Resolução de Matemática da Prova Objetiva FGV

Resolução de Matemática
da Prova Objetiva
FGV Administração - 06-06-10
VESTIBULAR FGV 2010 – JUNHO/2010
RESOLUÇÃO DAS 15 QUESTÕES DE MATEMÁTICA
DA PROVA DA MANHÃ – MÓDULO OBJETIVO
PROVA TIPO “A”
QUESTÃO 1
O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede
do outro. A área do monitor é dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
0,44d2
0,46d2
0,48d2
0,50d2
0,52d2
Resolução:
2
3x
3
16 2
as medidas dos lados do retângulo, temos: d2 = x2 + x x2 =
d.
4
25
4 3
3
3 16 2
d = 0,48d2.
A área é x x = x2 =
4
4
4 25
Sendo x e
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
C
A
B
D
QUESTÃO 2
O gráfico seguinte apresenta os lucros (em milhares de reais) de uma empresa ao longo de 10 anos (ano 1,
ano 2, até ano 10).
O ano em que o lucro ficou mais próximo da média aritmética dos 10 lucros anuais foi:
a)
b)
c)
d)
e)
Ano 2
Ano 3
Ano 4
Ano 5
Ano 9
140
120
120
l 100
u 80
c
r 60
o
40
90
80
70
60
40
50
35
30
20
0
10
1
2
3
4
5
ano
6
7
8
9
10
Resolução:
O lucro total, em milhares de reais, foi de 80 + 40 + 30 + 60 + 50 + 10 + 90 + 35 + 70 + 120 = 585.
585
O lucro médio foi de
58,5 milhares de reais.
10
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
C
B
D
E
Resolução de Matemática
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FGV Administração - 06-06-10
QUESTÃO 3
O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo
diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de
passageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x.
A receita máxima possível por viagem é:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 30.000,00
R$ 29.900,00
R$ 29.800,00
R$ 29.700,00
R$ 29.600,00
Resolução:
A receita é dada por:
R(x) = p x = 300x – 0,75x2.
Como xv = 200 > 180, a máxima receita ocorre para x = 180.
R(180) = 300 180 – 0,75 1802 = 29.700,00 reais
y
y = R(x)
0
180 200
x
0 x 180
y máx. R(180)
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
D
C
A
B
QUESTÃO 4
No final do ano 2000, o número de veículos licenciados em uma cidade era 400 e, no final de 2008, esse
número passou para 560 veículos. Admitindo que o gráfico do número de veículos em função do tempo seja
formado por pontos situados em uma mesma reta, podemos afirmar que, no final de 2010, o número de
veículos será igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
580
590
600
610
620
Resolução:
O número de veículos licenciados aumentou de 560 – 400 = 160 em oito anos, isto é, aumento de 20
veículos por ano. No final de 2010, o número de veículos licenciados será 560 + 2 20 = 600.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
C
E
D
A
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QUESTÃO 5
A função polinomial P(x) = x 3 + (1 + 2) x 2 + (4 + 2)x + 4 2 é crescente em todo o conjunto dos números
reais.
Podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
o polinômio tem uma única raiz real negativa.
a soma das raízes vale 1 + 2.
o polinômio tem três raízes complexas não reais.
o produto das raízes vale 4 2.
o polinômio tem três raízes reais distintas.
Resolução:
Como P(– 2) = 0 e P é um polinômio crescente em todo o conjunto dos números reais, temos que o
polinômio tem uma única raiz negativa.
Outro modo:
Temos P(0) = 4 2 > 0 e P(–2) = –12 + 6 2 < 0. Como o polinômio P é crescente em todo o conjunto dos
números reais, concluímos que ele tem uma única raiz real compreendida entre –2 e 0.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
A
D
C
B
QUESTÃO 6
No início do ano 2000, Alberto aplicou certa quantia a juros compostos, ganhando 20% ao ano. No início de
2009, seu montante era de R$ 5.160,00. Se ele deixar o dinheiro aplicado, nas mesmas condições, o juro
recebido entre o início de 2010 e o início de 2011 será aproximadamente de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 929,99
R$ 1.032,00
R$ 1.135,00
R$ 1.238,00
R$ 1.341,00
Resolução:
No início de 2010 o montante será, em reais, de 5 160 1,2 = 6 192. Daí, até o início de 2011, o juro será,
em reais, de 0,2 6 192 = 1.238,40.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
D
A
E
C
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QUESTÃO 7
Roberto Mathias investiu R$ 12.000,00 em ações das empresas A e B. Na época da compra, os preços
unitários das ações eram R$ 20,00 para a empresa A e R$ 25,00 para a B. Depois de algum tempo, o preço
unitário de A aumentou 200% e o de B aumentou apenas 10%. Nessa ocasião, o valor total das ações da
carteira era de R$ 17.000,00.
A diferença, em valor absoluto, entre as quantidades de ações compradas de A e B foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
200
225
250
275
300
Resolução:
Sendo a a quantidade de ações da empresa A e b a quantidade de ações da empresa B, temos:
20a 25b 12 000
20a 25b 12 000
a = 100 e b = 400
20(1 2)a 25(1 0,1)b 17 000
60a 27,5b 17 000
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
E
D
B
C
QUESTÃO 8
Quantos números inteiros pertencem ao domínio da função f(x) = log(9 – x 2 ) + log(2 – x)?
