circunferência "x y"

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930M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS
15.4
1-4 Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar
coordenadas polares ou retangulares e escreva hhR f (x, y) dA
como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R.
1.
2.
y
y
4
18. A região dentro do círculos r 1 cos u e fora do círculo
r 3 cos u
19-27 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do só-
lido dado.
––––––
19. Abaixo do cone z √ x2 y2 e acima do disco x y 4
y1x2
1
2
2
20. Abaixo do paraboloide z 18 2x 2y e acima do plano xy
2
2
21. Delimitado pelo hiperboloide x y z 1 e pelo plano
2
0
4
x
0
1
1
2
2
z2
x
22. Dentro da esfera x y z 16 e fora do cilindro
2
2
2
x2 y2 4
3.
4.
y
23. Uma esfera de raio a
y
6
1
24. Limitado pelo paraboloide z 1 2x 2y e pelo plano
2
z 7 no primeiro octante
––––––
2
2
2
25. Acima do cone z √x2 y2 e abaixo da esfera x y z 1
3
0
1
x
1
2
0
x
26. Limitada pelos paraboloides z 3x 3y e z 4 x y
2
2
2
2
27. Dentro do cilindro x y 4 e do elipsoide
2
2
4x 4y z 64
2
5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a
5.
h h r dr du
2p 7
p
6.
4
h h
p/2
4 cos u
0
0
que passa pelo centro de uma esfera de raio r2. Determine o
volume do sólido em formato de anel resultante.
(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do
anel. Observe que o volume depende somente de h e não de
r1 ou r2.
r dr du
8.
hhD xy dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 3
hhR (x y) dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y
e entre as circunferências x y 1 e x y 4
2
9.
2
2
2
hhR cos(x2 y2) dA, onde R é a região acima do eixo x e dentro
da circunferência x y 9
–––––––––
2
2
10. hhR √ 4 x2 y2 dA, onde R {(x, y) x y 4, x 0}
2
11.
2
2
x √ 4 y2 e o eixo y
12.
hhR yex dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo x2 y2 25
13.
14.
29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
29.
2
y
hhD ex–––––
dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
hhR arctg (y/x) dA, onde R {(x, y) 1 x2 y2 4, 0 y x}
hhD x dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida
entre os círculos x2 y2 4 e x2 y2 2x
15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
15. Um laço da rosácea r cos 3u
16. A região delimitada pela curva r 4 3 cos u
17. A região interior a ambos os círculos r cos u e r sen u
2
28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r1 é usada para fazer um furo
7-14 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
7.
2
31.
h h
hh
–––––
√9 x2
3
3
1
0
–––––
√2 y2
0
y
sen(x2 y2) dy dx 30.
(x y) dx dy
32.
hh
hh
a 0
––––––
0 √a2 y2
––––––
2 √2x x2
0
0
x2y dx dy
––––––
√ x2 y2 dy dx
33. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundi-
dade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce
linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na
extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
34. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular
de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de er
metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0 R 100, qual a quantidade total de água fornecida
por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada
no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água
por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do
círculo de raio R.
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INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M931
onde Sa é o quadrado com vértices (a, a). Use esse resultado para mostrar que
35. Utilize coordenadas polares para combinar a soma
h h
1
x
–
1/√ 2
–––––
√1 x2
xy dy dx h h xy dy dx h h
–
√2 x
1
–––––
√4 x2
2
–
√2
0
0
h
xy dy dx
∞
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla.
(c) Deduza que
hh e
(x2y2)
⺢
dA 2
lim
am∞
hh e
(x2y2)
h h
∞
∞
∞ ∞
e(x y ) dy dx
2
2
∞
∞
∞
(x2y2)
2
–
ex dx √p
(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e
estatística.)
seguintes integrais:
dA lim
am∞
⺢2
2
37. Utilize o resultado do Exercício 36, parte (c), para calcular as
2
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é
hh e
ey dy p
∞
e(x y ) dA p
2
∞
∞
h
dA
onde Da é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que
∞ ∞
h
–
(d) Fazendo a mudança de variável t √ 2 x, mostre que
∞
2
–––
ex /2dx √ 2p
Da
h h
h
∞
36. (a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano ⺢ )
2
I
ex dx
2
∞
hh e
(x2y2)
(a)
h
∞ 2 x2
0
xe
dx
(b)
h
∞
0
–
√x ex dx
dA
Sa
15.5
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS
Já vimos uma aplicação da integral dupla: o cálculo de volumes. Outra aplicação geométrica
importante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na Seção 16.6. Nesta
seção, vamos explorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, centro de massa e momento de inércia. Veremos que essas ideias físicas também são importantes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias.
DENSIDADE E MASSA
y
(x,y)
D
0
x
FIGURA 1
y
(xij* ,y*ij )
Na Seção 8.3, no Volume I, calculamos momentos e centro de massa de placas finas ou
lâminas de densidade constante, usando as integrais unidimensionais. Agora, com auxílio das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com densidade variável. Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade (em
unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por r(x, y), onde r
é uma função contínua em D. Isso significa que
Δm
r(x, y) lim ΔA
onde Δ m e Δ A são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (x, y) e tomamos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0 (veja a Figura 1).
Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D em
sub-retângulos Rij, todos do mesmo tamanho (como na Figura 2), e consideramos
r(x, y) como 0 fora de D. Se escolhermos um ponto (x*ij, y*ij) em Rij, então a massa da parte
da lâmina que ocupa Rij é aproximadamente r(x*ij, y*ij)Δ A, onde Δ A é a área de Rij. Se somarmos todas essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total:
Rij
k
0
x
l
m ∑ ∑ r(x*ij, y*ij)Δ A
i1 j1
FIGURA 2
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16.2
EXERCÍCIOS
1-16 Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
1.
2.
3.
4.
5.
hC y3 ds,MMC: x t3,My t,M0 t 2
hC xy ds,MMC: x t2,My 2t,M0 t 1
hC xy4 ds,MMC é a metade direita do círculo x2 y2 16.
hC x sen y ds,MMC é o segmento de reta que liga (0, 3) a (4, 6).
hC (x2y3 √ –x ) dy,
–
18. A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas, C1 e C2. As
integrais de linha de F sobre C1 e C2 são positivas, negativas ou
nulas? Explique.
y
C1
C2
C é o arco da curva y √ x de (1, 1) a (4, 2).
6.
x
hC sen x dx,
C é o arco da curva x y4 de (1, 1) a (1, 1).
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
hC xy dx (x y) dy,MMC consiste nos segmentos de reta de
(0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
hC x √ y– dx 2y √ x– dy,MMC consiste na metade superior da circunferência x2 y2 1 de (1, 0) a (1, 0) e no segmento de reta
de (1, 0) a (4, 3).
hC xy3 ds,MMC: x 4 sen t,My 4 cos t,Mz 3t,M0 t p/2
hC xyz2 ds,MMC é o segmento de reta de (1, 5, 0) a (1, 6, 4).
hC xeyz ds,MMC é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
hC (2x 9z) ds,MMC: x t,My t2,Mz t3,M0 t 1
hC x2 y√ –z dz,MMC: x t3,My t,Mz t2,M0 t 1
hC z dx x dy ydz,MMC: x t2,My t3,Mz t2,M0 t 1
hC (x yz) dx 2x dy xyz dz,MMC consiste nos segmentos
de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2).
16.
hC x2 dx y2 dy z2 dz,MMC consiste nos segmentos de reta de
(0, 0, 0) a (1, 2, 1) e de (1, 2, 1) a (3, 2, 0).
19-22 Calcule a integral de linha hC F dr, onde C é dada pela fun-
ção vetorial r(t).
19. F(x, y) xy i 3y j,Mr(t) 11t i t j,M0 t 1
2
y
3
3
20. F(x, y, z) (x y) i (y z) j z k,M
2
r(t) t2 i t3 j t2 k,M0 t 1
21. F(x, y, z) sen x i cos y j xz k, M
r(t) t3 i t2 j t k, M0 t 1
22. F(x, y, z) zi y j x k,Mr(t) t i sen t j cos t k,
0tp
23-26 Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de
linha correta até a quarta casa decimal.
23.
hC F dr, onde F(x, y) xy i sen y j e r(t) et i et j, 1 2
t2
24.
17. Seja F o campo vetorial mostrado na figura.
(a) Se C1 é o segmento de reta vertical de (3, 3) a (3, 3),
determine se hC1 F dr é positiva, negativa ou zero.
(b) Se C2 é o círculo de raio 3 e centro na origem percorrido no
sentido anti-horário, determine se hC2 F dr é positiva, negativa ou zero.
4
25.
hC F dr, onde F(x, y, z) y sen z i z sen x j x sen y k e
r(t) cos t i sen t j sen 5t k, 0 t p
hC x sen( y z) ds, onde C tem equações paramétricas x t2,
y t 3, z t4, 0 t 5
26.
hC
zexy ds, onde C tem equações paramétricas x t, y t 2,
z et , 0 t 1
SCA 27-28 Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se
a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em
seguida, calcule a integral.
2
27. F(x, y) (x y) i xy j , C é o arco de círculo x y 4 per2
1
3 2 1 0
1
2
3
1
2
3x
2
corrido no sentido anti-horário de (2, 0) a (0, 2) .
y
x
28. F(x, y) –––––– i –––––– j,
√ x2 y2
√ x2 y2
C é a parábola y 1 x2 de (1, 2) a (1, 2).
29. (a) Calcule a integral de linha hC F dr, onde
F(x, y) ex1 i xy j e C é dada por r(t) t2 i t3 j,
0 t 1.
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;
(b) Ilustre a parte (a) utilizando uma calculadora gráfica ou um
computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial
–
correspondentes a t 0, 1/√ 2 e 1 (como na Figura 13).
30. (a) Calcule a integral de linha hC F dr, onde
;
F(x, y, z) x i zj y k e C é dado por
r(t) 2t i 3t j t2 k, 1 t 1.
(b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C
e os vetores do campo vetorial correspondentes a t 1 e
–12 (como na Figura 13).
SCA 31. Encontre o valor exato de
hC x3y2z ds, onde C é a curva com equa-
ções paramétricas x et cos 4 t, y et sen 4 t, z et ,
0 t 2p.
32. (a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
SCA
F(x, y) x2 i xy j sobre uma partícula que dá uma volta no
círculo x2 y2 4 no sentido anti-horário.
