PLANO DE AULA 1-IDENTIFICAÇÃO Instituto Federal Catarinense

PLANO DE AULA
1-IDENTIFICAÇÃO
Instituto Federal Catarinense-Campus Avançado Sombrio
Município: Sombrio, SC.
Disciplina: Matemática
Série: 2º ano
Nível: Ensino Médio
Professora: Nébia Mara de Souza
Tempo previsto: 3,5 horas/aula
2-TEMA: Funções Trigonométricas
Subtemas: Função Seno, Função Cosseno, Função Tangente, Função Cossecante, Função
Secante, Função Cotangente, Domínio, Imagem e Período das Funções.
3) JUSTIFICATIVA
A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática
responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos
retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis,
30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e
tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca
pela relação entre os ângulos e os lados. Mas a Trigonometria não se limita a estudar somente
triângulo retângulo, agora a Trigonometria toma proporções ampliadas podendo ser utilizada
em varias outras áreas como os fenômenos periódicos, aqueles que se repetem em intervalos
regulares, e são encontrados na Música, na Acústica, Eletricidade, Mecânica e nessas áreas as
funções trigonométricas são de grande aplicação.
4) OBJETIVOS:

Identificar as Funções Seno, Cosseno, Tangente, Cossecante, Secante e Cotangente;

Analisar os gráficos das diferentes funções;

Determinar o domínio a imagem e o período das funções;

Analisar a influência dos parâmetros em cada função;

Aplicar os conceitos de função trigonométrica na resolução de problemas;

Utilizar os recursos computacionais para analisar o comportamento das funções;
5) CONTEÚDOS ENVOLVIDOS (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da
aula).

Funções trigonométricas;

Trigonometria;