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
6
infinitos
Resolução:
O domínio da função é dado por: 9 – x 2 0 –3 x 3 e 2 – x 0 x 2
Logo, D = ]–3, 2[.
Nesse intervalo existem 4 números inteiros, que são –2, –1, 0 e 1.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
B
C
E
A
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QUESTÃO 9
4 0 t
Sejam as matrizes X = [x y], A , B = [100] e X a matriz transposta de X. A representação gráfica do
0
25
conjunto de pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem a equação matricial X A Xt = B é:
a)
b)
c)
d)
e)
uma hipérbole com excentricidade igual a 5/4.
uma elipse com distância focal igual a 2 21.
uma hipérbole com excentricidade igual a 7/5.
uma elipse com distância focal igual a 2 10.
uma parábola com eixo de simetria vertical.
Resolução:
4 0 X A = [x y] = [4x 25y]
0 25
X A X t B [4x
x2 y2
x 1
25y] [100] 4x 2 25y 2 100 25 4
y Elipse com a = 5, b = 2 e c = a 2 – b 2 21. A distância focal é 2c = 2 21.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
B
E
C
D
QUESTÃO 10
Uma empresa de turismo opera com 3 funcionários. Para que haja atendimento em cada dia, é necessário
que pelo menos um funcionário esteja presente. A probabilidade de cada funcionário faltar num dia é 5%, e
o evento falta de cada um dos funcionários é independente da falta de cada um dos demais.
Em determinado dia, a probabilidade de haver atendimento é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,857375
0,90
0,925750
0,95
0,999875
Resolução:
Sendo os eventos independentes, temos que a probabilidade de haver atendimento num certo dia é:
P = 1 – (0,05) 3 = 0,999875
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
E
B
A
C
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QUESTÃO 11
A reta (t) passa pela intersecção das retas 2x – y = –2 e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos
pontos A(1, 1) e B(2, –2).
A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto:
a)
b)
c)
d)
e)
(0, 18)
(0, 17)
(0, 16)
(0, 15)
(0, 14)
Resolução:
x 3
2x – y –2
Ponto de intersecção das retas: y 8
x y 11
O coeficiente angular da reta que passa por A(1, 1) e B(2, –2) é m =
A equação da reta (t) é y – 8 = –3(x – 3).
Para x = 0 temos y – 8 = 9, logo y = 17.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
B
C
E
A
1 – (–2)
= –3.
1– 2
QUESTÃO 12
5
3
, em que x pertence ao intervalo , 2,
4
2
podemos afirmar que os valores de cos x, sen x e tg x são respectivamente:
4 –3 –3
a) ,
e
5 5
4
4 3 3
b) , e
5 5 4
–3 4 –4
c)
, e
5 5
3
–3 –4 4
d)
,
e
5 5
3
4 –3 3
e) ,
e
5 5
4
Sabendo que o valor da secante de x é dado por sec x =
Resolução:
3
x , 2 (sen x < 0 e cos x > 0)
2
5
1
5
4
= cos x =
4
cos x 4
5
2 (sen x 0)
4
3
2
2
2
sen x + cos x = 1 sen x = 1 – sen x = –
5
5
–3
sec x =
tg x =
sen x
–3
5 4
cos x
4
5
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
A
E
C
D
Resolução de Matemática
da Prova Objetiva
FGV Administração - 06-06-10
QUESTÃO 13
No plano cartesiano, o ponto C(2, 3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do
segmento CP, em que P é o ponto de coordenadas (5, 7). A equação da circunferência é:
a)
b)
c)
d)
e)
4x2 + 4y2 –16x – 24y + 27 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + 7 = 0
4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 29 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0
4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 31 = 0
Resolução:
2 5 3 7 7 O ponto médio de CP é M = ,
, 5 .
2 2 2
2
7
5
O raio da circunferência mede CM = – 2 ( 5 – 3) 2 .
2
2
2
5
A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 3)2 = , logo 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 27 = 0.
2
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
A
B
D
E
QUESTÃO 14
Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 2010 do seguinte modo:
A receita para janeiro é R$ 1.250.000,00.
Em cada mês, a receita é R$ 40.000,00 superior à do mês anterior.
Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 2010 é:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 17.520.000,00
R$ 17.560.000,00
R$ 17.600.000,00
R$ 17.640.000,00
R$ 17.680.000,00
Resolução:
Para o mês de dezembro a receita é 1.250.000,00 + 11 40.000,00 = 1.690.000,00 reais.
A receita prevista para todo o ano de 2010 é dada por:
(1.250.000,00 1.690.000,00) 12
= 17.640.000,00 reais
2
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
D
A
B
E
Resolução de Matemática
da Prova Objetiva
FGV Administração - 06-06-10
QUESTÃO 15
Ao resolver o sistema linear determinado abaixo
x y z 4
2x – y – z 5
3x 2y – z 14
encontramos como solução a tripla ordenada (a, b, c). O valor de a é:
a)
b)
c)
d)
e)
–1
0
1
2
3
Resolução:
Somando as duas primeiras equações do sistema obtemos 3x = 9, logo x = 3.
Prova Tipo
A
B
C
D
Resposta
E
D
A
B