(b) Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar o
campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura
para explicar sua resposta para a parte (a).
33. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
x2 y2 4, x 0. Se a densidade linear for uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.
34. Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro qua-
drante da circunferência com centro na origem e raio a. Se a função densidade for r(x, y) kxy, encontre a massa e o centro de
massa do arame.
35. (a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de
massa (x–, y–, –z ) de um arame fino com função densidade
r(x, y, z) e forma da curva espacial C.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da
hélice x 2 sen t, y 2 cos t, z 3t, 0 t 2p, se a densidade for uma constante k.
36. Determine a massa e o centro de massa de um arame com for-
mato da hélice x t, y cos t, z sen t, 0 t 2p, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância
do ponto à origem.
37. Se um arame com densidade linear r(x, y) está sobre uma curva
plana C, seus momentos de inércia em relação aos eixos x e y
são definidos por
Ix hC y2r(x, y) dsMMMMIy hC x2r(x, y) ds
39. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) x i (y 2) j sobre um objeto que se move sobre um
arco da cicloide r(t) (t sen t) i (1 cos t) j, 0 t 2p.
40. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) x sen y i y j em uma partícula que se move sobre a
parábola y x 2 de (1, 1) a (2, 4).
41. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) ky z, x z, x yl sobre uma partícula que se
move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2).
42. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre
uma partícula carregada em um ponto (x, y, z) com vetor posição r kx, y, zl é F(r) Kr/r3, onde K é uma constante (veja
o Exemplo 5 da Seção 16.1). Determine o trabalho realizado
quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, 0, 0)
a (2, 1, 5).
43. Um homem pesando 160 lb carrega uma lata de tinta de 25 lb por
uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de 20 pés. Se
o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em
torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a
gravidade para subir ao topo?
44. Suponha que exista um furo na lata de tinta do Exercício 43 e
9 lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante
a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?
45. (a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho
nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa
uniformemente na circunferência x2 y2 1.
(b) Isso também é verdadeiro para um campo de força
F(x) kx, onde k é uma constante e x kx, yl?
46. A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por
x 10 cos t, y 10 sen t. A altura da cerca na posição (x, y) é
dada pela função h(x, y) 4 0,01(x2 y2), portanto a altura
varia de 3 m a 5 m. Suponha que 1 L de tinta permita pintar
100 m2. Faça um esboço da cerca e determine quanto de tinta
você precisará para pintar os dois lados da cerca.
47. Um objeto se move sobre a curva C, mostrada na figura, de
(1, 2) a (9, 8). Os comprimentos dos vetores do campo de força
F são medidos em newtons pela escala nos eixos. Estime o trabalho realizado por F sobre o objeto.
y
(metros)
Determine os momentos de inércia do arame do Exemplo 3.
C
38. Se um arame com densidade linear r(x, y, z) está sobre uma
curva espacial C, seus momentos de inércia em relação aos
eixos x, y e z são definidos por
Ix hC (y2 z2)r(x, y, z) ds
Iy hC (x2 z2)r(x, y, z) ds
Iz hC (x2 y2)r(x, y, z) ds
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 35.
C
1
0
1
x
(metros)
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nida como P(x, y, z) f (x, y, z), e temos F P. Então, pelo Teorema 2, temos
W
h
C
h
F dr C
P dr [P(r(b)) P(r(a))] P(A) P(B)
Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que
P(A) K(A) P(B) K(B)
que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um
campo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética permanece constante. Essa é a chamada Lei de Conservação de Energia e é a razão
pela qual o campo vetorial é denominado conservativo.
16.3
1.
EXERCÍCIOS
A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma
função f cujo gradiente é contínuo. Determine hC f dr.
y
40
C
50
60
11. A figura mostra o campo vetorial F(x, y) k2xy, x l e três cur2
vas que começam em (1, 2) e terminam em (3, 2).
(a) Explique por que h C F dr tem o mesmo valor para as
três curvas.
(b) Qual é esse valor comum?
y
30
3
20
10
2
0
2.
x
1
É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine hC f dr, onde C tem equações paramétricas
x t2 1,MMMy t3 t,MMM0 t 1.
y
0
1
2
0
1
6
4
1
3
5
7
2
8
2
9
x
0
1
3.
F(x, y) (2x 3y) i (3x 4y 8) j
4.
F(x, y) ex cos y i ex sen y j
5.
F(x, y) ex sen y i e cos y j
6.
F(x, y) (3x 2y ) i (4 xy 3) j
7.
F(x, y) (yex sen y) i (ex x cos y) j
8.
F(x, y) (xy cos xy sen xy) i (x cos xy) j
9.
F(x, y) (ln y 2xy ) i (3x y x/y) j
2
x
3
12-18 (a) Determine uma função f tal que F f e (b) use a parte
(a) para calcular hC F dr sobre a curva C dada.
12. F(x, y) x i y j, C é o arco da parábola y 2x de (1, 2)
2
2
2
a (2, 8)
13. F(x, y) xy i x y j,
2
3-10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se
for, determine uma função f tal que F f .
