tomar o primeiro e o quarto quartil e a mediana. O primeiro quartil divide o rol de dados em duas partes, os primeiros 25%
e os últimos 75%. A mediana divide o rol de dados em duas partes iguais, os
primeiros 50% e os últimos 50%. E o terceiro percentil divide o rol também
em duas partes, os primeiros 75% e os últimos 25%.
Observe que o primeiro quartil representa o vigésimo quinto percentil, a
mediana representa o qüinquagésimo percentil e o terceiro quartil o septuagésimo quinto percentil.
Comecemos pela mediana ou o qüinquagésimo percentil. O tomador
de decisões deve escolher, entre 100 000 e 500 000, um valor que acredite
que a probabilidade de ocorrer um valor menor ou igual a ele seja igual a
50%. Pode ser qualquer valor no intervalo inicialmente estabelecido. Vamos
supor que após muita reflexão ele acredite que esse valor deve ser algo em
200
Teoria da decisão
torno de 350 000. Ou seja, o tomador de decisões acredita que a chance de
se vender menos de 350 000 unidades do produto é de 50%. Naturalmente,
a chance de vender mais de 350 000 também é de 50%.
O raciocínio deve ser repetido para a determinação dos outros dois valores. Vamos supor que esses valores sejam 250 000 e 400 000. Ou seja, o tomador de decisões acredita que a probabilidade de vender mais do que 250 000
produtos seja de 75% e que a probabilidade de vender mais do que
400 000 produtos seja de 25%.
Dessa forma, três pontos da distribuição de probabilidades cumulativa
foram determinados. Os percentis de ordem 25, 50 e 75, ou equivalentemente o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. Lembrando que o segundo
quartil coincide com a mediana.
O procedimento usual é o de determinar mais dois pontos, preferencialmente mais próximos dos extremos e usar esses cinco pontos para a construção da função que represente a distribuição de probabilidades cumulativa.
Uma proposta é usar o primeiro e o nonagésimo nono percentis, ou os
percentis de ordem 1 e de ordem 99. Esses valores podem ser considerados
como os valores limites inferior e superior da primeira condição estabelecida. Ou seja, podemos escolher como primeiro percentil o valor de 100 000
unidades de venda e 500 000 como o valor do nonagésimo nono percentil.
Dessa forma, estabelecemos que a probabilidade de vender mais do que
100 000 unidades do produto em questão é de 99% e que a probabilidade
de vender mais do que 500 000 unidades é de somente 1%.
A figura abaixo representa a situação construída. O gráfico pode ser considerado como uma aproximação da distribuição de probabilidade cumulativa subjetiva da venda do produto no próximo ano.
Distribuição de probabilidade cumulativa
1
0,9
Probabilidade
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
100
200
300
400
500
600
Vendas
201
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
A distribuição anterior, que representa uma distribuição de probabilidades
discreta, pode ser mais bem aproximada através de uma curva em forma de “s”
pela união de seus pontos, para a construção de uma distribuição de probabilidades contínua.
Distribuição de probabilidade cumulativa
1
0,9
Probabilidades
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
100
200
300
400
500
600
Vendas
O assinalamento direto da distribuição de probabilidades cumulativa
subjetiva é apropriada para as seguintes situações: (I) quando existir um
número pequeno de dados e não houver dados do passado; e (II) quando,
apesar de existirem dados do passado, o tomador de decisões não se sentir
confortável para usar esses dados para o estabelecimento da distribuição de
probabilidade cumulativa. Este último caso pode ocorrer em razão de mudanças da política da empresa ou de algum avanço tecnológico importante
implementado, por exemplo.
Assinalamento de probabilidades
usando dados do passado
Se existe uma grande quantidade de dados do passado, o tomador de decisões pode usá-los para estabelecer a distribuição de probabilidades através
do uso das freqüências relativas dos dados. No entanto, se a quantidade
de dados for pequena, um procedimento deve ser realizado tomando a distribuição de freqüências destes dados para a construção de uma distribuição
de freqüências acumulada através de aproximações.
