• Trigonometria no Triângulo Retângulo (M9) e Estudo Geral dos

Conteúdos e
Revisão
EXAME FINAL e
Avaliação Especial
Componente Curricular: Matemática
Data: Dezembro/2016
Série: 2ª
Turmas : 22A, 22B e 22C
Professor (a): Lisiane Murlick Bertoluci
Importante:
A avaliação especial e o exame final
abordarão questões que exigirão a
demonstração dos cálculos e seguirão o
mesmo nível de dificuldade das questões
trabalhadas em aula. Os alunos deverão
estudar baseados nas questões dos
módulos citados, bem como nas provas,
listas de revisões e trabalhos realizados
durante o ano letivo de 2016.
Conteúdos:
 Trigonometria no Triângulo Retângulo – M9.
 Estudo Geral dos Triângulos - M10.
 Polígonos e suas áreas – M11.
 Ciclo trigonométrico – M16.
 Transformações Trigonométricas – M17.
 Matrizes – M19.
 Determinantes – M20.
 Sistemas Lineares – M21.
 Contagem e Análise Combinatória – M23.
Bons estudos!
Com carinho professora Lisi.

Trigonometria no Triângulo Retângulo (M9) e Estudo Geral dos Triângulos (M10):
1) Na figura abaixo, calcule o valor da medida x:
2) No triângulo abaixo, determine as medidas de x e y:
3) No triângulo da figura abaixo, calcule as medidas de b e c:
4)
(UPE-PE) O valor da tangente do ângulo de 75º é igual a:
a) 2 b)
-2
c)
+
d) 2 +
e)
-
5)
(MAPOFEI-75) Calcule o valor da expressão: sen105° - cos 75°:
6) Uma rampa lisa com 20 m de comprimento faz ângulo de 15º com o plano horizontal.
Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a quantos metros?
7)
O valor de tangente do ângulo de 15° é igual a:
8) (UFPI – PI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo
um ângulo de 30° (supondo que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de
percorrer 1000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:
a) 500
b) 750
c) 1000
d) 1250
e) 1500
9) (UEMT) Um grupo de zoólogos encontra na extremidade de um morro uma espécie de
pássaro em extinção. Eles sabem que é de suma importância o estudo desta espécie
em seu habitat natural, sendo, portanto, necessário o deslocamento de mantimentos
e equipamentos até o topo do morro. Um dos membros do grupo, tendo
conhecimento de engenharia, efetua algumas medidas, conforme o desenho abaixo
para calcular o comprimento do cabo de A até B que será utilizado para transporte dos
materiais. Após os cálculos ele observa que o cabo sofrerá uma curvatura quando for
colocado peso sobre ele, tornando o seu comprimento 5% maior que a medida
tomada de A até B.
Quantos metros de cabo deverão ser utilizados para que possa transportar os materiais
necessários para o estudo até o topo do morro?
a) 262m
b) 240m
e) 252m
c) 250m
d) 245m
 Polígonos e suas áreas – M11:
10) Na figura abaixo, as circunferências têm centro nos pontos A e B e cada uma delas é
tangente a três lados do retângulo. Sabendo que cada círculo tem raio 2 cm, qual a
área do retângulo em metros quadrados?
11) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos.
Se os perímetros dos dois quadrados são 20 cm e 80 cm, qual a área do retângulo
sombreado?
12) Considere o quadrado ABCD inscrito na circunferência de centro O e raio 45 cm,
determine as medidas do apótema e do lado desse quadrado:
13) O hexágono regular [ABCDEF] tem um perímetro 12 3 cm e está dividido em seis
triângulos equiláteros iguais.
Determine:
a.
A área de cada triângulo equilátero:
b.
A área do hexágono:
14) Num trapézio isósceles [ABCD], as bases [AB] e [CD] têm, respectivamente, 9 cm e 17
cm de medidas de comprimento. Sabendo que a medida da amplitude do ângulo
interno BCD é de 45º, determine a medida da área do trapézio:
15) Calcule a medida da área de um triângulo [ABC], sabendo que AC  BC  40cm e
AB  48cm :
16) A medida da base de um triângulo isósceles é de 60 cm e a medida do seu perímetro é
igual a 216 cm. Calcule a medida da sua área:
17) Os quadrados ABCD e APQR, representados na figura abaixo, são tais que seus lados
medem 6 e o ângulo PAD mede 30°.
Ligando-se o ponto B com o ponto R e o ponto D com o ponto P, obtém-se o hexágono
BCDPQR, cuja área é:
a) 90.
b) 95.
c) 100.
d) 105.
e) 110.
18) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se
que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e
que AB = 2,5 m, BC = 1,2 m, EF = 4,0 m, FG = 0,8 m, HG = 3,5 m e AH = 6,0 m
Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a) 37,2.
b) 38,2.
c) 40,2.
d) 41,2.
e) 42,2.
19) Considere um triângulo ABC cujos lados meçam 4m, 6m e 8m. Para esse triângulo,
calcule:
a) A área, em metros quadrados:
b) A medida do raio da circunferência inscrita, em metros:
 Ciclo trigonométrico (M16) e Transformações Trigonométricas (M17):
20) Complete a tabela:
GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS
0º
180º
30º
210º
45º
225º
60º
240º
90º
270º
120º
300º
135º
315º
150º
360º
21) Expresse em graus:
a)
10
rad
9
b)
11
rad
8
c)

