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Estudo da Convergência do Método de Newton-Raphson
Deseja-se mostrar que, se o Método de Newton-Raphson converge, esta
convergência se dá para a raiz (zero da função).
Hipótese:
A raiz  é única no intervalo [a,b].
Define-se :
  lim x k
k 
Para mostrar que a convergência do método se dá para o zero da função, devese provar que    .
Parte-se da expressão que define o processo iterativo do Método de NewtonRaphson.
x k 1  x k 
f ( xk )
f ' ( xk )
Levando a expressão ao limite:
lim x k 1  lim x k  lim
k 
k 
k 
f ( xk )
f ' ( xk )
Substituindo:
  
f ( )
f ' ( )
Solucionando a expressão acima:
que    .
f ( )  0
Portanto  é raiz da função. Como  é a única raiz no intervalo [a,b], tem-se
Condições Suficientes para a convergência
1) f ' ( x) e f '' ( x) não nulas e preservam o sinal no intervalo [a,b].
2) x o tal que f ' ( xo ) f '' ( xo )  0 .
As condições suficientes para convergência pode-se dizer que não são as ideais para
aplicações práticas, pois, se não forem satisfeitas, nada se pode dizer sobre a convergência
do processo.
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Na prática, para se obter a convergência no Método de Newton-Raphson, procura-se
soluções iniciais próxima à raiz. Em situações de difícil convergência, para se ter uma
solução inicial de melhor qualidade, pode-se rodar algumas iterações de outros métodos.
Exemplo 1
Determine o zero da função f ( x)  ln x  e x , a partir de 3 iterações do Método de NewtonRaphson com valor inicial x o  1 .
f ( x)  ln x  e x
1
f ' ( x)   e x
x
2,718
x1  1 
 0,269
3,71
f (0,269)
x 2  0,269  '
 0,27
f (0,269)
f (0,27)
x 3  0,27  '
 0,27
f (0,27)
Exemplo 2
Determine o zero da função f ( x)  x 4  x  10 , utilizando o Método de Newton-Raphson
com x o  1 e tolerância   10 3 .
f ( x)  x 4  x  10
f ' ( x)  4 x 3  1
f (1)
 10
x1  1  '  1 
 4,33
3
f (1)
f (4,33)
337,19
x 2  4,33  '
 4,33 
 3,28
323,73
f (4,33)
f (3,28)
102,46
 3,28 
 2,55
'
140,15
f (3,28)
f (2,55)
29,732
x 4  2,55  '
 2,55 
 2,095
65,32
f (2,55)
f (2,095)
7,1685
x 5  2,095  '
 2,095 
 1,895
35,780
f (2,095)
x 3  3,28 
f (1,895)
1,000
 1,895 
 1,857
'
26,22
f (1,895)
f (1,857)
0,0348
x 7  1,857  '
 1,857 
 1,856
24,615
f (1,857)
x 6  1,895 
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Casos de Difícil Convergência para o Método de Newton-Raphson
a) Pontos de Inflexão mais proximidades da raiz, f '' ( x)  0 .
1
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
x1
x
0
xo
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
Observe que este é um caso extremo no qual o processo entra em “loop” e não
chega à convergência. Em situações deste tipo, dependendo da condição inicial, o processo
passa a ser muito oscilatório, retardando a convergência.
b) Ponto de máximo ou mínimo local, f ' ( x)  0 . Observe a análise gráfica através da
função f ( x)  x  sin (2 x)  1 .
6
f(x)
5
4
3
2
1
0
xo
-1
-2
-1
0
1
x1
2
3
4
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Observe que para o valor inicial dado o processo entrou em “loop” e não converge. Veja
como fica mudando o valor inicial.
6
f(x)
5
4
3
2
1
0
x
xo
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
Observe que o processo diverge. Neste caso f ' ( x o )  0 e na expressão de recorrência do
Método de Newton-Raphson aparecerá uma divisão por zero, criando uma situação para o
overflow.
Comparação entre o Método de Iterações Lineares e o Método de Newton-Raphson
Considere a equação f ( x )  0.
Para o Método de Iterações Lineares o processo iterativo é realizado através da
definição de uma função de iteração: x k 1   ( x k ) .
Para o Método de Newton-Raphson o processo iterativo se dá através da
f (x )
expressão: x k 1  x k  ' k .
f ( xk )
Tomando como função de iteração linear:
 ( x k 1 )  x k 
f ( xk )
f ' ( xk )
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Pode-se interpretar que o Método de Newton-Raphson é um caso particular do
Método de Iterações Lineares.
Ordem de Convergência de Métodos Iterativos
Definição: Seja x k   x o , x1 , x 2 , ...  uma sequência que converge para um número  e
seja ek  x k   o erro na iteração k. Se existir um número p  0 e uma constante c  0 ,
tal que:
e k 1
lim 
c
p
k 
ek
Então p é chamado de ordem de convergência da sequência x k  e c é a constante
assintótica do erro.
Observações
1 - Se lim 
k 
2-
ek 1
ek
 c , com 0  c  1 , então a convergência é pelo menos linear.
Da expressão lim 
k 
e k 1
ek
p
 c , pode-se escrever que:
e k 1  c e k
p
para
k 
Para x k convergente, tem-se e k  0 quando k   . Portanto, quanto maior for o valor
de p, mais rápido será a redução do valor da expressão
rápida será a convergência.
c ek
p
, quando ek  1 , e mais
Ordem de Convergência do Método de Iteração Linear
Seja x k  uma sequência, obtida através do Método de Iterações Lineares. que
converge para a raiz  e seja ek  x k   o erro na iteração k. Considere as relações:
x k 1   ( x k )
   ( )
Subtraindo as duas expressões, chega-se:
x k 1     ( x k )   ( )
A partir do teorema do valor médio, tem-se:
x k 1     ( x k )   ( )   ' (c k )( x k   ) com c k  [ x k ,  ]
Rearranjando a expressão, tem-se:
x k 1  
  ' (c k )
xk  
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Levando a relação ao limite:
x k 1  
 lim  ' (c k )
k  x  
k 
k
lim
A partir da hipótese que o processo é convergente, tem-se que:
1.  ( x) e  ' ( x) são contínuas num intervalo [a,b].
2.  ' ( x)  M  1 x  [a, b] .
3. x o  [a, b] .
Considerando as hipóteses de convergência:


x k 1  
 lim  ' (c k )   ' lim c k   ' ( )
k  x  
k 
k 
k
lim
Portanto:
ek 1
  ' ( )  c c  1
k  e
k
Concluindo: Pela análise da expressão acima, o Método de Iterações Lineares possui
convergência linear e será mais rápido quanto menor for  ' ( ) , pois para k   , tem-se
que e k 1   ' ( )e k .
lim
Ordem de Convergência do Método de Newton Raphson
Suponha que o Método de Newton-Raphson gere uma sequência x k  que
converge para a raiz  .
Toma-se a expressão geral do método:
f (x )
(1)
x k 1  x k  ' k
f ( xk )
Subtraindo  da expressão (1):
x k 1    x k   
Como:
f ( xk )
f ' ( xk )
e k 1  x k 1  
ek  x k  
(2)
(3)
Substituindo as equações (3) na equação (2), tem-se:
f (x )
(4)
e k 1  e k  ' k
f (xk )
42
Desenvolvendo f (x ) em Série de Taylor, no ponto x  x k , chega-se:
f ( x)  f ( x k )  f ' ( x k )( x  x k ) 
Para x   , sendo  raiz:
f ' ' (c k )
( x  xk ) 2
2
para c k  [ x, x k ]
f ' ' (c k )
0  f ( )  f ( x k )  f ( x k )( x k   ) 
( x k   ) 2 para c k  [ x k ,  ]
2
'
Dividindo a expressão (6) por f ( x) , chega-se a:
f ( xk )
f ' ' (c k )
 ( xk  ) 
( x k   ) 2 (7)
'
'
f ( xk )
2 f ( xk )
Substituindo a expressão (3) e (4) na expressão (7), tem-se:
'
f '' (ck )
f (x )
(ek )2  ' k  (ek )  ek 1
2 f ' ( xk )
f ( xk )
(5)
(6)
(8)
Rearranjando a expressão (8), tem-se:
ek 1
f '' (ck )

2
ek
2 f ' ( xk )
(9)
Levando a expressão (9) ao limite para k   , chega-se:
lim
k 
ek 1 1
f '' (ck )

lim
ek2 2 k  f ' ( xk )
(10)
Considerando que a primeira derivada e a segunda derivada da função f(x) são
contínuas, pode-se levar os limites para os argumentos das funções:
lim
k 
''
c ) 1 f '' ( )
ek 1 1 f (lim
k  k


ek2 2 f ' (lim xk ) 2 f ' ( )
(11)
k 
Considerando para a convergência que f '' ( ) e
f ' ( ) sejam diferentes de
zero:
1 f '' ( )
 C , C  0 (12)
k  e 2
2 f ' ( )
k
Analisando a expressão (12), pode-se concluir que o Método de NewtonRaphson tem convergência quadrática.
lim
e k 1

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