Domínio e imagem

Periodicidade das funções.
6) ESTRATÉGIAS:
6.1- recursos: quadro, data show, material impresso.
6.2- técnicas: Aula expositiva e dialogada, utilização de softwares matemáticos e atividades
em sala de aula.
7) PROCEDIMENTOS:
7.1- Problematização:
Em uma região, em determinado dia, a diferença entre os níveis da maré alta e da maré
baixa é 1,4 m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta consecutivas, (ou entre duas marés
baixas consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical, pode-se imaginar uma circunferência
acima do nível do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da circunferência a um ponto do
nível do mar, no prolongamento de Oy, tal que o movimento de sobe e desce da superfície do
mar faça com que o ponto P gire sobre a circunferência, conforme mostra a figura.
Como você descreveria o movimento das marés nessa região em função do horário t, em hora,
nesse dia?
Resolução
Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência acima do nível do mar e uma haste
aguda ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento
do eixo Oy, conforme mostra a figura.
O subir e descer da maré, que lembra o movimento de um imenso pistão, provoca um
movimento circular do ponto P. Supondo esse movimento com velocidade constante no
sentido anti-horário, vamos calcular a medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora,
em que t = 0 corresponda a um instante em que P passou pelo ponto A (0.7; 0):
Medida do arco (rad)
Tempo (h)
2π ______________ 12
ά ______________
t
Logo, ά = πt/6 rad
Assim, podemos descrever o movimento da maré nesse dia, em função do tempo t, em hora,
(0 ≤ t ≤ 24):
- pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6 rad ou
- pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad
Notas:
1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p =
2π / π/6 = 12. Esse período, no contexto do problema, chamado de período das marés, é o
tempo, em hora, transcorrido entre duas marés altas (ou duas marés baixas) consecutivas.
2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0 ≤ t ≤ 24 é:
Interpretando esse gráfico no contexto do problema, concluímos, por exemplo:
- A zero hora, a maré estava em seu nível médio.
- Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível máximo, 0,7 m acima do nível médio.
- Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.
7.2- Historicização
De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito distantes, anteriores à era
cristã, o interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por
séculos esse vínculos permaneceu.
Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces dedicado à pesquisa
matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a
trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim com o
desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com introdução do conceito de
seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII),
quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Leonhard Euler (1707 – 1783),
matemático mais produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar seno e cosseno como
funções. Devemos a ele a notação f(x) para uma função.
A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os
matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. Assim, foram
identificadas funções, sendo Gilles Roberval (matemático francês do século XVIII) o primeiro
a esboçar a curva do seno. O estudo das funções trigonométricas teve seu ápice com Joseph
Fourier, no século XIX, no campo dos movimentos periódicos.
7.3- Operacionalizações da aula
Começaremos a aula apresentando a problematização. Logo faremos a historicização.
Após começar a explicar o conteúdo das Funções trigonométricas, Seno, Cosseno, Tangente,
Secante, Cossecante e Cotangente. Analisar as características da função, domínio, imagem, o
período e o gráfico, com o auxilio de um software matemático GeoGebra. Após aplicar uma
prova referente o conteúdo trabalhado.
GENERALIZAÇÃO
De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:
f(x) = a + b . trig (cx – d)
Em que a, b, c, d são constantes (b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções
trigonométricas que serão estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e
cotangente).
Função Seno
Chamamos de função seno a função f(x) = sen x
Gráfico da função seno
Para construir o gráfico da função seno vamos construir uma tabela com valores de x da 1ª
volta positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72.
Veja o gráfico inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x € IR.
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72.
Como a função f(x) = sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é
IR, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2π.
Assim, o gráfico da função f: IR → IR, definida por f(x) = sen x, é a curva chamada senóide,
que tem o seguinte aspecto:
Fonte:
Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [-1,1] ; visto que, na circunferência
trigonométrica o raio é unitário, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
Quando
, 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
Quando
, 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
Quando
, 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.
Periodicidade da função seno
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73.
Observando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores
nos intervalos.....[-2π, 0], [0, 2π], [2π, 4π],....Daí dizemos que a função seno é periódica.
Observe no gráfico que sen x = sen (x = 2π) = sen (x + 4π) = ....para todo x € IR.