2
2
C: r(t) kt sen –12 pt, t cos –12 ptl, 0 t 1
y2
14. F(x, y) i 2y arctg x j,
1 x2
2
C: r(t) t i 2t j, 0 t 1
15. F(x, y, z) yz i xz j (xy 2z) k, C é o segmento de reta de
(1, 0, 2) a (4, 6, 3)
2
16. F(x, y, z) (2xz y ) i 2 xy j (x 3z ) k,
2
2
2
C: x t2, y t 1, z 2t 1, 0 t 1
2
3
2 2
10. F(x, y) (xy cosh xy senh xy) i (x cosh xy) j
2
17. F(x, y, z) y cos z i 2 xy cos z j xy sen z k,
2
2
C: r(t) t2 i sen t j t k, 0 t p
18. F(x, y, z) e i xe j (z 1)e k,
y
y
z
C: r(t) t i t2 j t3 k, 0 t 1
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19-20 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e
29-32 Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo
calcule a integral.
e (c) simplesmente conexo.
19.
hC 2x sen y dx (x
20.
hC (2y
29. {(x, y)x 0, y 0}
cos y 3y ) dy,
C é qualquer caminho de (1, 0) a (5, 1)
2
2
31. {(x, y)1 x y 4}
2
12x y ) dx (4xy 9x y ) dy,
C é qualquer caminho de (1, 1) a (3, 2)
2
3 3
4 2
2
y
22. F(x, y) e
–
i 3x√ y j;MMP(1, 1), Q(2, 4)
i xey j;MMP(1, 1), Q(2, 0)
23-24 A partir do gráfico de F você diria que o campo é conserva-
tivo? Explique.
23.
24.
y
2
33. Seja F(x, y) mover um objeto de P a Q.
3/2
2
32. {(x, y)x y 1 ou 4 x y 9}
21-22 Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao
21. F(x, y) 2y
30. {(x, y)x 0}
2
2
y i x j
.
x2 y2
(a) Mostre que ∂P/∂y ∂Q/∂x.
(b) Mostre que hC F dr não é independente do caminho. [Sugestão: calcule hC1 F dr e hC2 F dr, onde C1 e C2 são as metades superior e inferior do círculo x2 y2 1 de (1, 0) a
(1, 0).] Isso contraria o Teorema 6?
34. (a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado,
y
ou seja,
F(r) x
x
SCA 25. Se F(x, y) sen y i (1 x cos y) j, use um gráfico para con-
jecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura
estava correta.
26. Seja F f, onde f (x, y) sen(x 2y). Determine curvas C1
e C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
(a) hC1 F dr 0
(b) hC2 F dr 1
27. Mostre que, se um campo vetorial F P i Q j R k é con-
servativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem
contínuas, então
∂P ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂R
∂y
∂x MMM ∂z
∂x MMM ∂z
∂y
28. Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha
hC y dx x dy xyz dz não é independente do caminho.
cr
r3
para alguma constante c, onde r x i y j zk. Determine
o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto
P1 por um caminho para um ponto P2 em termos da distância
d1e d2 desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo
gravitacional F (mMG)r/r3 discutido no Exemplo 4
da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do
afélio (em uma distância máxima de 1,52 108 km do Sol )
ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 108 km).
(Use os valores m 5,97 1024 kg, M 1,99 1030 kg e
G 6,67 10 11 Nm2/kg2.)
(c) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo
elétrico F eqQr/r3 discutido no Exemplo 5 da Seção
16.1. Suponha que um elétron com carga de 1,6 1019 C
esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é
colocada à distância de 1012 m do elétron e se move para
uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo
campo elétrico. (Use o valor e 8,985 109.)
TEOREMA DE GREEN
16.4
y
D
C
0
FIGURA 1
x
O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva
fechada simples C e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C (veja a Figura 1. Vamos supor que D consista em todos os pontos dentro de C, bem como nos pontos
sobre C). Para enunciar o Teorema de Green, usaremos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário uma
única vez. Assim, se C for dada como uma função vetorial r(t), a t b, então a região D
está sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C (veja a Figura 2).
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1006M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS
16.4
1-4 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e
2.
∮C xy dx x2 dy, C é o retângulo com vértices (0,0), (3, 0),
(3, 1) e (0, 1)
3.
∮C xy dx x2y3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e
(1, 2)
4.
∮C x dx y dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0)
e de (0, 0) a (1, 0) e na parábola y 1 x2 de (1, 0) a (0, 1)
5-10 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao
longo da curva dada com orientação positiva.
5.
hC e
6.
hC x y
7.
dx 2xe dy, C é o quadrado de lados x 0, x 1,
y0ey1
y
dx 4 xy dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 3),
e (0, 3)
2 2
3
hC (y e√ x ) dx (2x cos y2 ) dy, C é a fronteira da região en–
globada pelas parábolas y x2 e x y2
8.
hC xe2x dx (x4 2x2 y2) dy, C é a fronteira da região entre os
círculos x2 y2 1 e x2 y2 4
9.
