exercícios números complexos - piloto

MATEMÁTICA
Números Complexos
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05) Considerando o número complexo z = a + bi, em
que a e b são números reais e l = −1 , define-se
01) Resolva em ℂ. as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
x +9=0
2
x + 20 = 0
2
x – 2x + 5 = 0
2
x + 6x + 13 = 0
2
x +x+1=0
3
2
x – 2x + 4x = 0
z =a – bi e
F.A.
Re(z)
Im(z)
z
|z|
2 +bi
a
b
a−bi
a +b
2
||z||
2
2
a +b
-
Se z é número real, então z = z .
-
Se z = i, então ( z ) = z.
5
06) O complexo conjugado e o módulo do número
2
complexo (a + b) i, onde i é a unidade imaginária e
a e b são reais, são, respectivamente, iguais a:
2
a)
b)
c)
d)
e)
7
–7
3i
– 4i
2i+ 4 + i
2
2
–(a + b) i e (a + b)
2
(a – b) i e (a + b)
–(a + b)i e (a – b)
(a + b) e (a + b)
2
(a + b) i e (- a + b)
07) Sejam i a unidade imaginária e x e y números
reais. Para que a igualdade 4y – (2x + y)i = i seja
verdadeira, deve-se ter:
5 – 5i + 7
I + 2i – 3
a)
b)
c)
d)
e)
03) (Unicamp-SP) Considere a função quadrática
2
f(x) = x + x cos α + sen α.
3π
.
2
b) Encontre os valores de α para os quais o
3
1
número complexo
+
i e raiz da equação
2
2
f(x) + 1 = 0.
a) Resolva a equação f(x) = 0 para α =
2
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
+
i na
2
2
equação. Escreva o lado esquerdo na forma
algébrica. Iguale a parte real à zero.
a)
b)
c)
d)
e)
3
Então, o número complexo z = x +iy é tal que z e
z valem, respectivamente:
6
b)
c)
d)
e)
3
0
–2
4
2
–4
09) Considere o número complexo z = i, onde i é a
1
4
3
2
unidade imaginária. O valor de z + z + z + z +
z
é:
04) Sejam x e y números reais tais que:
 x 3 – 3xy 2 = 1
 2
3
3x y – y = 1
a) 1 – i e
x=0;y=-½
x=y=0
x =y = ½
x=-½;y=0
x=0;y=½
08) Para que Z = (α – 4) + (α – 2)i seja imaginário
puro, o número real α deve ser igual a:
Dica para item b: substitua x por
1+ie
ie1
–ie1
1+ie
a2 + b2 . Assim, é correto
=
afirmar:
02) Preencha a tabela a seguir:
Z
z
2
2
–1
0
1
i
–i
50
10) Se i é a unidade imaginária, então
∑i
n
vale:
n =1
6
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
3
Dica: Calcule z = (x + yi) e escreva o resultado na
Forma Algébrica.
1
1–i
1+i
0
–1+i
–1–i
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17) Dado o sistema de equações na incógnita z:
z − 4 − 3i = 1
11) Seja z = a + bi um número complexo, onde a, b
∈ ℝ , a ≠ 0 e b ≠ 0. A área do polígono, cujos
vértices são z1 = z, z2 = z , z3 = – z e z4 = bi, é igual
a:
z =m
Ache m que faz com que o sistema tenha:
a) ab
3
b)
ab
2
c) 2 ab
d) 3 ab
e) 6 ab
a) 1 raiz
b) 2 raízes
c) Nenhuma raiz
18) Consideremos o número complexo z = 1 – i
Denotando por θ o argumento de z, por z o
conjugado de z, e por z o módulo de z, é correto
12) Seja i a unidade imaginária do número complexo
4
z=
. Então, z é igual a:
2 − 2i
a)
b)
c)
d)
e)
afirmar que:
– 2i
1–i
i
1+i
2i
π
≤θ≤π
2
02) z = 2
01)
04) senθ = −
13) Determine o valor de x para que o produto
(12 – 2 i) [18 + (x – 2) i] seja um número real.
f)
3
2
08) z 2 = −2z
1
16) cos θ =
2
32) cos 2θ = cos θ
64) sen2θ = senθ
14) Que tipo de curva no plano é o lugar geométrico
das imagens dos números complexos z que
satisfazem:
a)
b)
c)
d)
e)
Re(z) = 1
Im(z) = - 2
Re(z) = Im(z)
2
Re(z ) = 0
z =z
19) Se z1 e z2 são números complexos representados
pelos seus afixos no plano de Argand-Gauss
abaixo, então z3 = z1 . z2 escrito na forma
trigonométrica é:
z −i =1
g) z − 2 + 3i = 3
15) O lugar geométrico dos pontos z do plano
2
complexo tais que a parte imaginária de z é igual
a 1 é um(a):
a)
b)
c)
d)
e)
Ponto
Reta
Circunferência
Parábola
Hipérbole
a)
2 (cis225º)
b)
2 (cis315º)
c) 2 2 (cis45º)
d) 2 2 (cis135º)
e) 2 2 (cis225º)
Dica: esboce os lugares geométricos.
16) O lugar dos complexos z que satisfazem à
equação z . z + z
a)
b)
c)
d)
e)
3.
2
= 2 é:
Uma reta
Uma elipse
Uma circunferência
Um quadrado
Uma parábola
2
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23) Com relação aos números complexos, assinale o
que for correto.
20) Considerando o número complexo za=tgα + secα i,
π
π
em que α é uma constante real tal que − < α <
2
2
2
e i = - 1, assinale o que for correto.
6
01) (2 + 2 i) é um número imaginário puro.
2
i103
é um número cujo módulo é
.
1+ i
2
z + 2i
9 + 7i
04) Se
= 3 , então z =
.
iz + 1
10
08) O ponto, no plano complexo, correspondente
i103
ao número complexo z =
está localizado
1+ i
no 4º quadrante.
5π
5π 