9
rad
d)

rad
20
e)
4
rad
3
22) Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos:
a) 1300º
b) 1440º
c) 170º
d)
11
rad
2
e)
43
rad
5
f) – 1200º
23) Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos:
( ) 740º e 1460º
( ) 400º e 940º
( )
38
26
rad e
rad
3
3
(
)
74
19
rad e
rad
5
5
24) (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias,
apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na
modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse
feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em
torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
a) uma volta completa
b) uma volta e meia
c) duas volta completas
d) duas voltas e meia
e) cinco voltas completas
25) Determine um arco trigonométrico, medido em graus entre 0º e 360º, que coincida
com cada um destes arcos:
a) 1580º
b) 300º +
4
c)
- 17 rad
4
d) -50º
e) Represente os ângulos encontrados nas questões a, b, c, e d:
26) Calcule a menor determinação do arco -780º, em graus:
27) Verifique se os arcos abaixo são côngruos:
a) 40º e 760º = _________________
b) 110º e 650º = _________________
c)
rad e
4
rad = ________________
4
28) Pela simetria dos arcos, calcular, por redução ao primeiro quadrante:
a) sen 150°
b) sen 225°
c) sen 330°
29) No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 3 e encontra-se no
5
segundo quadrante. A tangente deste ângulo vale:
a)
b)
3
4
4

3

c)
–1
d)
3
4
4
3
e)
30) Para um ângulo do 1º quadrante sabe-se que 3cos2x – 2sen2x = 
1
. Determine
3
seno e cosseno desse ângulo:
31) Um ângulo do terceiro quadrante é tal que sen x = 2.cos x. Obtenha o seno e
cosseno desse ângulo:

Matrizes (M19):
32) (ITA-2006)
Sejam
3  1/ 2
1
1 2 2
B
 1 1
1

 5  1 1/ 2
as
matrizes
0 1 / 2  1
 1
 2 5
2  3

A
 1 1 2
1 


 5 1 3 / 2 0 
1
3
. Determine o elemento c34 da matriz C  ( A  B) .
1

5
 x 3   1 5   4 8 



4 y   8 y  12  6
33) Determine x e y na igualdade 
e
1  2
1 2  3


T
34) Dadas as matrizes A  
 e B  3 0  , determine A + 2.B :
4
5
6


4  3
35) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que aij = 2i – 3j.
36) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que:
aij = 2i – 3j se i = j e aij = 3i – 2j se i  j.
37) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que aij = 2i + 3j.
38) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 2i + 3j.
.
3
5
39) Sendo A = 
2
 eB=
1 
a) A.B
 3 - 1

 e C =
2 0
2   2 - 1
5

., calcule:
3
 1 4  0
b) A.C
c) B.C
 2 - 3
 , determine K = M t
 5 7 
40) Considere a matriz M = 
1 0 0 


41) Obtenha a matriz inversa da matriz 1 2 0  :
1 3 1 



Determinantes – M20:
42) Se A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = 2i - j, escreva explicitamente a
matriz A e, em seguida calcule:
a)
det A:
c)
det A-1:
b) det At:
d) det (4A):
43) Dada a matriz B = (bij)4x4 tal que bij = 2j + i escreva explicitamente a matriz B e,
em seguida calcule:
a) Cofator do elemento a14 :
b) Cofator do elemento a42 :
44) Calcule os seguintes determinantes:
 -1 5 - 2


a)  - 2 0 3 
7 - 2 5


8
b) 
 3

1 0

3 7
45) Dada a matriz A = 
-1 2

0 3

-2
0
6
1
3

- 7 
- 4 6 - 9


c)  - 3 4 6 
 1 3 8


0

2
, calcule o determinante da matriz A utilizando La
3

1 
Place:
1 - 3 
 , calcule:
2 7
46) Dada a matriz A = 
a) det A
b) det 3A
1

47) (Vunesp) Seja A uma matriz. Se A =  0
0

3
0
6
14
0 

14  , o determinante de A é:
34 
48) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.
1

Se A =  0
1

2
-1
0
3

1  e B é tal que B-1 = 3A , o determinante de B será:
2 

Sistemas Lineares – M21:
49) Aplique a Regra de Cramer:
50) Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus
salários:
i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a
R$ 1500,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual R$ 3000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é
igual a R$ 5500,00.
a) Escreva, na forma matricial, as equações que descrevem a relação entre os salários de
Pedro, Carlos e João.
b) Obtenha a solução através da regra de Cramer.
51) O valor de x2 + y2 + z2 no sistema
(Utilize o método de Cramer)
a.
b.
c.
d.
e.
29
11
20
25
13