10.
hC y3 dx x3 dy, C é o círculo x2 y2 4
hC sen y dx x cos y dy, C é a elipse x
2
xy y 1
2
11-14 Use o teorema de Green para calcular hC F dr . (Verifique a
orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
–
–
3
2
11. F(x, y) k√ x y , x √ y l,
C consiste no arco da curva y sen x de (0, 0) a (p, 0) e no segmento de reta (p, 0) a (0, 0)
12. F(x, y) ky cos x, x 2y sen xl,
2
2
C é o triângulo de (0, 0) a (2, 6) a (2, 0) a (0, 0)
13. F(x, y) ke x y, e xy l,
x
2
y
2
C é a circunferência x2 y2 25, orientada no sentido horário
14. F(x, y) ky ln(x y ), 2 tg
2
2
1
(y/x)l,
2
C é a circunferência (x 2) (y 3)2 1, orientada no sentido anti-horário
SCA 15-16 Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de com-
putação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
15. P(x, y) y e ,MMQ(x, y) x e ,
2 x
3 8
C é a elipse 4x y 4
∮C (x y)dx (x y)dy, C é o círculo com centro na origem e
raio 2
y
3 5
2
(b) utilizando o Teorema de Green.
1.
16. P(x, y) 2x x y ,MMQ(x, y) x y ,
2 y
C consiste no segmento de reta de (1, 1) a (1, 1) seguido pelo
arco da parábola y 2 x2 de (1,1) a (1, 1)
2
17. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela
força F(x, y) x(x y) i xy2j ao mover uma partícula da
origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um
segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo
do eixo y.
18. Uma partícula inicialmente no ponto (2, 0) se move ao longo
do eixo x até (2, 0) e então ao longo da semicircunferência
–––––
y √ 4 x2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para
determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de
força F(x, y) kx, x3 3xy2l.
19. Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da
cicloide x t sen t, y 1 cos t.
; 20. Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior
da circunferência x2 y2 16, um ponto fixo P de C descreve
uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas
x 5 cos t cos 5t, y 5 sen t sen 5t. Faça o gráfico da epicicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.
21. (a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto
(x2, y2), mostre que
hC x dy y dx x1y2 x2y1
(b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), mostre que a área do polígono é
A –12 [(x1y2 x2y1) (x2y3 x3y2) . . .
(xn1yn xnyn1) (xny1 x1yn)]
(c) Determine a área do pentágono com vértices (0, 0), (2, 1),
(1, 3), (0, 2) e (1, 1).
22. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no
plano xy. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as
coordenadas do centroide (x–, –y ) de D são
1
1
x– ∮C x2 dyMMMMy– ∮C y2 dx
2A
2A
onde A é a área de D.
23. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de
uma região circular de raio a.
24. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região trian-
gular de vértices (0, 0), (a, 0) e (a, b), onde a 0 e b 0.
25. Uma lâmina plana com densidade constante r(x, y) r ocupa
uma região do plano xy limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos
eixos são
r
r
Ix ∮C y3 dxMMMMIy ∮C x3 dy
3
3
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CÁLCULO VETORIALM||||M1007
26. Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um cír-
29. Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mu-
culo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro
(compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5).
dança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para
o caso onde f (x, y) 1:
∂(x, y)
dx dy du dv
∂(u, v)
R
S
para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e
nem a circunde.
hh
Aqui, R é a região do plano xy que corresponde à região S do
plano uv sob a transformação dada por x t(u, v), y h(u, v).
[Sugestão: observe que o lado esquerdo é A(R) e aplique a
primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre
∂R para uma integral sobre ∂S e aplique o Teorema de Green no
plano uv.]
28. Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando
a Equação 3.
16.5
hh
27. Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que hC F dr 0
ROTACIONAL E DIVERGENTE
Nesta seção, definiremos duas operações que podem ser realizadas com campos vetoriais
e que são essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos e em eletricidade e magnetismo. Cada operação lembra uma derivação, mas uma produz um campo
vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
ROTACIONAL
3
Se F P i Q j R k é um campo vetorial em ⺢ e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em ⺢3 definido por
1
rot F ( ∂R
∂y
∂Q
∂z
) ( ∂P
i
∂R
∂z
∂x
) ( ∂Q
j
∂x
∂P
∂y
)
k
Para auxiliar na memorização, vamos reescrever a Equação 1 usando notação de operadores. Introduziremos o operador diferencial vetorial (“del”) como
∂
i
j
∂x
∂
k
∂y
∂
∂z
Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de f :
f i
∂f
j
∂x
∂f
∂f
k
∂y
∂z
∂f
i
∂x
∂f
j
∂y
∂f
k
∂z
Se pensarmos em como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos também
considerar o produto vetorial formal de pelo campo vetorial F, como segue:
F
i
∂
j
∂
k
∂
∂x
P
∂y
Q
∂z
R
( ∂R
∂y
rot F
∂Q
∂z
) ( i
∂P
∂z
∂R
∂x
) ( j
∂Q
∂x
∂P
∂y
)
k
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Page 1013
CÁLCULO VETORIALM||||M1013
EXERCÍCIOS
16.5
1-8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for
conservativo, determine uma função f tal que F f.
1.
F(x, y, z) xyz i x y k
2.
F(x, y, z) x2 yz i xy2z j xyz2 k
3.
F(x, y, z) ex sen y i ex cos y j zk
4.
F(x, y, z) xey j yez k
5.
F(x, y, z) 6.
F(x, y, z) e sen z j y tg (x/z) k
7.
F(x, y, z) kln x, ln(xy), ln(xyz)l
8.