202
Teoria da decisão
Vamos ilustrar a construção de uma distribuição cumulativa de probabilidades através de um exemplo simples. Certa loja vende, entre outros, um
produto A. Acompanhando a venda desse produto nos últimos 20 meses,
observamos que em um determinado mês foram vendidos 33 unidades. Em
outros dois meses foram vendidos 38. Fazendo observações dessa ordem,
pudemos construir a seguinte distribuição de freqüências que relaciona o
número de produtos vendidos com a quantidade de meses em que esse
número foi alcançado. Um possível resultado é o que segue:
Número de
produtos
vendidos
Número de meses em
que os produtos vendidos alcançaram a venda
Número de
produtos
vendidos
Freqüência relativa
do número de
produtos vendidos
33
1
33
1/20 = 0,05
34
0
35
4
35
4/20 = 0,20
36
5
36
5/20 = 0,25
37
0
38
2
38
2/20 = 0,10
39
3
39
3/20 = 0,15
40
0
41
1
41
1/20 = 0,05
42
2
42
2/20 = 0,10
43
2
43
2/20 = 0,10
Podemos, com base nos dados, acima construir a distribuição de freqüências acumuladas para o número de produtos vendidos:
Número de
produtos vendidos
33
Freqüência relativa do número
de produtos vendidos
Freqüência relativa
acumulada
0,05
0,05
34
0,05
35
0,20
0,25
36
0,25
0,50
203
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Número de
produtos vendidos
Freqüência relativa do número
de produtos vendidos
Freqüência relativa
acumulada
37
0,50
38
0,10
0,60
39
0,15
0,75
40
0,75
41
0,05
0,80
42
0,10
0,90
43
0,10
1,00
Considerando que a freqüência relativa é uma aproximação de probabilidades e que, portanto, a freqüência relativa acumulada é uma aproximação
da probabilidade acumulada, podemos construir o seguinte gráfico da distribuição de freqüências relativas acumuladas, que representam as probabilidades de vender até certo número de produtos. Observando a tabela acima
ou o gráfico abaixo, podemos verificar que a probabilidade de vender até 36
produtos em um determinado mês é de 50%.
Distribuição de probabilidade cumulativa
1
0,9
Probabilidade
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
30
35
40
45
50
Número de produtos vendidos
Para aplicações em tomada de decisões sob incerteza, trabalhar com
dados contínuos pode dificultar enormemente a tarefa. Até aqui trabalhamos com dados discretos. Existem técnicas para transformar dados contínuos em dados discretos, mas que estão fora do escopo do presente texto.
204
Teoria da decisão
Tomada de decisões
baseada na utilidade esperada
Até agora as análises de tomada de decisão tiveram por critério a escolha
da ação ótima como aquela que resultaria em maior ganho médio a longo
prazo se a mesma decisão tivesse que ser tomada repetidamente sob idênticas condições. No entanto, algumas decisões pessoais e nos negócios são
tomadas frente a um único conjunto de condições. Em algumas dessas ocasiões não seria realístico pensar em termos de muitas repetições da mesma
situação de decisão.
Sendo assim, é útil ter um aparato para lidar com tomada de decisão em
tempo único. A Teoria da Utilidade fornece tal aparato e também um método
lógico para tomada de decisões repetitivas. Para ilustrar a idéia, vamos supor
três situações com duas ações alternativas para cada uma delas. Na primeira
(A) se contrapõem duas decisões que têm como conseqüência para a ação A1
receber R$0 com certeza e, para a ação A2, receber R$0,60 com probabilidade
½ e perder R$0,40 com probabilidade ½. Na segunda situação, B1 implica
ganhar R$0,00 com certeza e B2, receber R$60.000,00 com probabilidade ½
e perder R$40.000,00 com probabilidade ½. A terceira situação, C1 implica
receber R$1 milhão com certeza contra C2, que implica receber R$2 milhões
com probabilidade ½ e receber R$0,00 com probabilidade ½.
O cálculo do ganho esperado para a decisão colocada em A é de R$0,10
[(1/2).(0,6)+(1/2).(0,4)]. Isso significa que a longo prazo o resultado deverá
ser positivo. Ocorre, no entanto, que se a decisão tem que ser tomada para
somente uma realização, a perda pode ser de R$0,40. A firma talvez possa
correr esse risco. Mas na situação B, o valor do ganho esperado a longo prazo
seria de R$10.000,00, o que levaria o tomador de decisões a optar pelo risco,
ou seja, escolher a ação B2. Como a situação é pontual, a firma pode perder
R$40.000,00. Ficando invibializado o tomador de decisões pode optar por
não correr o risco e optar por ganho certo de R$0,00.
