Função de 1º grau

Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado
termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a
aos eixos Ox e Oy.
0, é uma reta oblíqua
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma
régua:
a)
Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)
Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,
Marcamos os pontos (0, -1) e
x
y
0
-1
e outro ponto é
.
no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a
está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b =
b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a
que f(x) = 0.
0, o número real x tal
Temos:
f(x) = 0
ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0
2x - 5 = 0
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0
3x + 6 = 0
x = -2
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das
abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0
-2x + 10 = 0
x=5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e
observar o que ocorre com y:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:


para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo,
os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que
essa função se anula pra raiz
. Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y>0
ax + b > 0
x>
y>0
ax + b < 0
x<
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x
menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y>0
ax + b > 0
x<
y>0
ax + b < 0
x<
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x
maiores que a raiz.
Exercícios
FUNÇÕES DO 1º GRAU
1.(UFU-MG) No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas
por y=3-x e y= kx+t, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente:
a.
b.
c.
d.
e.
2e1
-2 e 1
2e0
-1/2 e 0
1/2 e 0
2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico
a.
b.
c.
d.
e.
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
f(x)= -x
3. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3,
0):
a.
b.
c.
d.
e.
y= x/3
y=-x/3 + 1
y= 2x
y= x/3 +1
y= -x
4. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa
correta:
a.
b.
c.
d.
e.
a
a
a
a
a
=
>
<
>
>
0
0
0
0
0
;
;
;
;
;
b
b
b
b
b
=
>
>
=
<
0
0
0
0
0
5. ( UFMA ) A representação da função y = -3 é uma reta :
a.
b.
c.
d.
e.
paralela aos eixo das ordenadas
perpendicular ao eixo das ordenadas
perpendicular ao eixo das abcissas
que intercepta os dois eixos
nda
6. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :
a.
b.
c.
d.
e.
a
a
a
a
a
<
<
=
>
=
2
0
0
0
2
7. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?
a.
b.
c.
d.
e.
y = 2x - 3
y = - 2x + 3
y = 1,5 x + 3
3y = - 2x
y = - 1,5x + 3
8. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1,
6 ). Assim o valor de m + n é :
a.
b.
c.
d.
e.
- 13/5
22/5
7/5
13/5
2,4
9.( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é
igual a :
a.
b.
c.
d.
e.
0
2
3
4
-1
10. ( FUVEST - SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto
de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é :
a.
b.
c.
d.
e.
f(x)= x-3
f(x)= 0,97x
f(x)=1,3x
f(x)=-3x
f(x)= 1,03x
11. ( UFRN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor
de y para x = -1 é:
a.
b.
c.
d.
e.
3
4
-7
-11
nda
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e
f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é :
a.
b.
c.
d.
e.
0
2
-5
-3
-1
13. ( UFPE ) Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 .
Assinale a alternativa que indica a representação desta função:
14.( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada
pelo gráfico abaixo. Nestas condições:
a.
b.
c.
d.
e.
m = 2t
t = 2m
m=t
m+t=0
m - t=4
15. ( MACK-SP ) O ponto P pertence ao gráfico cartesiano da função dada por f(x)
= -x + 30. A somas das coordenadas de P é:
a.
b.
c.
d.
e.
30
negativa se x < 30
sempre negativa
zero se x = 30
impossível de ser determinada com a informação dada.
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1.
2.
3.
4.
5.
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
chamada parábola.
0, é uma curva
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em
seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a
números reais x tais que f(x) = 0.
0, os
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +
bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando
, chamado discriminante, a saber:

quando
é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando
é zero, há só uma raiz real;

quando
é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V;
quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
Imagem
. Veja os gráficos:
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a
que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a>0
2ª quando a < 0,
a<0
0, é o conjunto dos valores
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y),
mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola
corta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x
para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º >0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola
intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y>0
(x < x1 ou x > x2)
y<0
x1 < x < x2
quando a < 0
y>0
x1 < x < x2
y<0
(x < x1 ou x > x2)
2º -
=0
quando a > 0
quando a < 0
3º -
<0
quando a > 0
quando a < 0
FUNÇÕES DO 2º GRAU
1. (ACAFE - SC) - A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:
a.
b.
c.
d.
e.
0
1
2
3
4
2. (PUC - MG) - O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:
a.
b.
c.
d.
e.
2
3
4
5
6
3. (CEFET - PR) - O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
3
4
5
4. (UEL-PR)- Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9,
então x + y é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
5/6
31 /14
83/12
89/18
93/12
5. (MACK - SP) - O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k;
então k pode ser:
a.
b.
c.
d.
e.
-2
-1
2
3
4
6. (PUC - SP) - O número de pontos comuns aos gráficos das funções f(x) = x 2 - 2
e g(x) = - x2 - 4 é:
a.
b.
c.
d.
e.
0
1
2
3
4
7. (UFCE) - Considere a função f: IR  IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se
afirmar corretamente que:
a.
b.
c.
d.
e.
vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
f possui dois zeros reais e distintos;
f atinge um máximo para x = 1;
gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
nda
8. (UFGO) - Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:
a.
b.
c.
d.
e.
{0; 1 }
{- 1 ; 0}
{1 }
{- 2; 3}
{3; 4}
9. (PUC - RS) - A imagem da função f: IR  IR, definida por f(x) = x2 - 1, é o
intervalo:
a.
b.
c.
d.
e.
[-1; ºº )
(-1;ºº )
[0; ºº )
(-°° ;-1)
(-ºº ;-11 ]
10. (UEPG - PR) - Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu
conjunto - imagem é:
a.
b.
c.
d.
e.
{y
{y
{y
{y
R
E
E
E
E
IR/y 4}
IR/-4<y<4}
IR/y>4}
IR/y 4}
11.(FGV - SP) - O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 100x + 5000. O valor do custo mínimo é:
a.
b.
c.
d.
e.
3250
3750
4000
4500
4950