F(x, y, z) kex, exy, exyzl
2
13. F(x, y, z) y z i 2xyz j 3xy z k
2 3
3
2 2
14. F(x, y, z) xyz i x yz j x y z k
2
2
2
2 2
15. F(x, y, z) 2xy i (x 2yz) j y k
2
16. F(x, y, z) e i j xe k
z
1
––––––––– (x i y j zk)
√ x2 y2 z2
x
x
18. F(x, y, z) y cos xy i x cos xy j sen zk
19. Existe um campo vetorial G em ⺢ tal que
3
rot G kx sen y, cos y, z xyl? Explique.
9-11 O campo vetorial F é mostrado no plano xy e é o mesmo em
todos os planos horizontais (em outras palavras, F é independente de
z e sua componente z é 0).
(a) O div F será positivo, negativo ou nulo? Explique.
(b) Determine se o rot F 0. Se não, em que direção rot F aponta?
9.
z
17. F(x, y, z) ye i e j 2z k
1
xy
2
10.
y
20. Existe um campo vetorial G em ⺢ tal que
3
rot G kxyz, y z, yz l? Explique.
2
2
21. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) f (x) i t(y) j h(z) k
onde f, t e h são diferenciáveis, é irrotacional.
y
22. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) f (y, z) i t(x, z) j h(x, y) k
é incompressível.
23-29 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais
0
11.
x
0
x
y
apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F, G
forem campos vetoriais, então f F, F G e F G serão definidos por
( f F)(x, y, z) f (x, y, z) F(x, y, z)
(F G)(x, y, z) F(x, y, z) G(x, y, z)
(F G)(x, y, z) F(x, y, z) G(x, y, z)
23. div(F G) div F div G
0
x
12. Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada ex-
pressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê.
Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) rot f
(b) grad f
(c) div F
(d) rot(grad f )
(e) grad F
(f) grad(div F)
(g) div(grad f )
(h) grad(div f)
(i) rot(rot F)
(j) div(div F)
(k) (grad f ) (div F)
(l) div(rot(grad f ))
24. rot(F G) rot F rot G
25. div ( f F) f div F F f
26. rot ( f F) f rot F (
f ) F
27. div(F G) G rot F F rot G
28. div(
f t) 0
29. rot (rot F) grad(div F) F
2
30-32 Seja r x i y j z k e r r.
30. Verifique as identidades.
(a) r 3
2 3
(c) r 12r
(b) (rr) 4r
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1014M||||MCÁLCULO
31. Verifique as identidades.
(a) r r/r
3
(c) (1/r) r/r
z
(b) r 0
(d) ln r r/r2
w
32. Se F r/r , ache div F. Existe um valor de p para o qual
p
div F 0?
33. Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para de-
d
B
P
monstrar a primeira identidade de Green:
hh f t dA ∮
2
C
f (
t) n ds D
hh f tdA
u
D
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.
(A quantidade t n Dnt aparece na integral de linha. Essa é
a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada
derivada normal de t.)
34. Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para de-
monstrar a segunda identidade de Green:
hh ( f t t
f ) dA ∮
2
2
C
( f t t
f ) n ds
0
y
x
38. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o
campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma
região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E 0
D
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.
35. Lembre-se, da Seção 14.3, que uma função t é dita harmônica
em D quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, 2t 0 em
D. Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no Exercício 33) para mostrar que se t for harmônica
em D, então ∮C Dn t ds 0. Aqui, Dn t é a derivada normal de t
definida no Exercício 33.
36. Use a primeira identidade de Grenn para mostrar que se f for
1 ∂H
rot E c ∂t
div H 0
1 ∂E
rot H c ∂t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
(a) (
E) 1 ∂ 2E
c2 ∂t2
1 ∂2H
(b) (
H) 2 2
c ∂t
harmônica em D, e se f (x, y) 0 na curva fronteira C, então
hhD f 2 dA 0. (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses que no Exercício 33.)
(c) 2E c2 ∂t2
37. Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações.
(d) H c2 ∂t2
Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo z. A rotação
pode ser descrita pelo vetor w k, onde é a velocidade angular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P
em B dividido pela distância d do eixo de rotação. Seja
r kx, y, zl o vetor posição de P.
(a) Considerando o ângulo u da figura, mostre que o campo de
velocidade de B é dado por v w r.
(b) Mostre que v y i x j.
(c) Mostre que rot v 2w.
v
2
1 ∂ 2E
[Sugestão: Use o Exercício 29.]
1 ∂2H
39. Vimos que todos os campos vetoriais da forma F t satisfa-
zem a equação rot F 0 e que todos os campos vetoriais da forma
F rot G satisfazem a equação div F 0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma
f div G devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa pergunta é “não”, demonstrando que toda função contínua f em ⺢3 é
o divergente de algum campo de vetores. [Sugestão: Tome
G(x, y, z) kt(x, y, z), 0, 0l, onde t(x, y, z) h0x f (t, y, z) dt.]
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A86M||||MCÁLCULO
23.
EXERCÍCIOS 15.4
z
4
1.
h h
3p/2
4
0
0
PÁGINA 930
5.