No caso da situação C, mesmo pensando a longo prazo, o valor do ganho
esperado seria R$1.050.000,00 se a opção fosse por C2, contra um ganho certo
de R$1.000.000,00 pela ação C1. Nesse caso, não resta muita dúvida que, apesar
de a ação C2 poder resultar num ganho de R$2,1 milhões, a melhor ação seria
mesmo tomar a ação C1, com ganho certo de R$1 milhão.
Fica claro que grandes e pequenas corporações podem tomar diferentes
atitudes diante do risco. A questão que o tomador de decisões deve respon205
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
der é: “Qual é a probabilidade para que a conseqüência M1 se torne indiferente
para que se possa correr o risco de optar por ganhar M1 com certa probabilidade p ou M2 com probabilidade 1–p?”. Esse tipo de questão pode ser respondido
pela aplicação da metodologia da Teoria da Utilidade. Não é objeto de estudo
aqui o desenvolvimento mais aprofundado dessa teoria, senão o de apresentá-la ilustrativamente, mesmo porque essa situação não é muito comum na
prática diária da tomada de decisões. Maiores informações sobre essa teoria
podem ser adquiridas através de bibliografia mais aprofundada, como o livro
de R. S. Schlaifer, Analysis of Decisions Under Uncertainty, McGraw Hill.
Tomada de decisão com
probabilidades a posteriori
As análises feitas até agora podem ser consideradas como análises a
priori, isto é, a tomada de decisões foi baseada em melhor ganho (ou menor
perda) com base em ações relacionadas com uma distribuição de probabilidades construída sem a utilização de levantamento de dados amostrais auxiliares. Aqui discutiremos a chamada análise a posteriori, em que a distribuição de probabilidades envolvida na tomada de decisões será feita com base
em probabilidades a priori revisadas pela observação de dados amostrais
complementares.
Probabilidades a posteriori
As probabilidades a posteriori são calculadas com base em duas informações, as probabilidades a priori e a informação obtida através da observação
de um conjunto de dados. O meio de fazer essa atualização é o Teorema de
Bayes. Se uma nova atualização for necessária, a atual probabilidade a posteriori será utilizada como probabilidade a priori no novo contexto em que
uma nova tomada amostral seja realizada.
O propósito de incorporar mais evidência através de processos amostrais
é o de reduzir o custo esperado da incerteza.
Se o custo esperado da incerteza (ou de outra forma, o custo esperado da
perda de oportunidade) for elevado, então o acréscimo de nova informação
através de um processo de amostragem pode se tornar desejável. O método
geral para se incorporar nova informação, ou nova evidência amostral, pode
206
Teoria da decisão
ser ilustrado pelo uso de dois tipos de informação amostral: (I) através da
especificação da confiabilidade da informação amostral; e (II) através da especificação do tamanho da amostra.
Análise a posteriori:
uma ilustração da especificação da confiabilidade
Retomando o exemplo do investimento em propaganda, a situação colocada para o tomador de decisões era a de decidir entre duas ações, A1 (investir em propaganda de um novo produto) e A2 (não investir em propaganda
de um novo produto).
Qual a ação que a diretoria deve tomar de forma a potencializar as suas
possibilidades de lucro, diante do quadro de retorno ou possíveis ganhos?
A tabela abaixo resume a situação de retorno exposta, na qual os valores são expressos em milhares de reais, isto é, 90 representa um ganho de
R$90.000,00:
A1 = investir em
propaganda (R$)
A2 = não investir em
propaganda (R$)
θ1 = venda forte
90
60
θ2 = venda moderada
30
10
θ3 = venda fraca
-4
2
Eventos
Com base em avaliações subjetivas, a diretoria estabelece a seguinte distribuição de probabilidades para os eventos em questão:
Evento
Probabilidade
θ1 = venda forte
0,2
θ2 = venda moderada
0,5
θ3 = venda fraca
0,3
Total
1,0
Diante desses dados, foram determinados os valores esperados de ganhos
sob incerteza para a ação A1 de R$31.800,00 e para a ação A2 de R$17.600,00.