+ i sen
é a forma trigonométrica
16) 8  cos
6
6 

02) z =
01) Qualquer ponto do primeiro quadrante ou do
segundo quadrante do plano complexo
representa zα para algum α .
02) Para qualquer α , a parte real do número
2
complexo ( zα ) é um número real negativo.
04) Se zα = 1 , então α = 0 .
08)
1
=z π
−
zπ
4
4
16) (z π )4 = −7 − 4 2i
do número complexo z = −4 3 − 4 i .
4
24) Com relação aos números complexos x e y que
 x + yi = −2
satisfazem 
, é correto afirmar:
 xi + y = 2 + 2i
21) Considere no plano de Gauss os pontos O, A e B
imagens, respectivamente, dos números z = 0,
w = 2 + i e v = - 3 + i. Calcule a medida do ângulo
AÔB.
Dica: AÔB = arg(v) – arg(w).
01)
02)
04)
08)
16)
32)
22) Considerando o sistema I abaixo, em que z e w
são números complexos, e z e w são,
respectivamente, os seus complexos conjugados,
assinale o que for correto:
o conjugado de y é 2 i - 1.
2
x é um número real.
x + Yi + 2 = 0.
xy = 2 – x.
x + y = i + 1.
2
y é um número real.
25) Se
z = {2[cos ( π / 4) + i sen ( π / 4)]} ,
2
conjugado de z é igual a:
2
2
23
 w − z = 10(1 − 3i ) (1)

(2)
6z − 3 w = 4 3
a)
01) A equação (1) do sistema I é equivalente a
w 2 − z2 = 10 − 10 3i .
02) O par (z, w) dos números complexos
z = 1 − 3i e w = 2 3 + 2i é uma solução do
sistema I.
04) O par (z, w) dos números complexos
4 3
z = 2−
i e w = 4 3 − 4i é solução da
3
equação (2) de I, mas não satisfaz à equação
(1).
08) O par (z, w) dos números complexos
5π
5π
z = 2cos
+ 2sen i
e
3
3
π
π
w = 4 cos + 4sen i , é uma solução da
3
3
equação (2) de I.
16) Dois números complexos, ambos sendo
números imaginários puros, não formam uma
solução de I.
b) –
então
o
2–i 2
2 –i 2
c) – 2 + i 2
d) 4
e) – 4 i
26) O diagrama que melhor representa as raízes
cúbicas de – i é:
Dica: Não tente resolver o sistema!
3
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27) As raízes da equação z + 1/z = 1 se situam, no
plano complexo, nos quadrantes:
a) 1º e 2º
b) 1º e 3º
c) 1º e 4º
28) Seja
z
Re(z) > 0
d) 2º e 3º
e) 2º e 4º
um
número
complexo
satisfazendo
2
e (z + i)2 + z '+ i = 6 , onde z’ é o
conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual
n
z é um imaginário puro, então n é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
29) Considere, no plano complexo, um polígono
regular cujos vértices são as soluções da equação
6
z = 1. A área deste polígono, em unidades de
área, é igual a:
a) 3
b) 5
c) π
Gabarito
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
*01)
d) (3 3 ) / 2
e) 2 π
30) Dado um número natural n ≥ 1 e considerando que
as raízes n-ésimas da unidade são as raízes
n
complexas do polinômio x – 1, assinale a(s)
alternativa(s) correta(s).
01) O módulo de qualquer raiz n-ésima da
unidade é igual a 1.
5
4
3
2
02) Todas as raízes de x + x + x +x + x +1 são
também raízes sextas (6-ésimas) da unidade.
04) Se z1 e z2 são raízes n-ésimas da unidade,
ambas distintas de 1, então z1z2 também é
uma raiz n-ésima da unidade.
08) Se z1 é uma raiz quinta da unidade e z2 é uma
z
raiz sétima da unidade, então 2 é uma raiz
z1
da quinta da unidade.
16) z = – 1 é sempre raiz da unidade para n ≥ 2 .
*
*
*
E
*
A
D
B
E
D
a)
b)
c)
d)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
x = ±3i
D
D
05
*
E
C
*
94
E
20
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
135°
18
07
18
E
B
C
B
D
07
x = ±2 5.i
x = 1 ± 2i
x = −3 ± 2i
e) x = − 1 ± 3 i
2
2
f) x1 = 0; x 2 = 1 + 3i
*02)
F.A.
Re(z)
Im(z)
z
|z|
2 +bi
a
b
a−bi
a +b
7
7+0i
7
0
7
7
49
–7
−7+0i
−7
0
−7
7
49
3i
0+3i
0
3
−3i
3
9
– 4i
0-4i
0
−4
4i
4
46
2i+ 4 + i
4+3i
4
3
4-3i
5
25
5 – 5i + 7
12−5i
12
−5
12+5i
13
169
I + 2i – 3
−2+2i
-2
2
−2−2i
2 2
8
Z
2
||z||
2
a2+b2
*03) a) x = ± 1
b) α = )2k + 1)π. K ∈ ℤ
*05) a) V; b) F
*14) a) uma reta vertical por (1,0)
b) uma reta horizontal por (0, −2)
c) a bissetriz dos quadrantes impares
d) as duas bissetriz do quadrante
e) o semi eixo horizontal a partir da origem (inclusive a origem)
f) a circunferência de centro i e raio 1
g) a circunferência de centro 2 – 3i e raio 3
*17) a) 4
b) 4 < m < b
c) m < 4 ou m > 6
4
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