(x1)/2
0
f (x, y) dy dx
x
R
y
1
1
1
7
0
1
h h
33p/2
y
4
0
3.
f (r cos u)r dr du
x
166
27. ––
27
25. 47,5
64
29. 2
31. –3
33. 21e 57
2
z
11. (p/2)(1 e )
3 2
–
13. 64
p
15. p/12
17. –8 (p 2)
16
19. –
p
3
21. –3 p
4
3
23. –3 pa
25. (2p/3)[1 (1/√ 2)]
0
1
–
–
29. – p (1 cos 9)
1
2
3
y
1 1
5
6
EXERCÍCIOS 15.5
35. –
37. O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma
9
20
PÁGINA 924
5. e 1
–3
3. 10
–
256
7. ––
21
13. – (1 cos 1) 15. ––
1
2
147
20
33.
1 16
17
11. –2 e –2
9. p
6
35
17. 0
–
–
37. (a)√p/4MMM(b)√p/2
PÁGINA 939
1.
64
3
7.
–14 (e2 1),
9.
L/4, (L/2, 16/(9p))
descontinuidade infinita na origem.
EXERCÍCIOS 15.3
31. 2√ 2/3
15
–
35. 16
33. 37,5pm
0
x
4
–
27. (8p/3)(64 24√ 3)
0
0
1.
4
1
9. –2 p sen 9
7.
4
4
3. –3 , ( –3 , 0)
–C
e2 1 4(e3 1)
, 2(e2 1) 9(e2 1)
(
11.
3
3
5. 6, ( –4 , –2 )
)
( –38 , 3p/16)
13. (0, 45/(14p))
15. (2a/5, 2a/5) se o vértice for (0, 0) e os lados estiverem nos eixos
31
8
19. – 21. –
positivos
z
–1 (e4 1), –18 (e2 1), 16–1 (e4 2e2 3)
17. 16
(0,0,1)
6
6
6
19. 7ka /180, 7ka /180, 7ka /90 se o vértice for (0, 0) e os lados es-
tiverem nos eixos positivos
1 16
2p
– –
2
, Ix 3p2/64
p 9p
3
21. m p /8 (x , y ) 0
(0,1,0)
y
(1,0,0)
39.
hh
2
4
0
y2
41.
f (x, y) dx dy
37. p/2
h h
3
3
–––––
√ 9x2
0
4
1
–5 0,1042
27. (a) –2 MM(b) 0,375 MM(c) 48
y
–
y√x
2
0,2
0,8187
(ii) 1 e1,8 e0,8 e1 0,3481MM(c) 2, 5
29. (b) (i) e
3
x2y29
31. (a) 0,500
x=4
0
43.
h h
y0
ln 2
2
0
ey
4
x
3
0
y0
3
x2 f (x, y) dx dy
y
y ln x ou x ey
x2
1.
y0
0
1/16
53. (p/16)e
59. 8p
1
47. –3 ln 9
hhQ e
61. 2p/3
(x2y2)2
1
–
1
49. –3(2√ 2 1)
dA p/16
x
(b) 0,632
–––––––––––––––––
33. (a) hhD (k/20)[20 √ (x x0)2 (y y0)2 ] dA, onde D é o disco
de raio 10 km centrado no centro da cidade
(b) 200pk/3 209k, 200(p/2 –89 )k 136k, na periferia
EXERCÍCIOS 15.6
ln 2
1 9
45. –6 (e 1)
4
25. ra /16, ra /16; a/2, a/2
f (x, y) dy dx
y
)
1
4
2
4
2
Iy 16– (p 3p ), I0 p /16 9p /64
–
–
3
3
23. rbh /3, rb h/3; b/√ 3 h/√ 3
x
35. 13,984,735,616/14,549,535
(
27
–
4
3. 1
1
2
x
–
13. 8/(3e) 15. 60
h hh
1
x
0
0
51. 1
23. (a)
3
55. –4
25. 60,533
––––
√1y2
0
PÁGINA 948
1
3
5. –3 (e 1)
7. –3
9. 4
17. 16p/3
16
19. –3
8
–
21. 15
1
dz dy dxMMM(b) –14 p –13
65
–
11. 28
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A89
APÊNDICESM||||MA89
7.
9.
z
EXERCÍCIOS 16.2
z
1.
11.
x
y
x
y
17.
19.
27.
11. II
13. I
19.
15. IV
PÁGINA 990
243
17
– (1453/2 1)
3. 1638,4
5. –
7. –3
9. 320
8
––
1
6
1
97
–
–
–
√14 (e 1)
13. 5
15. 3
12
(a) Positivo
(b) Negativo
6
45
21. –5 cos 1 sen 1
23. 1,9633
25. 15,0074
2
3p –3
2,5
1
54
17. III
A reta y 2x
4,5
2,5
4,5
2
0,5
4,5
2,5
29. (a) – 1/e
11
8
(b)
1,6
F (r (1))
4,5
1
x 2y
( (√21– )
F r
2
x 2y
21. f (x, y) i j
x
y
23. f (x, y) –––––––––– i –––––––––– j
√ x2 y2 z2
√ x2 y2 z2
z
–––––––––– k
√ x2 y2 z2
25. f (x, y) 2x i j
y
2
4
2
0
4
6
x
6
6
43. 1,67 10 pés-lb
4
39. 2p
41. 26
45. (b) Sim
47. 22 J
EXERCÍCIOS 16.3
6
1,6
0,2
2
27.
