1.2 Variável Aleatória Discreta

Variável Aleatória Discreta
Exercícios
1.
Considere uma fonte de informação contendo 16 símbolos
Ω = {S0 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S7 , S8 , S9 , S1 0, S1 1, S1 2, S1 3, S1 4, S1 5} que são enviados aleatoriamente. Esses símbolos são codificados com sequências de 00 s e 10 s. As probabilidades de ocorrência desses símbolos e a codificação desses símbolos em binário
é dada pela seguinte tabela:
Sj P (Sj )
S0
1/8
S1
1/8
S2
1/8
S3
1/8
S4 1/16
S5 1/16
S6 1/16
S7 1/16
S8 1/16
S9 1/16
S10 1/32
S11 1/32
S12 1/64
S13 1/64
S14 1/64
S15 1/64
Código
001
000
011
010
1111
1110
1001
1000
1011
1010
11011
11010
110001
110000
110011
110010
Vamos definir uma variável aleatória X como sendo o número de bits da palavracódigo.
(a) Qual é o espaço de amostras de X
(b) Considerando que a sequência dos símbolos é independente, calcule as seguintes probabilidades: P (X ≥ 3), P (X ≤ 2), P (X ≤ 4)?
(c)
Qual a probabilidade de X ser ímpar?
(d) Dado que X ≥ 5, qual a probabilidade de X ser ímpar.
2.
Em um jogo de roleta, tem-se os números 1 − 36 e os números 0 e 00. Em uma aposta
de rua, você aposta em 3 números. Quando você acerta um número ganha R$11.
Quando se erra perde R$1. Sendo X a variável aleatória que representa seu ganho
ou perda no jogo, defina.
(a) Qual o valor esperado de ganho?
(b) Qual a variância de ganho?
3.
Considere o experimento de jogar dois dados.
(a) Qual a probabilidade de que se precise menos de 6 jogadas para se obter um 7.
(b) Qual a probabilidade de que se precise mais que 6 jogadas para se obter um 7.
4.
Uma fonte de informação gera caracteres hexadecimais. Sendo X o valor de um
inteiro correspondente ao caracter hex. Suponha que os quatro bits no caracter são
independentes e igualmente prováveis de ser "0"e "1".
(a) Descreva o espaço amostral S e a probabilidade de cada evento.
(b) Faça o mapeamento de S para SX .
(c) Agora considere que dentro do inteiro Y representado por 4 bits, o bit mais significativo é três vezes mais provável ser "1"do que "0". Faça a representação da
f.m.p. de Y .
5.
Um modem transmite uma tensão +2V em um canal. O canal adiciona um ruído com
valores {0, −1, −2, −3} com probabilidades {4/10, 3/10, 2/10, 1/10}.
(a) Desenhe a fmp da variável de saída Y
(b) Qual a probabilidade de que a saída é igual a entrada?
(c) Qual a probabilidade da saída ser positiva?
6.
Dada a V.A. X com pmf pk = c/k 2 para k = 1, 2, . . .
(a) Indique c numericamente.
(b) P [X > 4]?
(c) P [6 ≤ X ≤ 8]?
Respostas
1.
(a) Dica: evento com 4 elementos.
(b) 100% / 0 / 88%
(c) 56%
(d) 6%
2.
(a) -1/19
(b) 10,473
ii
3.
(a) 59,8%
(b) 33,5%
4.
(a)
(b)
(c)
(d) P [0b1 b2 b3 ] =
5.
1111
4222
(a)
(b) 3/10
(c) 7/10
6.
(a)
6/π 2 ,
∞
X
π2
1
=
aplicando a seguinte definição de convergência de série:
k2
6
k=0
(b) 0,1695
(c) 0,39
iii