translações e rotações

Capítulo 7
TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
7.1 Introdução
Em muitas aplicações é muito importante escolher um sistema de coordenadas ou de referencia adequado com o intuito de simplificar ao máximo as equações envolvidas de modo que
a resolução seja o mais eficiente possível; como no caso das cônicas. Este processo se realiza
utilizando as chamadas transformações de coordenadas ou de sistemas de referências.
As transformações que apresentaremos neste capítulo são as translações e as rotações.
As translações mudam o sistema de coordenadas de tal modo que o centro de uma curva fique
situado na origem do novo eixo.
As rotações se aplicam quando a curva está inclinada em relação aos eixos originais, fazendo,
através da rotação que a curva fique desinclinada em relação aos novos eixos.
As mudanças de coordenadas estão inseridas num contexto bem mais geral, que envolve outras
disciplinas estudadas no decorrer da graduação.
7.2 Translações
O processo de transladar um sistema de eixos coordenados em outro, implica uma transformação de coordenadas, onde tanto os eixos originais como os novos são paralelos de modo que
não sejam alteradas as unidades de medida.
Denotemos por:
{O, X, Y}
o sistema de coordenadas ortogonais no plano, de origem (0, 0) e de eixos coordenados X e Y .
Suponha que temos outro sistema de coordenadas:
{O1 , U,V},
ortogonal, centrado no ponto (h, k) e e de eixos coordenados U e V .
237
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
238
Y
V
y
v
P
k
u
O1
O
U
x
h
X
Figura 7.1:
Do desenho anterior, segue que, o ponto P tem coordenadas (x, y) no sistema {X, Y} e coordenadas (x − h, y − k) no sistema {U,V}. Fazendo isto para cada ponto do plano, temos a chamada
translação dos eixos.
A relação entre as coordenadas dos sistemas é:
(
x =u+h
y = v + k.
Ou, equivalentemente:
(
u
v
=x−h
= y − k.
Logo, podemos passar do sistema {O, X, Y} ao sistema {O1 , U,V}, e vice-versa.
Exemplo 7.1.
[1] Considere a reta:
a x + b y + c = 0,
b 6= 0.
Transladando ao sistema {U,V}, temos:
a (u + h) + b (v + k) + c = 0 =⇒ a u + b v + (a h + b k + c) = 0.
Note que a translação não muda a inclinação da reta.
[2] Considere a elipse:
(x − h)2 +(y − k)2
+
= 1.
a2
b2
7.2. TRANSLAÇÕES
239
Reescrevendo a cônica no sistema {U,V}:
(
u
v
= x−h
= y − k.
Substituindo na equação, obtemos:
u2 v 2
+ 2 = 1.
a2
b
Isto é, uma elipse centrada em (h, k) no sistema {O, X, Y}, no sistema {O1 , U,V} é uma elipse
centrada na origem.
[3] Considere a hipérbole:
(x − h)2 +(y − k)2
−
= 1.
a2
b2
Reescrevendo a cônica no sistema {U,V}:
(
u
v
= x−h
= y − k.
Substituindo na equação, obtemos:
u2 v 2
− 2 = 1.
a2
b
Isto é, uma hipérbole centrada em (h, k) no sistema {O, X, Y}, no sistema {O1 , U,V} é uma
hipérbole centrada na origem.
[4] Considere a curva y − b −
√
x − a = 0.
Transladando a curva ao sistema {O1 , U,V}:
(
u
v
=x−a
= y − b;
substituindo na equacção, obtemos:
v=
√
u.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
240
1
1
Figura 7.2: A curva do exemplo [4].
[5] Considere x3 − 3 x2 − y 2 + 3 x + 4 y − 5 = 0; utilizaremos uma translação para eliminar os
termos lineares:
(
x
y
=u+h
= v + k.
Então:
F + (3 − 6h + 3h2 )u + (−3 + 3h)u2 + u3 + (4 − 2k)v − v 2 = 0,
onde F = −5 + 3h − 3h2 + h3 + 4k − k2 . Para eliminar os termos lineares, façamos:
(
3 − 6h + 3h2 = 0
=⇒ h = 1, k = 2.
4 − 2k = 0
Fazendo:
(
x
y
=u+1
=v+2
e substituindo na equacção, obtemos:
u3 − v 2 = 0.
7.2. TRANSLAÇÕES
241
4
2
