Operações com Matrizes

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MEIO AMBIENTE - PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Matrizes e Operações – 2014
1. Os números entre parênteses indicam a quantidade do reagente em estoque nos meses de janeiro,
fevereiro, marco e abril, respectivamente: Acido clorídrico (23,10,17,32); hidróxido de amônia (42,13,44,27);
sulfato de alumínio (12,15,7,16). Represente esses dados numa matriz A 3 x 4 , onde cada elemento a ij
represente a quantidade em estoque do reagente i no mês j.

1

2. Dada a matriz  12

 2


2

4
1 
7  , determinar:
5

1  7 116

2
3
12
a) O elemento da segunda linha e primeira coluna;
b) O valor de
a 22  3.a14
.
a 34
3. Observando a lei de formação de cada matriz, escreva:
a) B 2 x 4 ; b ij  i  j
4. Dada a matriz
b)
1 se i  j
C 4 x 4 ; c ij  
0 se i  j
c)
i j se i  j
D3 x 4 ; dij  
2i  j se i  j
 3  x x  y
, determine:
A
y 
2 x  6
a) Os valores de x e y para que A seja matriz diagonal; b) Os elementos de A.
5. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz
B  b ij de ordem 4, em que b ij  i  j .
6. Escreva a matriz transposta de
7. Sendo
A  aij 3 x 2
A  aij 4 x3 tal que a ij  i  j .
4 x  y x  y 

2
2
com aij  i  j e B  z  w
0  , determine x, y, z e w para que A = B.

 8
3z  w 
1 0  1
 1 0 3
 1 2 3 ,
e C
B

:

3
1
2
2
0
1
4
1
0






8. Dada as matrizes A  
a) Calcule a matriz X tal que
9. Resolva a equação:
2X  A  3B  C ; b) Calcule, se possível A.B, B.A e B T .A T .
2 4 6
X.1 2 3  
.
1 2 3
2 0 7 
 x  14x 7x 


10. Determine o valor de x, para que o produto das matrizes A  0 1 0 e B   0
1
0  seja



 x
1 2 1
4x
 2x 
a matriz identidade.
11. Sabendo que
 4 2
 1 0
A
e B

 , obter as matrizes M e N tais que:
0 1
0 1
2M  N  A  B
.

M  3N  2A  B
12. (UERJ) Considere as matrizes A e B:
1, se x é par
A  a xj  é quadrada de ordem n em que a xj  
.
 1, se x é ímpar
B  b xj  B = (bxj) é de ordem n×p em que b xj  j x .
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B.
13. (UFF) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos
métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são
números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação, que são
matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:
· cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero;
· cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero.
0 1 0
a


Por exemplo, a matriz M  0 0 1 permuta os elementos da matriz coluna Q  b  transformando-a na


 
1 0 0
c 
b 
a 
c 




matriz P  c , pois P  M.Q . Determine a matriz que permuta b transformando-a em a  .
 
 
 
a
c 
b 
a 0 
8 0
e M2  

 representadas a seguir. Conclui-se que o
b  a
0 8
14. (UEL) Considere as matrizes M  
número real “a” pode ser:
a)
2 3
b)
2 2
c) 2
1 0 
d)
 2
e)
 3
 p q
 . Considere a operação entre estas matrizes
1
15. (UECE) Sejam as matrizes M1  
 e M2  
1 0 
1
 2  2
 . Nessas condições calcule (p + q).
M2 .M1  M1.M2  
  3  2
16. (MACKENZIE) Sejam as matrizes a seguir
A  a ij 4 x 3 , a ij  i j
B  b ij 3 x 4 b ij  ji
. Se C = A.B, calcule, então
c 22 .
17. (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pera,
respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio,
em miligramas, e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz
C mostra que João ingeriu 295,6cal, 143,9mg de vitamina C e 93mg de cálcio.
Considerando que as matrizes inversas de A e B são A-1 e B-1, o custo dessa salada de frutas, em cada
supermercado, é determinado pelas seguintes operações:
a) B.A-1.C
b) C.A-1.B
c) A-1.B-1.C
d) B-1.A-1.C