Dizemos então que o período da função seno é 2π e indicamos assim: p = 2π.
Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que ele
comece a se repetir.
Exemplo 1:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x.
Resolução
x
sen x
y
0
0
2+0=2
π/2
1
2+1=3
π
0
2+0=2
3π/2
-1
2–1=1
2π
0
2+0=2
D(f) = IR; Im (f) = [ y € IR/ 1 ≤ y ≤ 3 ]; p = 2π
Analisando o que cada parâmetro interfere na função
Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu
um deslocamento de duas unidades para cima.
f(x) = sen x
De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x
será transladado para cima (a ˃ 0) ou para baixo sendo ( a ˂ 0 ) em a unidades.
Exemplo 2:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x.
Resolução
x
2 sen x
y
0
0
0
π/2
1
2
π
0
0
3π/2
-1
-2
2π
0
0
D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -2 ≤ y ≤ 2 ]; p = 2π
Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2. sen x, veremos que ele sofreu
uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.
Considerando a função do tipo f(x) = b . sen x, o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se │b│
˃ 1, ou comprimido se 0 ˂ │b│ ˂ 1 um número b de vezes.
Caso b ˂ 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico
com b ˃ 0.
Exemplo 3:
Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x
Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2 e 2π; para isso devemos atribuir a x metade
desses valores: segue abaixo a tabela.
Resolução
x
sen 2x
y
0
2.0
0
π/4
2 . π/4 = π/2
1
π/2
2 . π/2 = π
0
3π/4
2 . 3π/4 = 3π/2
-1
π
2 . π = 2π
0
D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -1 ≤ y ≤ 1 ]; p = π
Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu
uma compressão horizontal de duas unidades, enquanto o período foi alterado para π.
Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c . x, concluímos que o gráfico de f(x) = sem x será
comprimido horizontalmente em c unidades se │c│ ˃ 1, porém sofrerá dilatação horizontal se
0 ˂ │c│ ˂ 1. Além disso, temos que o período é igual a 2π/│c│.
Função Cosseno
Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x
Gráfico da função cosseno
Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x, inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x
€ IR. Alguns valores de cos x serão aproximados.
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.
Como a função f(x) = cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é
IR, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2π. Assim,
o gráfico da função f: IR → IR definida por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide, que
tem o seguinte aspecto:
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Período de f(x) = cos x; p = 2π
Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
Quando
, 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
Quando
, 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
Quando ,
4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.
Exemplo1:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x.
Resolução:
x
y
0
2
π/2
0
π
-2
3π/2
0
2π
2
D(f) = IR; Im (f) = [y € IR / -2 ≤ y ≤ 2]; p = 2π
Se compararmos com o gráfico da função f(x) = cos x com f(x) = 2 . cos , veremos que ele
sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.
f(x) = cos x
Exemplo 2:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 3 + 2 . cos x.
x
3 + 2 . cos x
y
0
3 + 2 .1 =
5
π/2
3+2.0=
3
π
3 + 2 . (-1) =
1
3π/2
3+2.0=
3
2π
3+2.1=
5
D(f) = IR; Im = [ y € IR / 1 ≤ y ≤ 5 ]; p =2π
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cos x, podemos observar que ele foi
deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2).
Período das funções seno e cosseno
Obtemos o período da função f(x) = a + b . sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b . cos (cx –d),
em que a, b, c e d são números reais, com b ≠ 0 e c ≠ 0, fazendo a medida (cx - d) assumir
todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica.
Para isso adotamos a fórmula p= 2π / │c│.
Exemplos:
Determinar o período das funções.
a)y = 3 sen 2x
Resolução
P = 2π / │2│= π
b) y = 2 + 6cos (-4x)
Resolução
P = 2π / │-4│= 2π / 4 = π/2
Papel das constantes a, b, c e d
As funções do tipo f(x) = a + b . trig (cx – d) têm características que podem ser
relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados
anteriormente.
As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d
alteram as características relacionadas aos valores de x da seguinte forma:
→ A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a ˃ 0, então o gráfico
“sobe” a unidades, e, se a ˂ 0, então o gráfico “desce” │a│ unidades.
→ A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se │b│˃ 1, então o gráfico
dilata, e, se 0 ˂ │b│ ˂1, o gráfico comprime.
→ A constante c altera o período padrão da função trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico
padrão na horizontal. Se │c│ ˃1, f(x) será comprimido horizontalmente em │c│ unidades.
Se 0 ˂ │c│ ˂ 1, f (x) será dilatado horizontalmente em │c│ unidades.
→ A constante d translada o gráfico padrão │d/c│ unidades horizontais. Se d ˃ 0, o gráfico
translada │d/c│ unidades para a direita, e, se d ˂ 0 o gráfico translada │d/c│ unidades para a
esquerda.
Função Tangente
Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número
real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem 3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos
côngruos, isto é: f(x): D → IR
x → f(x) = tg x é a curva chamada tangentóide.
Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o
cosseno pois não existe cos x = 0
Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou
Período de f(x) = π
.