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-2
Figura 7.3: A curva do exemplo [5].
Como as translações não modificam as inclinações das retas, elas transformam triângulos em
triângulos, retângulos em retângulos, em geral polígonos em polígonos, preservando a área.
[1] Considere a região limitada pelo triângulo de vértices (1, 1), (1, 4) e (5, 1).
A região limitada pelo triângulo é:
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Figura 7.4: A região do exemplo [1].
Consideremos a translação:
(
u
v
=x−1
= y − 1.
Logo, os vérices são transladados da seguinte forma:
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
242
(x, y) = (1, 1) =⇒ (u, v) = (0, 0)
(x, y) = (1, 4) =⇒ (u, v) = (0, 3)
(x, y) = (5, 1) =⇒ (u, v) = (4, 0).
A região no sistema {O1 , U,V} é limitada pelo triângulo de vértices (0, 0), (4, 0) e (0, 3).
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Figura 7.5: A região do exemplo [1], transladada.
[2] Considere a região do plano limitada pelas retas y = x, y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x.
A região limitada pelas retas é:
1
1
2
-1
Figura 7.6: A região do exemplo [2].
Consideremos a translação:
(
Logo:
x
y
=u+1
= v.
7.3. ROTAÇÕES
243
y = x =⇒ v = u + 1
y = −x =⇒ v = −u − 1
y = x − 2 =⇒ v = u − 1
y = 2 − x =⇒ v = 1 − u.
A região no sistema {O1 , U,V} é limitada pelas retas v = u + 1, v = −u − 1, v = u − 1 e v = 1 − u.
1.0
0.5
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
- 0.5
-1.0
Figura 7.7: A região do exemplo [2], transladada.
7.3 Rotações
Muitas vezes surge a necessidade de mudar o sistema de coordenadas original, rotando-o em
um certo ângulo para obter um novo sistema, onde possamos resolver de forma mais simples
um determinado problema, de forma que não sejam alteradas as unidades de medida.
Denotemos por {O, X, Y} o sistema de coordenadas ortogonais no plano, de origem (0, 0) e de
eixos coordenados X e Y .
A rotação de centro O e ângulo α passa o sistema {O, X,Y} para o sistema {O, U,V}.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
244
Y
P
v
V
U
B
y
u
α
β
α
x
A
O
X
Figura 7.8:
Denotemos o ponto P = (x, y) no sistema {O, X, Y} e P = (u, v) no sistema {O, U,V}; logo:
x = OA = OP cos(α + β) = OP [cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β)]
u = OB = OP cos(β)
v = P B = OP sen(β).
Logo: x = u cos(α) − v sen(α). Analogamente:
y = P A = OP sen(α + β) = OP [sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)]
= u sen(α) + v cos(α).
Então, temos:
(
x
y
= u cos(α) − v sen(α)
= u sen(α) + v cos(α).
Ou, equivalentemente:
(
u
v
= x cos(α) + y sen(α)
= −x sen(α) + y cos(α).
Logo, podemos passar do sistema {O, X, Y} ao sistema {O, U,V}, e vice-versa.
As rotações não preservam a inclinação das retas, mas preservam a área das regiões limitadas
por curvas.
7.3. ROTAÇÕES
245
Exemplo 7.2.
[1] Considere a região limitada pelo triângulo de vértices (1, 3), (2, 1) e (1, 1).
Façamos uma rotação de ângulo α = π.
(
(
x
x = x1 cos(α) − y1 sen(α)
⇐⇒
y
y = x1 sen(α) + y1 cos(α)
= −x1
= −y1 .
Logo, os vérices serão transformados pela rotação assim:
(x, y) = (1, 1) =⇒ (u, v) = (−1, −1)
(x, y) = (1, 3) =⇒ (u, v) = (−1, −3)
(x, y) = (2, 1) =⇒ (u, v) = (−2, −1).
A região no sistema {O1 , U,V} é limitada pelo triângulo de vértices (−1, −1), (−1, −3)
e (−2, −1).
3
2
1
-2
1
-1
2
-1
-2
-3
Figura 7.9: A região e a região após a rotação do exemplo [1].
[2] Consideremos a curva x y = 2 e façamos uma rotação na origem de ângulo
Façamos a rotação:


x




y
π
π
= u cos( ) − v sen( )
4
4
π
π
= u sen( ) + v cos( ).
4
4
Logo, substituindo na equação:
=⇒



x







y
1
= √ (u − v)
2
1
= √ (u + v).
2
π
.
4
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
246
u2 v 2
−
= 1.
4
4
4
2
-4
2
-2
4
-2
-4
Figura 7.10: As hipérboles do exemplo [2].
[3] Identifique a curva 2 x2 +
π
ângulo .
6
√
3 x y + y 2 = 4, fazendo uma rotação de centro na origem e de
Façamos a rotação:


x




y
π
π
= u cos( ) − v sen( )
6
6
π
π
= u sen( ) + v cos( ).
6
6
=⇒




x






y
Logo, substituindo na equação:
5 u2 v 2
+
= 4.
2
2
=
√
1
3
u− v
2
2
√
3
1
= u+
v.
2
2
7.4. A EQUAÇÃO GERAL DE SEGUNDO GRAU
247
2
1
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
-1
-2
Figura 7.11: As elipses do exemplo [2].
7.4 A Equação Geral de Segundo Grau
Voltemos à equação do segundo grau em duas variáveis:
A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0
(7.1)
sendo A e C não simultaneamente nulos. Seja ∆ = B 2 − 4 A C o discriminante da equação.
7.4.1 Eliminação do Termos Lineares
Os termos lineares da equação geral de segundo grau podem ser eliminados utilizando translação. De fato, considere:
(
x
y
=u+h
= v + k.
Substituindo na equação temos, que os termos lineares são:
.... + u (D + 2 A h + B k) + v (E + B h + 2 C k) + .....
Para zerar os termos lineares, devemos resolver o sistema:
(
(1)
(2)
2 A h + B k = −D
B h + 2 C k = −E.
Caso 1
Se ∆ 6= 0, o sistema (7.2), tem uma única solução:
(7.2)
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
248
h=
2DC − B E
∆
e
k=
2AE − B D
;
∆
logo, a translação elimina os termos lineares e translada o gráfico da equação horizontal e/ou
verticalmente. Logo, equação fica da forma:
A u2 + B u v + C v 2 + F1 = 0.
Caso 2
Se ∆ = 0, no sistema (7.2) multiplicamos (1) por B e (2) por 2 A e fazendo (1)-(2), obtemos:
(2 A B − 2 A B) h = B D − 2 A E.
Se B D − 2 A E 6= 0, o sistema (7.2) é inconsistente; logo, não poderemos eliminar ambos os
termos lineares; possivelmente eliminaremos somente um deles.
Se B D − 2 A E = 0, as equações do sistema (7.2) são dependentes; logo, existem infinitas soluções, cada translação serve para eliminar só termos lineares simultanemente. Logo, equação
também fica da forma:
A u2 + B u v + C v 2 + F1 = 0.
Proposição 7.1. O discriminante ∆ da equação (7.1) não muda após translações. Logo, a natureza da
curva não muda.
Exemplo 7.3.
Considere a equação x2 + y 2 − 3 x y − x + y + 4 = 0 e façamos a seguinte translação:
(
x=u+2
y = v − 3,
donde obtemos: u2 + v 2 − 3 u v + 12 u − 11 v + 30 = 0; note que os discriminantes das equações
não mudaram.
7.4. A EQUAÇÃO GERAL DE SEGUNDO GRAU
249
5
-5
5
-5
Figura 7.12: A curva original (azul) e a transladada (vermelha).
7.4.2 Eliminação dos Termos Mistos
Utilizaremos uma rotação adequada para eliminar o termo misto x y da equação. De fato,
consideremos a rotação:
(
x = u cos(α) − v sen(α)
y = u sen(α) + v cos(α)
e substituimos na equação (7.1), obtendo:
A1 u2 + B1 u v + C1 v 2 + D1 u + E1 v + F = 0,
onde:
B1 = 2 (C − A) sen(α) cos(α) + B [cos2 (α) − sen2 (α)] = (C − A) sen(2 α) + B cos(2 α).
Desejamos que B1 = 0 para eliminar o termo u v; logo, após aplicar algumas identidades trigonométricas, temos:
B1 = 0 ⇐⇒ cotg(2α) =
A−C
B
Se A = C, temos a rotação:
α=
π
.
4
Proposição 7.2. O discriminante ∆ da equação (7.1) não muda de sinal após rotações.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
250
Em resumo, para eliminar os termos lineares da equação (7.1) fazemos translações e para eliminar os termos mistos fazemos rotações.
Se ∆ 6= 0; isto é elipses ou hipérboles, fazemos uma translação seguida de uma rotação.
Se ∆ = 0; isto é parábolas, fazemos uma rotação seguida de uma translação.
Exemplo 7.4.
[1] Elimine os termos mistos de 29 x2 − 24 x y + 36 y 2 + 118 x − 24 y − 55 = 0, achando o ângulo
de rotação.
Primeiramente, calculemos:
cotg(2α) =
7
1
576
49
=⇒ sen2 (2 α) =
=⇒ sen2 (2 α) =
=⇒ cos2 (2 α) =
,
2
24
1 + cot (2 α)
625
625
logo, cos(2 α) =
7
; utilizemos as seguintes identidades:
25
r
3
1 − cos(2 α)
=
2
5
r
4
1 + cos(2 α)
= .
cos(α) =
2
5
sen(α) =
Assim:



x





y
Susbtituindo na equação:
=
4u 3v
−
5
5
=
3u 4v
+
.
5
5
−11 + 16 u + 4 u2 − 18 v + 9 v 2 = 0,
completando os quadrados, temos:
(v − 1)2
(u + 2)2
+
= 1,
9
4
que é uma elipse centrada no ponto (−2, 1); fazendo a translação:
(
x1 = u + 2
y1 = v − 1
temos:
x21 y12
+
= 1.
9
4
7.4. A EQUAÇÃO GERAL DE SEGUNDO GRAU
251
3
2
1
-4
2
-2
-1
-2
Figura 7.13: As elipses do exemplo [1].
[2] Elimine o termo misto de 17 x2 + 12 x y + 8 y 2 − 80 = 0, achando o ângulo de rotação.
Como antes, calculemos:
cotg(2α) =
3
16
9
=⇒ sen2 (2 α) =
=⇒ cos2 (2 α) = ,
4
25
25
3
logo, cos(2 α) = ; utilizamos as seguintes identidades:
5
√
1 − cos(2 α)
5
=
sen(α) =
2
5
r
√
2 5
1 + cos(2 α)
=
.
cos(α) =
2
5
r
Assim:




x


Susbtituindo na equação:




y
√
5
[2 u − v]
=
5
√
5
=
[u + 2 v].
5
v2
u2
+
= 1,
4
16
que é uma elipse centrada na origem.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
252
2
3
2
1
1
-2
1
-1
-4
2
2
-2
4
-1
-1
-2
-3
-2
Figura 7.14: As elipses do exemplo [2].
[3] Elimine o termo misto de x2 − 4 x y + 4 y 2 + 5
√
5 y + 1 = 0, achando o ângulo de rotação.
Como antes, calculemos:
cotg(2α) =
3
16
=⇒ sen2 (2 α) =
,
4
25
3
logo, cos(2 α) = ; utilizemos as seguintes identidades:
5
√
1 − cos(2 α)
5
=
sen(α) =
2
5
r
√
2 5
1 + cos(2 α)
cos(α) =
=
.
2
5
r
Assim:




x


Susbtituindo na equação:




y
=
=
√
5
[2 u − v]
5
√
5
[u + 2 v].
5
1 + 5u + 10v + 5v 2 = 0,
que é uma parábola.
7.4. A EQUAÇÃO GERAL DE SEGUNDO GRAU
253
1
1
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0
0.5
-0.5
1.0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Figura 7.15: Parábolas do exemplo [3].
[4] Elimine o termo misto de 3 x2 − 4 x y − 1 = 0, achando o ângulo de rotação.
Neste exemplo, calculemos:
tg(2α) = −
4
2 tg(α)
4
⇐⇒
= − ⇐⇒ 2 tg 2 (α) − 3 tg(α) − 2 = 0.
3
1 − tg 2 (α)
3
π
1
donde tg(α) = 2 ou tg(α) = − . Procuramos rotações para 0 < α ≤ ; utilizando a seguinte
2
2
identidade:
sec2 (α) = 1 + tg 2 (α).
1
4
2
Se tg(α) = 2, temos cos(α) = √ , por outro lado sen2 (α) = , então sen(α) = √ . Assim:
5
5
5