1
–
172,704
√ 2(1 e14p)
31. –––––
33. 2pk, (4/p, 0)
5,632,705
–
35. (a) x (1/m) hC xr(x, y, z) ds,
–y (1/m)
hC yr(x, y, z) ds,
–z (1/m)
hC zr(x, y, z) ds, onde m hC r(x, y, z) ds
(b) (0, 0, 3p)
1
4
1
2
37. Ix k ( –2 –3 ), Iy k ( –2 –3 )
2
6
F(r(0))
0
PÁGINA 999
3. f (x, y) x 3xy 2y 8y K
2
2
1.
40
5.
f (x, y) ex sen y K
9.
f (x, y) x ln y x2y3 K
7. f (x, y) ye x sen y K
x
1
2 2
13. (a) f (x, y) –2 x y MMM(b) 2
11. (b) 16
15. (a) f (x, y, z) xyz z MMM(b) 77
2
17. (a) f (x, y, z) xy cos zMMM(b) 0
2
6
31. II
29. III
35. (a)
33. (2,04, 1,03)
(b) y 1/x, x 0
y
19. 25 sen 1 1
21. 30
23. Não
25. Conservativo
29. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Sim
31. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Não
EXERCÍCIOS 16.4
0
PÁGINA 1006
x
1.
8p
625
p
13. ––
2
2
3
3. –
5. e 1
1
15. 8e 48e
9. 24p
1
7. –3
17. –
19. 3p
12
1
4
11. –3 2p
9
21. (c) –2
23. (4a/3p, 4a/3p) se a região for a parte do disco x y a no
2
y C/x
primeiro quadrante
2
2
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04.08.09
10:07
Page A90
A90M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS 16.5
x
29. x x, y e
PÁGINA 1013
(a) x2 i 3xy j xz kMM(b) yz
3. (a) 0MM(b) 1
––––––––––
5. (a) 0MM(b) 2/√ x2 y2 z2
7. (a) k1/y, 1/x, 1/xl (b) 1/x 1/y 1/z
9. (a) NegativoMMM(b) rot F 0
11. (a) ZeroMMM(b) rot F aponta na direção de z negativo
2 3
2
2
13. f (x, y, z) xy z K
15. f (x, y, z) x y y z K
17. Não conservativo
19. Não
cos u,
z ex sen u, 0 x 3
0 u 2p
1.
EXERCÍCIOS 16.6
1.
3.
5.
1
z 0
1
1
y
33. 3x y 3z 3
35. x 2z 1
–4 (35/2 27/2 1)
39. 15
––
7.
x
2
––
37. 3√14
–
41. (2p/3)(2 √ 2 1)
–
––
P: não; Q: sim
Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores k1, 0, 4l, k1, 1, 5l
Cilindro circular com eixo no eixo x
1 0
31. (a) Inverte o sentidoMMM(b) O número de voltas dobra
43. (p/6)(17 √ 17 5√ 5)
PÁGINA 1023
0
––
––
1
17
45. –2 √ 21 –4 [ln(2 √ 21) ln √ 17]
47. 4
49. 13.9783
51. (a) 24.2055
(b) 24.2476
–– 15
–
––
–
––
– ln[(11√ 5 3√ 70)/(3√ 5 √ 70)]
53. – √14 16
45
8
v constante
55. (b)
2
2
z 0
1
2
0
u constante
1,5
y 1
z 0
x
2
2
2
9.
u constante
2
y
(c) h0
1
2p
h
p
0
0
2
1
1 0x
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
√36 sen4u cos2v 9 sen4u sen2v 4 cos2u sen2u du dv
59. 2a (p 2)
2
57. 4p
v constante
z 0
EXERCÍCIOS 16.7
1
0
0
y
1 1
49,09
3. 900p
–
9. 5√ 5/48 1/240
––
13. (p/60)(391√17 1)
x
11.
713
180
29. 2p –
35.
z 0
1
1
y
1
0
0
11
x
–
11. 364√ 2/3p
15. 16p
17. 12
21. –
23. 108p
25. 0
31. 0,1642
33. 3,4895
27. 48
F dS hhD[P(h/x) Q R(h/z)]dA, onde
15. II
39. (a) Iz hh
S
–
(x2 y2)r(x, y, z) dSMMM(b) 4.329√ 2/5
41. 0 kg/s
u constante
17. III
19. x 1 u v, y 2 u v, z 3 u v
––––––––––
21. x x, z z, y √ 1 x2 z2
23. x 2 sen f cos u, y 2 sen f sen u,
z 2 cos f, 0 f p/4, 0 f 2p
–––––––––
[ou x x, y y, z √ 4 x2 y2, x2 y2 2]
x
S
7. √ 3/24
D projeção de S no plano xz
37. (0, 0, a/2)
v constante
25. x x, y e
hh
8
3
–
5. 171√ 14
1
6
19. ––
1
13. IV
––
1.
1
1
PÁGINA 1034
cos u, z 4 sen u, 0 x 5, 0 u 2p
EXERCÍCIOS 16.8
3.
0
11. (a) 81p/2
8
3
43. –3 pa e0
45. 1.248p
PÁGINA 1039
5. 0
7. 1
9. 80p
(b)
5
z 0
5
2
0
y
2
2
0
2
x