Contagem e Análise Combinatória – M23:
52) Considere as letras da palavra SOMA:
a. Quantos são os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras?
b. Quantos anagramas iniciam-se pela letra A?
53) Assinale V ou F, conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmação a
seguir:
a. ( ) 7! = 7.6.5!
b. ( ) 9! = 3! + 6!
c. ( ) 10! / 5! = 2
d. ( ) 6! / 4! = 30
e. ( ) Se n! = 6, então n = 3
54) Encontre um número natural n tal que n! – 12 . (n – 1)! = 0
55) Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO:
56) Simplifique as expressões:
a. 50! / 49!
b. n! / (n – 1)!
c. 100! + 99! / 99!
57) Você dispõe de 9 livros: 3 de Matemática, 4 de Física e 2 de Química. Todos são distintos.
a. Qual o número de maneiras distintas de dispor esses 9 livros lado a lado numa mesma
prateleira?.
b. Qual o número de maneiras de dispor esses livros deixando juntos os da mesma
disciplina?.
58) Considerando as letras da palavra FORTE, calcule:
a. o número total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras;
b. o número de anagramas que começam e terminam por consoante.
59) Cinco rapazes e duas moças devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um
cinema.
a. De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares?
b. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar
juntas?
c. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar
separadas?
60) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e escrevem-se assim
números com cinco algarismos distintos, colocando-os em ordem crescente.
a. Qual o lugar ocupado pelo número 53.719;
b. Qual a soma dos números assim formados?
61) Considere apenas os algarismos 2, 4, 6 e 8.
a. Quantos números naturais de 4 algarismos podemos formar?
b. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?
c. Quantos números naturais de 4 algarismos, onde pelo menos 1 algarismo se repita,
podemos formar?
62) Suponhamos que você tenha uma nota de 100 reais, uma nota de 50 reais, uma nota de 10
reais, uma nota de 5 reais e uma nota de 1 real.
Colocando-as lado a lado, de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas, como
na fotografia, apenas mudando as posições entre elas?
63) Quantos são os anagramas da palavra SENHOR?
64) Quantos são os anagramas da palavra SENHOR que começam e terminam por vogal?
65) Considere 5 moças e 5 rapazes que irão sentar-se em 10 cadeiras colocadas uma do lado
da outra. (obs.: cada uma das 10 pessoas ocupará uma cadeira.)
a. De quantas formas diferentes essas cadeiras poderão ser ocupadas?
b. De quantas formas diferentes essas cadeiras poderão ser ocupadas sendo que não pode
haver dois ou mais rapazes (ou duas ou mais moças) juntos?
66) Você deve escolher 6 algarismos para formar uma senha com base nos algarismos 1, 2, 3,
4, 5 e 6. Então, calcule:
a. o número de senhas que podem ser formadas.
b. o número de senhas que podem ser formadas se os algarismos não podem se repetir.
67) Calcule:
a) A7,3
b) A5,2
c) A10,5
68) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de
1 até 9?
69) De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 4 lugares?
70) (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus três respectivos filhos podem ocupar
uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?
a) 6
b) 12
c) 18
d) 36
e) 48
71) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado, para tirar uma
foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis
podem posar para tirar a foto?
a) 21
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
72) Em uma turma, você deverá escolher 4 pessoas como representantes da turma.
Qual o número total de escolhas possíveis?
73) Ao final da aula, cada aluno da turma deverá apertar a mão de todos os colegas uma única
vez.
Quantos apertos de mão existirão no total?
74) Considere 8 vértices de um octógono convexo. Você deverá formar segmentos ligando
esses pontos dois a dois. Qual o número total de segmentos que podem ser formados?
75) Ao final da aula, cada aluno da turma deverá apertar a mão de todos os colegas uma única
vez.
Quantos apertos de mão existirão no total?
76) Qual o número total de diagonais de um octógono convexo?
77) (FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número
718.844?
a) 90
b) 720
c) 15
d) 30
e) 180
78) (UFU-MG) O número de anagramas da palavra ERNESTO, começando e terminando por
consoante, é:
a) 480
b) 720
c) 1.440
d) 1.920
e) 5.040
79) (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar à direita, à
esquerda ou seguir em frente. De quantas maneiras esta cobaia percorre o labirinto, se
segue um caminho diferente em cada vez?
a) A7,3
b) C7,3
c) 7
d) 37
e) 7! / 3!
80) (USP) Uma comissão de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o
desenvolvimento das partes esportiva de sua escola. Sabendo-se que estes cinco alunos
devem ser escolhidos de um grupo de 10 alunos, então o número possível de escolha é:
a) 360
b) 180
c) 21.600
d) 252
e) 210
81) (UFV-MG) Resolvendo a equação Cx2 = 21, encontramos:
a) x = -6 ou x = 7
b) x = -6
c) x = 21
d) x = 13
e) x = 7