1


x = √ [u − 2 v]



5
Susbtituindo na equação:




y
1
= √ [2 u + v].
5
4 v 2 − u2 = 1
que é uma hipérbole.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
254
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 7.16: Hiperbóles do exemplo [4].
7.5 Caso Geral
Muitas vezes para simplificar uma equação que representa uma curva no plano, devemos efetuar, seguidamente, translações e rotações ou vice-versa. Utilizando os parágrafos anteriores
veremos como realizar isto.
Seja P = (x, y) no sistema {O, X, Y}, P = (u, v) no sistema transladado {O1 , U,V}, O1 = (h, k)
e P = (x1 , y1 ) no sistema {O1 , X1 ,Y1 }, proveniente de uma rotação de ângulo α, como no
desenho:
Y
Y1
V
P
X1
v
k
O
α
O1
h
Figura 7.17:
Logo, temos:
u
U
X
7.5. CASO GERAL
255
(
x
y
=u+h
=v+k
(
u
v
e
= x1 cos(α) − y1 sen(α)
= x1 sen(α) + y1 cos(α).
Donde:
(
x
y
= x1 cos(α) − y1 sen(α) + h
= x1 sen(α) + y1 cos(α) + k.
Exemplo 7.5.
[1] Considere a região do plano limitada pelo triângulo de vértices (1, 1), (1, 4) e (5, 1).
Façamos uma translação::
(
x=u+1
y = v + 1,
seguida de uma rotação de ângulo α = π nos vértices, então:
(
(
x = x1 cos(α) − y1 sen(α) + 1
x
⇐⇒
y = x1 sen(α) + y1 cos(α) + 1
y
Logo:
= −x1 + 1
= −y1 + 1.
(x, y) = (1, 1) =⇒ (0, 0)
(x, y) = (1, 4) =⇒ (0, −3)
(x, y) = (5, 1) =⇒ (−4, 0).
4
3
2
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
Figura 7.18: Exemplo [1].
4
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
256
[2] Considere 3 x2 − 2 x y + 3 y 2 − 2 x − 10 y + 9 = 0.
Como ∆ < 0 a cônica é uma elipse; fazemos primeiramente uma transalação e substituimos na
equação, para eliminar os termos lineares:
(
x
y
=u+h
= v+k
então:
−2 h + 3 h2 − 10 k − 2 h k + 3 k2 + (−2 + 6 h − 2 k) u + (−10 − 2 h + 6 k)v + 3 u2 − 2 u v + 3 v 2 + 9 = 0.
Logo, para eliminar os termos lineares devemos ter:
(
−2 + 6 h − 2 k
−10 − 2 h + 6 k
=0
=⇒ h = 1, k = 2.
=0
Temos:
(
x
y
=u+1
= v + 2;
substituindo na equação, obtemos:
3 u2 − 2 u v + 3 v 2 − 2 = 0.
Agora façamos uma rotação de ângulo α:
cotg(2 α) = 0 =⇒ α =
π
;
4
e



u



substituindo na equação, obtemos:




v
1
= √ [x1 − y1 ]
2
1
= √ [x1 + y1 ];
2
x21 + 2 y12 = 1.
7.5. CASO GERAL
257
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
-0.5
Figura 7.19: As elipses do exemplo [2].
[3] Considere 52 x2 − 72 x y + 73 y 2 − 104 x + 72 y − 48 = 0.
Como ∆ < 0 a cônica é uma elipse; fazemos, primeiramente uma transalação e substituimos
na equação, para eliminar os termos lineares:
(
x
y
=u+h
=v+k
então:
F − (104 − 104h + 72k)u + (72 − 72h + 146k)v + 52u2 − 72uv + 73v 2 = 0,
onde F = −48 − 104h + 52h2 + 72k − 72hk + 73k2 . Logo, para eliminar os termos lineares
devemos ter:
(
−104 + 104h − 72k
72 − 72h + 146k
=0
= 0.
Temos:
(
x
y
=u+1
= v;
substituindo na equação, obtemos:
−100 + 52u2 − 72uv + 73v 2 = 0.
Agora façamos uma rotação de ângulo α:
cotg(2 α) =
e
4
3
7
=⇒ cos(α) = , sen(α) = ;
24
5
5
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
258