207
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Associado a esses cálculos, foi determinado o custo da incerteza (ou
valor esperado da perda de oportunidade) em R$1.800,00, considerado alto
pela diretoria. Decide-se então por proceder a um levantamento amostral
no sentido de verificar os ganhos esperados para cada ação de forma que o
custo da incerteza possa ser reduzido através da incorporação de evidências
adicionais e, portanto, com a diminuição da incerteza.
Vamos assumir que a pesquisa possa resultar em três resultados amostrais,
denotados por x1, x2 e x3, correspondentes aos três estados da natureza (eventos) θ1, θ2 e θ3. Especificamente, os resultados da pesquisa podem ser: a amostra indica vendas fortes (x1), vendas moderadas (x2) ou vendas fracas (x3).
A pesquisa foi realizada e a amostra indicou um nível de venda moderada
para o produto, isto é, x2 foi observado.
Suponha agora que, com base em pesquisas anteriores semelhantes,
os pesquisadores possam acessar a confiabilidade da evidência amostral
nos seguintes termos: no passado, quando o nível de venda real foi moderado, a pesquisa amostral indicou corretamente venda moderada em 80% das
vezes. No entanto, quando o nível real de vendas foi forte, em cerca de 20%
das pesquisas realizadas o nível indicado foi erroneamente indicado como
moderado. E quando o nível real de vendas foi baixo, cerca de 30% das pesquisas amostrais indicaram vendas moderadas.
Essas freqüências relativas representam probabilidades condicionais que as
evidências indicassem nível moderado de vendas, dados os três possíveis eventos de nível de venda. Essas probabilidades podem ser representadas por:
P(x2/θ1) = 0,2
P(x2/θ2) = 0,8
P(x2/θ3) = 0,3
Com essa informação, a distribuição de probabilidades a priori original
pode ser revisada conforme indica a tabela abaixo:
208
Teoria da decisão
Eventos θi
Probabilidade
a priori
Probabilidade
condicional
Probabilidade
conjunta
Probabilidade
a posteriori
P(θi)
P(x2/θi)
P(θi) P(x2/θi)
P(θi/x2)
θ1 = venda forte
0,2
0,2
0,04
0,0755
θ2 = venda
moderada
0,5
0,8
0,40
0,7547
θ3 = venda fraca
0,3
0,3
0,09
0,1698
Total
1,0
0,53
1,0000
Observe a utilização do Teorema de Bayes para cada um dos θi:
P(θ1 / x2) =
P (θ1)P(x2 / θ1)
∑P (θi)P(x2 / θi)
Na tabela, multiplicar cada probabilidade a priori P(θi) pela sua correspondente probabilidade condicional P(x2/θi), obtendo-se assim as probabilidades conjuntas, cuja soma é ΣP(θi) P(x2/θi). Para calcular as probabilidades a
posteriori associadas a cada um dos eventos θi, basta dividir a probabilidade
conjunta de cada evento pela soma das probabilidades conjuntas. Essa é
uma forma confortável de calcular as probabilidades a posteriori através do
uso do Teorema de Bayes.
Fica bem ilustrativo a diminuição do espaço amostral com a correspondente probabilidade de 0,53 e quanto dessa probabilidade será destinada a
cada um dos eventos. Equivale, portanto, a considerar 0,53 como a totalidade (1,0) e verificar quanto disso corresponde a cada um dos eventos.
Assim, com uma indicação amostral de vendas moderadas, a probabilidade a priori de 0,5 do evento vendas moderadas foi revisado e cresceu para
aproximados 0,75. Da mesma forma, as probabilidades 0,2 e 0,3, correspondentes aos eventos venda fraca e venda forte, foram revisados e declinaram
para 0,07 e 0,17.
209
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Essas probabilidades revisadas podem ser agora utilizadas para os cálculos do ganho esperado a posteriori e da perda esperada de oportunidade
a posteriori ou custo esperado da incerteza. Então, os resultados obtidos
foram de R$28.756,80 de ganho esperado para a ação A1 (investir em propaganda) e R$12.416,60 para A2 (não investir em propaganda) e o custo esperado da incerteza diminuiu de R$1.800,00 para R$1.018,80.