Essas retas verticais tracejadas nesses valores são chamadas de assíntotas, ou seja, retas cujo
ponto de intersecção com o gráfico tende ao infinito.
(
)
( )
(
)
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa
pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo
das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa) .
As Funções Cossecantes, Secantes e Cotangentes
A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante,
secante e cotangente de x, assim:
→ cossec x = 1/ sen x, para sen x ≠ 0
→ sec x = 1 / cos x, para cos x ≠ 0
→ cotg x = cox / sen x , para sen x ≠ 0. Quando sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0, podemos ainda escrever
cotg x = 1 / tg x.
Exemplo:
Sabemos que sem π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = √3 / 2 e tg π / 6 = √3 / 3. Podemos então calcular:
a) Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2
b) Sec π / 6 = 1 / √3/2 = 2 / √3= 2√3 / 3
c) Cotg π/6 = √3 / 2 / ½ = 2√3 / 2 = √3 ou cotg π / 6 = 1 / √3 / 3 = 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3
Funções Cossecantes
Denomina-se função cossecante a função definida por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para
todo x € IR tal que sen x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da
função cossecante são os mesmos da função seno.
Definição:
.
Logo, o domínio da função cossecante é
Im (f) = [ y € IR │y ≤ -1 ou y ≥ 1 ].
O período = 2π
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81.
Função Secante
Denomina-se função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x €
IR tal que cos x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da
função secante são os mesmos da função cosseno.
Definição:
.
Logo, o domínio da função secante é
Im (f) = [ y € IR │y ≤ -1 ou y ≥ 1 ].
Período = 2π
.
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81.
Função Cotangente
Denomina-se função cotangente a função definida por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x,
para todo x € IR tal que sen x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da
função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.
Logo o domínio da função: D(f) = [ x € IR │ x ≠ kπ, com k € Z]
Im (f) = IR Período = π
Exercícios de fixação do conteúdo estudado
Construa e analise os gráficos das funções abaixo dando o seu domínio, sua imagem e seu
período.
a) f(x) = 3. sen x
Resolução
x
sen x
3. sen x
y = f(x)
0
0
3.0=0
0
π/2
1
3.1=3
3
π
0
3.0=0
0
3π / 2
-1
3 (-1) = -3
-3
2π
0
3.0=0
0
Gráfico
Podemos verificar a função f(x) = 3 . sen x na linha azul
D = IR, Im = [-3 , 3], P = 2π
Na linha vermelha temos a função sen = x, podemos verificar:
D = IR, Im = [-1, 1], P = 2π
b) f(x) = 1 + cos x
Resolução
x
cos x
1 + cos x
y = f(x)
0
1
1+1=2
2
π/2
0
1+0=1
1
π
-1
1 + (-1) = 0
0
3π / 2
0
1+0=1
1
2π
1
1+1=2
2
Gráfico
Analisando a linha azul que é a f(x) = 1 + cos x
D = IR, Im = [ 0, 2 ], P = 2π
Analisando a linha vermelha temos f(x) = cos x
D = IR, Im = [ 1, -1 ], P = 2π
7.4- Conclusões da aula (atividades e sugestão de atividade).
A aula será concluída com a aplicação de uma avaliação.
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
NOME:______________________________________, DATA ____/___/____
1-Construa o gráfico da função y= 2 sen x, dando o domínio, a imagem e o período.
Resolução: Observando o gráfico, temos D = IR, Im = [-2, 2] e p = 2π
x
sen x
2 sen x
y
0
0
2.0
0
π/2
1
2.1
2
π
0
2.0
0
3π/2
-1
2 . (-1)
-2
2π
0
2.0
0
2-Analise as afirmações abaixo, colocando V para as afirmações verdadeira e F para as
afirmações falsas, justificando as falsas.
( V ) Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que
ele comece a se repetir.
( V ) Na circunferência trigonométrica o raio é sempre unitário.
( F ) x → f(x) = tg x é a curva chamada tangenóide.
É Tangentóide
( F ) Como a função cossecante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função
cossecante são os mesmos da função cosseno.
Correto é inversa da função seno e os mesmo sinais da função seno.
3-Encontre a soma das proposições corretas:
01. A introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, foi feita por
Leonhard Euler, quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Foi o matemático
mais produtivo de todos os tempos e primeiro a tratar seno e cosseno como funções
02. A tg x é positiva no 1° e 4° quadrantes e negativa no 2° e 3° quadrantes .
04. Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função
cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.
08. O período da função y = sen 4x = π/2.
Soma
01 + 04 + 08 = 13
4.Identifique os sinais das funções abaixo conforme o quadrante:
Seno no 1º, cosseno no 2º, tangente no 3º e 4º
8- Avaliação
A avaliação permite ao professor acompanhar se os alunos compreenderam os conteúdos, a
partir da capacidade de aplicação dos mesmos na resolução de problemas, assim como as
habilidades complementares adquiridas pelo aluno, considerada necessária para sua formação
acadêmica e de cidadão.
8.1 Instrumentos de avaliação
A avaliação será realizada através de uma avaliação (prova).
Será analisado na prova cinco questões onde cada uma terá um peso totalizando 10,0 pontos.
9- Referências bibliográficas
http://pongueaqui.no.comunidades.net/index.php?pagina=1636859495,
Acessado
em
21/08/2014.
GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática completa. 2º ano Ensino
Médio.2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, 2005.
XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por Aula. 2º ano Ensino
Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, 2005.
PAIVA, Manoel. Componente Curricular: Matemática, 2º ano Ensino Médio, 1ª Edição,
São Paulo: Editora Moderna, 2004.