u

substituindo na equação, obtemos:



v
=
1
[4 x1 − 3 y1 ]
5
=
1
[3 x1 + 4 y1 ].
5
x21 + 4 y12 = 4.
1.5
3
1.0
2
0.5
1
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-2
1
-1
2
-0.5
-1
-1.0
-2
-3
-1.5
Figura 7.20: As elipses do exemplo [3].
Deixamos ao leitor, verificar que estes tipos de mudanças preservam a distância entre pontos.
√
√
[4] Considere 4 x2 + y 2 − 4x y − 8 5 x − 16 5 y = 0.
Como ∆ = 0 a cônica é uma parábola; fazemos primeiramente, uma rotação de ângulo α:
1
2
3
cotg(2 α) = − =⇒ cos(α) = √ , sen(α) = √ ;
4
5
5
e



x


substituindo na equação:




y
1
= √ [u − 2 v]
5
1
= √ [2 u + v],
5
v 2 − 8 u = 0.
Note que não foi necessário fazer translações.
7.5. CASO GERAL
259
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
Figura 7.21: Parábolas do exemplo [4].
[5] Considere 9 x2 + 16 y 2 − 24x y − 34 x − 38 y + 51 = 0.
Como ∆ = 0 a cônica é uma parábola; fazemos primeiramente, uma rotação de ângulo α:
cotg(2 α) =
4
3
7
=⇒ cos(α) = , sen(α) = ;
24
5
5
e

1


x = 5 [4 u − 3 v]

Donde, substituindo na equação:



y
=
1
[3 u + 4 v].
5
25 v 2 − 50 u − 10 v + 51 = 0.
Agora fazemos uma translação:
(
u = x1 + h
v = y1 + k;
logo, k =
1
e h = 1,então:
5

u = x1 + 1
1
v = y1 + ,
5
finalmente, substituindo em 25 v 2 − 50 u − 10 v + 51 = 0, obtemos:
y12 = 2 x1 .
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
260
6
4
2
2
4
6
8
-2
-4
Figura 7.22: Parábolas do exemplo [5].
[6] Considere x2 + 3 x y + y 2 − 10 x − 10 y + 5 = 0.
Como ∆ > 0 a cônica é uma hipérbole; fazemos primeiramente, uma transalação e substituimos
na equação, para eliminar os termos lineares:
(
x =u+h
y = v+k
então, para eliminar os termos lineares devemos ter:
(
2 h + 3 k = 10
=⇒ h = 2, k = 2.
3 u + 2 k = 10
Temos:
(
x
y
=u+2
= v + 2;
substituindo na equação, obtemos:
u2 + 3 u v + v 2 − 15 = 0.
Agora façamos uma rotação de ângulo α, Como A = C, temos que:
α=
π
1
=⇒ cos(α) = sen(α) = √ ;
4
2
e



u







v
1
= √ [x1 − y1 ]
2
1
= √ [x1 + y1 ].
2
7.6. ALTERNATIVA
261
Logo, substituindo na equação, temos que:
x21
y2
− 1 = 1.
6
30
10
5
-10
-5
5
10
-5
-10
Figura 7.23: Hiperbóles do exemplo [6].
Observe que se entramos diretamente com o sistema:

1


x = √ [x1 − y1 ] + h



2




y
1
= √ [x1 + y1 ] + k,
2
para eliminar os termos lineares, devemos resolver o sistema:
(
h+k =4
h − k = 0;
donde novamente h = k = 2.
7.6 Alternativa
Utilizando algumas propriedades elementares das rotações podemos fazer a eliminação dos
termos mistos para ∆ 6= 0, quando o uso da Trigonometria for muito complicado.
Considere a equação geral de segundo grau:
A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0.
Se após uma translação, temos:
A1 x2 + B1 x y + C1 y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0,
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
262
é possível provar que, após uma rotação as seguintes quantidades não variam:
1. A + C = A1 + C1 .
2. B 2 − 4 A C = B12 − 4 A1 C1 .
Como desejamos B1 = 0, temos:
A1 C1 =
4 A C − B2
.
4
Resolvendo o sistema:
obtemos:

A1 + C1 = A + C
2
A1 C1 = 4 A C − B ,
4
A1 x2 + C1 y 2 + F1 = 0.
Exemplo 7.6.
[1] Simplifique a equação: 20 x2 − 24 x y + 27 y 2 + 24 x − 54 y − 369 = 0.
∆ < 0; é uma elipse; eliminemos os termos lineares:
(
10 h − 6 k = −6
−8 h + 18 k = 18.
Obtendo h = 0 e k = 1; logo:
(
x=u
y = v + 1;
susbtituindo na equação:
20 u2 − 24 u v + 27 v 2 − 396 = 0.
Agora resolvamos o sistema:

(
A1 + C1 = A + C
A1 + C1 = 47
2
⇐⇒
4
A
C
−
B
A1 C1 =
A1 C1 = 396
.
4
donde A1 = 36 e C1 = 11 ou A1 = 11 e C1 = 36, então:
ou:
36 u2 + 11 v 2 = 396 ⇐⇒
v2
u2
+
=1
11 36
7.6. ALTERNATIVA
263
v2
u2
+
= 1.
36 11
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 7.24: Elipses do exemplo [1].
[2] (ITA-1998) Simplifique a equação: 2 x2 − 4 x y + 4 y 2 − 2 x − 8 y + 9 = 0.
∆ < 0; é uma elipse, eliminemos os termos lineares:
(
4h − 4k = 2
−4 h + 8 k = 8.
5
Obtendo h = 3 e k = ; logo:
2
susbtituindo na equação:

x = u + 3
5
y = v + ;
2
u2 − 2 u v + 2 v 2 − 2 = 0.
Agora resolvamos o sistema (aplicado à última equação):

(
A1 + C1 = A + C
A1 + C1 = 3
2
⇐⇒
4
A
C
−
B
A1 C1 =
A1 C1 = 1
.
4
√
√
3+ 5
3− 5
donde A1 =
e C1 =
, então:
2
2
√
√
[3 + 5] x2 + [3 − 5] y 2 = 4,
pois F1 = −2.
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
264
Convidamos o leitor a refazer este exemplo utilizando o método anterior.
5
4
3
2
1
-2
2
4
6
-1
-2
Figura 7.25: Elipses do exemplo [2].
[3] (ITA-1989) Simplifique a equação: 2 x2 − 4 x y − 4 y 2 − 2 x − 8 y + 9 = 0.
∆ > 0; é uma hipérbole; eliminemos os termos lineares:
(
4h − 4k = 2
−4 h − 8 k = 8.
1
5
Obtendo h = − e k = − ; logo:
3
6


x = u − 1
3
5

y = v − ;
6
susbtituindo na equação:
6u2 − 12uv − 12v 2 + 38 = 0.
Agora resolvamos o sistema (aplicado à última equação):