Ganho esperado a posteriori
Ação 1: investir em propaganda
Evento
Probabilidade
Resultado
θ1
0,0755
90
θ2
0,7547
θ3
0,1698
Total
1,0000
Ação 2: não investir em propaganda
Resultado
ponderado
Probabilidade
Resultado
6,795
0,0755
60
4,53
30
22,641
0,7547
10
7,547
-4
-0,6792
0,1698
2
0,3396
28.756,80
1,0000
Resultado esperado: R$28.756,80
Resultado
ponderado
12.416,60
Resultado esperado: R$12.416,60
Perda de oportunidade esperada a posteriori
Ação 1: investir em propaganda
Evento
Probabilidade
Resultado
θ1
0,0755
0
θ2
0,7547
θ3
0,1698
Total
1,0000
Ação 2: não investir em propaganda
Resultado
ponderado
Probabilidade
Resultado
0
0,0755
30
2,265
0
0
0,7547
20
15,094
6
1,0188
0,1698
0
0
1,0188
1,0000
Resultado esperado: R$1.018,80
Resultado
ponderado
17,3590
Resultado esperado: R$17.359,00
O diagrama de árvores abaixo descreve a situação para os ganhos esperados a posteriori.
210
Teoria da decisão
R$28.756,60
A1
R$28.756,60
1
2
5)
75
(0,0
(0,7547)
(0,1
698
)
R$90,00
R$30,00
– R$4,00
A2
R$12,416,60
2
5)
75
(0,0
(0,7547)
(0,1
698
)
R$60,00
R$10,00
R$2,00
Como o ganho esperado sob A1 é maior que o ganho esperado sob A2,
a melhor das duas ações continua sendo a de investir em propaganda. Observe, no entanto, que essa decisão poderia ter sido modificada após o assinalamento da distribuição de probabilidades a posteriori, com a inclusão de
novas evidências devidos ao processo de busca de dados na amostragem.
A amostragem indicada anteriormente indicou “vendas moderadas”, mas
se ela tivesse indicado vendas fracas ou vendas fortes, o mesmo procedimento poderia ser realizado para o cálculo dos novos valores de ganhos esperados e de custos da incerteza.
O custo da incerteza teve uma diminuição de R$1.800,00 para R$1.088,00.
Esse custo significa o quanto o tomador de decisões estaria disposto a pagar
para ter a informação perfeita. Se esse valor tivesse crescido ao invés de diminuído, como foi o caso, significaria que a evidência amostral não resultou
em diminuição da dúvida de que ação tomar e que a nova situação não traria
maior segurança na decisão.
Análise a posteriori:
uma ilustração da aceitação da amostragem
Como uma segunda ilustração da análise a posteriori, vamos considerar
o problema da aceitação da amostragem de um produto manufaturado.
Vamos assumir que a empresa ABC inspeciona artigos de componentes de
211
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
seus produtos vindos de certo fornecedor. Observando dados de inspeções
passadas, a empresa verifica que 10%, 20% e 30% dos componentes do fornecedor tinham defeitos.
Da experiência passada, a empresa ABC estabeleceu como critério de
aceitação de lotes com até 10% peças de defeituosas para retrabalho, e rejeitar lotes com 20% e 30% de peças defeituosas. A questão consiste em decidir se aceita ou não um novo lote através do exame de uma amostra sua.
Essa decisão deverá ser tomada com base em algumas informações que
a empresa tem. Primeiro, com base em freqüências relativas, lotes com essas
percentagens de peças defeituosas ocorreram 50%, 30% e 20% das vezes.
Ou seja, lotes com 10% de peças defeituosas ocorreram em 50% das entregas. Outra informação que será utilizada será a matriz de resultados baseada
na matriz de perda de oportunidades em tomar a ação A1, de rejeitar o lote,
e a ação A2, de aceitar o lote. Com base em resultados anteriores, essa matriz
é dada por:
Matriz de perda de oportunidade
Evento
Ação A1
Ação A2
Proporção de defeituosas
Rejeitar o lote
Aceitar o lote
0,10
R$30,00
R$0,00
0,20
R$0,00
R$15,00
0,30
R$0,00
R$20,00
Seria mais realístico tomar eventos com proporções de defeituosas variando de 0%, 1% até 100%, ou mesmo considerar esta como uma variável
contínua. Para efeito de simplificação de apresentação do método, serão
consideradas somente essas três possibilidades.
Com essas informações e com base no resultado de uma amostra de, digamos, 10 elementos de uma nova entrega, em que será verificado o número de
peças defeituosas entre essas 10, a empresa decidirá se aceita ou não o lote.
A empresa pode usar as freqüências relativas (50%, 30% e 20%) como distribuição a priori e determinar a perda esperada de oportunidade para cada
uma das duas ações possíveis:
212
Teoria da decisão
Evento
p
Ação A1 - rejeitar o lote
P0(p)
Perda de
oportunidade
0,10
0,50
0,20
0,30
Total
Ação A2 - aceitar o lote
Perda
ponderada
P0(p)
Perda de
oportunidade
30
15,00
0,50
0
0,00
0,30
0
0,00
0,30
15
4,50
0,20
0
0,00
0,20
20
4,00
R$15,00
1,00
1,00
Perda
ponderada
R$8,50
Quando então utilizamos os dados do passado, verificamos que a perda
esperada de oportunidade a priori para ação A1 (R$15,00) supera a perda da
ação A2 (R$8,50). Assim, a ação ótima é a ação A2, de aceitar o lote.
Indo agora para a análise a posteriori, quando uma amostra de tamanho
10 com reposição dos itens do lote é retirada para análise. Verifica-se que três
peças são defeituosas. Qual será agora a melhor ação?
As evidências amostrais devem ser utilizadas para revisar as probabilidades a priori das proporções de peças defeituosas. Para aplicar o Teorema
de Bayes, é necessário determinar as probabilidades condicionais P(X = 3/n
= 10, p). Aqui será necessária a aplicação do cálculo de probabilidades de
um processo de Bernoulli através da distribuição binomial. Então:
P(X = 3/n = 10, p) = Cn,xpx (1– p)n – x
Essas probabilidades serão iguais a 0,0574, 0,2013 e 0,2668 para “p” igual
a 0,10, 0,20 e 0,30 respectivamente. Senão, vejamos para p = 0,10, o mesmo
pode ser feito para p = 0,20 e p = 0,30:
P(X = 3/n = 10, p) = Cn, xpx (1 – p)n – x = C10, 3 (0,10)3.(0,9)7
(120).(0,001).(0,478297) = 0,057396 ≈ 0,0574
Dessa forma, as probabilidades a posteriori podem ser determinadas diretamente pelo Teorema de Bayes através de uma tabela auxiliar. Como já
realizado anteriormente, denotaremos a probabilidade a priori por P0 e a
probabilidade a posteriori por P1:
213
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
Eventos p
Probabilidade
a priori
Probabilidade
condicional
Probabilidade
conjunta
Probabilidade
a posteriori
P0(p)
P(X=3/n=10,p)
P(p) P(X=3/n=10,p)
P1(p)
0,10
0,5
0,0574
0,02870
0,20147
0,20
0,3
0,2013
0,06039
0,42394
0,30
0,2
0,2668
0,05336
0,37459
0,14245
1,00000
Total
1,0
As perdas esperadas de oportunidade podem agora ser recalculadas utilizando essas probabilidades a posteriori. O novo cálculo das perdas esperadas de oportunidade é apresentado na tabela abaixo:
Evento
P
Ação A1: rejeitar o lote
P1(p)
Perda de
oportunidade
0,10
0,20147
30,00
0,20
0,42394
0,30
0,37459
Total
1,00000
Ação A2: aceitar o lote
Perda
ponderada
P1(p)
Perda de
oportunidade
Perda
ponderada
6,04
0,20147
0,00
0,00
0,00
0,00
0,42394
15,00
6,36
0,00
0,00
0,37459
20,00
7,49
R$6,04
1,00000
R$13,85
A ação ótima agora é a de rejeitar o lote, uma vez que a perda esperada de
oportunidade de A2 é maior do que a perda esperada de oportunidade de A1.
Para efeito de comparação, pode-se verificar que se supuséssemos que o
número de peças defeituosas na amostra de 10 itens fosse de 2 unidades, a
ação preferida seria A1 com perda de oportunidade de 12,41 contra 9,79 de
A2. E se houvesse uma única defeituosa, a perda de oportunidade de A1 seria
de 19,47 contra 5,67 de A2.