A1 + C1 = A + C
2
A1 C1 = 4 A C − B .
4
⇐⇒
(
A1 + C1 = −6
A1 C1 = −108
√
√
donde A1 = −3 + 3 13 e C1 = −3 − 3 13, então:
[3
√
13 − 3] x2 − [3 + 3
√
13] y 2 = −38.
Convidamos o leitor a refazer este exemplo utilizando o método anterior.
7.6. ALTERNATIVA
265
4
2
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
Figura 7.26: Hipérboles do exemplo [3].
6
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
266
7.7 Exercícios
1. Elimine os termos lineares de:
(a) 2 x2 + y 2 + 16 x − 4 y + 32 = 0
(b) 3 x2 + 2 y 2 − 18 x − 8 y + 29 = 0
(c) 4 x2 + 4 y 2 + 32 x − 4 y + 45 = 0
(d) 2 x2 + 5 y 2 − 28 x + 20 y + 108 = 0
(e) 12 x2 − 18 y 2 − 12 x − 12 y − 5 = 0
2. Transforme a equação dada, transladando os eixos à nova origem indicada:
(a) x2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0; (−1, 3).
(b) 3 x2 + 2 y 2 + 12 x − 4 y + 8 = 0; (−2, 1).
(c) 4 x2 − y 2 − 8 x − 10 y − 25 = 0; (1, −5)
(d) x y − 3 x + 4 y − 13 = 0; (−4, 3).
3. Transforme a equação dada, rotando os eixos, no ângulo indicado:
(a) x2 − 2 x y + y 2 − x = 0;
(b)
√
3 y 2 + 3 x y − 1 = 0;
π
.
4
π
.
3
(c) x4 + y 4 + 6 x2 y 2 − 32 = 0;
π
.
4
4. Simplifique a equação dada, por uma translação de eixos adequada:
(a) x + 1 −
√
y−2=0
(b) x2 + 4 y 2 − 16 x + 24 y + 84 = 0
(c) y 2 − 4 x + 8 y + 12 = 0
(d) x2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0
Sugestão: nos três últimos exercícios, complete os quadrados e fatore.
7.7. EXERCÍCIOS
267
5. Utilizando uma translação, elimine os termos lineares da equação:
y 2 − x3 + 6 x2 − 12 x − 6 y + 17 = 0
6. Considere a região plana limitada pelas retas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = −2 e
y + 2 x = −2. Utilizando uma translação adequada, obtenha a região, no sistema {O1 ,
U,V}, limitada por retas paralelas ao eixos coordenados. Esboce as regiões.
7. Identifique a curva 5 x2 + 6 x y + 5 y 2 − 9 = 0 fazendo uma rotação na origem de ângulo
π
igual a .
4
8. Elimine o termo misto x y de cada equação, por meio de uma rotação adequada:
(a) x2 + x y + y 2 = 8
√
√
(b) x2 + 2 3 x y + 3 y 2 + 3 x − y = 0
(c) x2 + 4 x y + 4 y 2 + 12 x − 6 y = 0
(d) 3 x2 − 3 x y − y 2 = 2
(e) 4 x2 − 6 x y − 4 y 2 − 5 = 0
(f) 3 x2 + 2 x y + 3 y 2 − 6 x − 6 y + 1 = 0
9. Simplifique cada uma das equações efetuando translações e rotações adequadas:
(a) x2 + x y + y 2 − 3 y − 6 = 0
(b) x2 + 3 x y − 3 y 2 + 6 x = 0
(c) 2 x2 − 4 x y − y 2 − 4 x − 8 y + 14 = 0
√
√
(d) 4 x2 − 4 x y + y 2 − 8 5 x − 16 5 y = 0
10. Através de translações e rotações, simplifique e identifique as seguintes cônicas:
√
(a) 7 x2 − 6 3 x y + 13 y 2 = 16.
(b) 8 y 2 + 6 x y − 12 x − 26 y + 11 = 0
(c) x2 − 2 x y + y 2 − 10 x − 6 y + 25 = 0
(d) 16 x2 + 16 y 2 − 16 x + 8 y − 59 = 0
(e) 2 x2 + 3 y 2 − 8 x + 6 y − 7 = 0
CAPÍTULO 7. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES
268
11. Utilizando o método alternativo indicado no capítulo, identifique a cônica definida pela
equação:
(a) x2 − 10 x y + y 2 + x + y + 1 = 0
(b) 7 x2 + 6 x y − y 2 − 2 x − 10 y − 9 = 0
√
(c) 7 x2 + 13 y 2 − 6 3 x y − 16 = 0
√
(d) 7 x2 − 13 y 2 − 6 3 x y − 16 = 0
√
(e) 6 x2 + 26 y 2 + 20 3 x y − 2 x − 5 y − 324 = 0
12. Utilizando uma rotação dos eixos de ângulo
√
x+
π
, verifique que a equação:
4
√
y=1
representa um segmento de parábola.
Sugestão: elimine os radicais antes de efetuar a rotação.
13. Obtenha uma translação de eixos tal que y =
v = cos(u) no novo sistema de coordenadas.
√
2
[sen(x) + cos(x)] + 2 passe a ter a forma
2
π
14. Simplifique a equação x4 + 6 x2 y 2 + y 4 − 16 = 0, utilizando uma rotação de ângulo .
4
Esboce a curva no novo sistema.
15. Considere a equação da forma:
a y 2 + b y + c = p x3 + q x2 + r x + 1.
Verifique que a equação não muda de forma quando se realiza uma translação de eixos
com a nova origem (l, k).
16. Considere a equação da forma:
x2 + y 2 + x + y = 2.
Determine as condições para (h, k) quando se realiza uma translação de eixos, a fim de
que a equação fique da forma:
u2 + v 2 + A u + B v = 0.
.