Efeito do tamanho da amostra
Podemos analisar o efeito do tamanho da amostra no cálculo das probabilidades a posteriori. Suponha que uma amostra de tamanho 100 e não
mais de tamanho 10 seja retirada. Vamos assumir a mesma proporção de
defeituosas, 30% como no caso da amostra pequena. Então, um número de
30 peças defeituosas foi encontrado no lote.
214
Teoria da decisão
Eventos
p
Probabilidade
a priori
Probabilidade
condicional
Probabilidade conjunta
Probabilidade
a posteriori
P0(p)
P(X=30/n=100,p)
P(p) P(X=30/n=100,p)
P1(p)
0,10
0,5
0,000000018
0,000000009
0,00000005
0,20
0,3
0,005189
0,0015567
0,082
0,30
0,2
0,086784
0,0173568
0,918
0,018913509
1,000
Total
1,0
A maior probabilidade, 91,8%, foi encontrada para o evento p = 0,30
depois que foi acrescentada à informação que na amostra de tamanho 100
havia 30% de defeituosas. Pode-se generalizar esse resultado da seguinte
forma: à medida que o tamanho da amostra cresce, a distribuição de probabilidades a posteriori da variável aleatória “proporção de defeituosas” é
influenciada muito mais pelo tamanho da amostra do que pela distribuição
de probabilidades a priori.
Atividades de aplicação
As informações a seguir devem ser utilizadas para a resolução dos exercícios de 1 a 5. Um investidor tem R$50.000,00 e deve decidir entre três portfólios preparados por um especialista. Os portfólios são caracterizados como de
alto risco, médio risco e baixo risco, e os retornos dependem da situação econômica. Assumindo que somente duas situações econômicas sejam consideradas (“crescimento” e “recessão”) a probabilidade de recessão é de 30%. Dada
a seguinte matriz de resultados (dada em centenas de reais), qual portfólio o
investidor deveria escolher?
Risco alto
Portfólio
risco médio
Risco baixo
Crescimento
10
4
2
Recessão
-15
-2
1
Estados da natureza
1. Qual dos três portfólios deve ser escolhido se o critério utilizado for
o maximim?
2. Para o problema em questão, qual a crítica ao uso desse critério?
215
Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios
3. Para o critério ganho esperado sob incerteza, qual a decisão a ser tomada?
4. Calcule as perdas de oportunidade esperada para cada portfólio.
5. Faça a representação através do diagrama de decisão para o critério
minimax.
6. Construa a distribuição de probabilidades acumulada através da utilização de dados de vendas do passado com relação aos números de
pedidos e ao número de semanas em que eles foram feitos, conforme
tabela a seguir:
Número de
equipamentos
vendidos
Número de semanas
que o número de
ordens foi recebido
Número de
equipamentos
vendidos
Número de semanas
em que o número de
ordens foi recebido
21
1
32
1
22
0
33
1
23
0
34
1
24
2
35
0
25
2
36
0
26
3
37
1
27
3
38
1
28
1
39
1
29
0
40
0
30
0
41
0
31
1
42
1
Dados para os exercícios 7 e 8. Um novo curso está sendo ofertado em
uma faculdade. Seja “p” a proporção de estudantes que tiveram notas inferiores à média no trabalho final do curso. Os estados da natureza e suas respectivas probabilidades condicionais são as seguintes:
216
Teoria da decisão
P
P0(p)
0,05
0,30
0,10
0,40
0,15
0,20
0,20
0,10
7. Das informações dadas, preencha as células em branco e interprete os
dados. O X é o resultado da pesquisa de 1 000 empresas de construção.
Estados da natureza
θ1 = casas terão preços aumentados no próximo ano
P0(θ)
P(X/θ)
P0(θ) P(X/θ)
P1(θ/X)
0,80
θ1 = casas terão preços iguais
ou diminuídos no próximo ano
0,60
8. São dados os seguintes resultados de um experimento em que θ1 é
“produto superior” e θ2 é “produto igual ou inferior”. Calcule as probabilidades a priori.
Estados da natureza
P(X/θ)
P1(θ/X)
θ1
0,50
0,25
θ2
0,50
0,75
217