matA12 probabilidades, modelo normal 1. Considere a função densidade de probabilidade f, definida por: 0, 4 x f x 0, 4 0 se se se 0 x 1 1 x 3 x0 x3 Determine: 1.1. p X 2 1.2. p X 3 2. Considere a função densidade de probabilidade g, definida por: 0, 2 x 0,6 se g x 0, 2 se 0 se 2.1. Represente graficamente a função g. 2.2. Determine: 3. 2.2.1. p X 1 2.2.2. p 1 X 3 0 x2 2 x3 x0 x3 Na figura seguinte estão representados dos gráficos das distribuições normais N1 e N2. Os gráficos são simétricos em relação à reta r. Indique o valor lógico das seguintes afirmações. 3.1. As distribuições N1 e N2 têm valores médios diferentes. 3.2. O desvio padrão da distribuição N1 é maior do que o desvio padrão da distribuição N2. 4. Na representação gráfica ao lado encontram-se curvas associadas a distribuições de probabilidades normais. Associe cada uma das curvas C1, C2, C3 e C4 às distribuições normais N 0,1 , N 3,1 , N 6,6 , N 6, 2 . www.matematicaonline.pt [email protected] 1/4 matA12 probabilidades, modelo normal 5. O Carlos, na deslocação para o local de trabalho, atravessa diariamente a cidade. O tempo gasto na travessia da cidade segue uma distribuição normal, em que o valor médio é de 20 minutos e o desvio padrão é 4 minutos. Determine a probabilidade de, em certo dia, o tempo de travessia da cidade ser: 5.1. Inferior a 20 minutos. 5.2. Superior a 24 minutos. 5.3. Superior a 12 minutos e inferior a 24 minutos. 6. Sempre que o motor de uma máquina está ligado mais de três horas consecutivas, ao fim desse tempo, é registada a temperatura do mesmo, em graus centígrados. Seja X a variável aleatória “temperatura do motor ao fim de três horas de trabalho”. Sabe-se que X segue uma distribuição normal N 52;3 . Vai ser feito o registo da temperatura do motor, Determine: 6.1. p X 50 6.2. p X 51,5 6.3. p 48 X 50 7. Vários testes permitiram concluir que, em determinadas condições, a distância necessária para que um automóvel fique imobilizado segue uma distribuição normal N 40;5 . A média e o desvio padrão são dados em metros. Uma nova série de oitenta testes vai ser feita, nas mesmas condições, com oitenta automóveis. Quantos destes automóveis se prevê que fiquem imobilizados numa distância compreendida entre: 7.1. 35 m e 45 m? 7.2. 38 m e 40 m? 8. 8.1. As classificações obtidas por alunos do 12º ano de uma escola, num teste intermédio de matemática, seguem uma distribuição aproximadamente normal. Dos alunos que efetuaram esse teste, sabe-se que 68,3%, aproximadamente, obteve uma classificação entre 10 e 13, e que aproximadamente 3 alunos obtiveram uma classificação superior a 14,5. O valor médio e o desvio padrão são, respetivamente: (A) 8.2. 11,5 e 0,5 (B) 11,5 e 1,5 (C) 12,5 e 0,5 (D) 12,5 e 1,5 (C) 130 (D) 140 O número de alunos que realizaram o teste é: (A) 118 www.matematicaonline.pt [email protected] (B) 124 2/4 matA12 probabilidades, modelo normal 9. A tabela ao lado representa a distribuição do número de bicicletas vendidas, por dia, num determinado mês, num hipermercado. Número de bicicletas vendidas Número de dias 0 1 2 3 4 12 8 5 3 1 Determine a percentagem do número de bicicletas vendidas pertencente ao intervalo x , x , sendo x a média e o desvio padrão. 10. Num dado, não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 8 a probabilidade de “sair 2” é 0,3, tendo as restantes faces igual probabilidade de ocorrer. 10.1. Mostre que, efetuando apenas um lançamento deste dado, a probabilidade de “sair 8” é 0,1. 10.2. Lança-se este dado três vezes. Seja X a variável aleatória “número de vezes que sai par”. 10.2.1. Elabore uma tabela de distribuição de probabilidade da variável X. 10.2.2. Determine p X Nota: designa o valor médio e o desvio padrão. 11. A altura dos alunos de uma escola secundária segue uma distribuição normal com média igual a 1,65 metros e desvio padrão 0,05 metros. 11.1. Numa amostra de 5000 alunos, quantos alunos se espera que tenham uma altura inferior a 1,55 metros? 11.2. Sabendo que 982 alunos, aproximadamente, têm uma altura entre 1,6 e 1,75, estime o número total de alunos da escola. 12. O peso dos trabalhadores de uma grande empresa de telecomunicações segue uma distribuição aproximadamente normal. Numa amostra de 1000 trabalhadores da empresa, verifica-se que cerca de 23 pesam mais de 85 kg e que aproximadamente 159 colaboradores têm um peso inferior a 70 kg. 12.1. Mostre que o valor médio e o desvio padrão da distribuição do peso dos trabalhadores são de, aproximadamente, 75 kg e 5 kg, respetivamente. 12.2. Qual é a probabilidade de os colaboradores desta empresa de telecomunicações terem um peso inferior a 80 kg? Apresente o resultado arredondado às centésimas. 12.3. Recorrendo à calculadora, determine quantos aproximadamente, têm um peso entre 63 kg e 78 kg. trabalhadores da amostra, 12.4. Sabendo que a média do peso dos homens desta empresa é de 78 kg e que, escolhendo um dos colaboradores ao acaso, a probabilidade de ser homem é de 40%, qual é a média do peso das mulheres desta empresa? Bom trabalho!! www.matematicaonline.pt [email protected] 3/4 matA12 probabilidades, modelo normal Soluções 7.1. Aproximadamente, 55 automóveis 7.2. Aproximadamente, 12 automóveis 1. 1.1. 0,6 8. 1.2. 1 8.1. (B) 8.2. (C) 9. 86,2% 2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 0,5 10. 2.2.2. 0,5 10.1. 10.2. 3. 10.2.1. 3.1. Falsa xi 3.2. Falsa p X xi 0 1 2 3 0,064 0,288 0,432 0,216 10.2.2. 0,216 4. N 0,1 C4 N 3,1 C2 N 6,6 C3 11. 11.1. 11 11.2. 1200 N 6,2 C1 12. 12.1. 5. 5.1. 0,5 5.2. 0,16 5.3. 0,82 12.2. 0,84 12.3. 718 12.4. 73 kg 6. 6.1. 0,2525 6.2. 0,5662 6.3. 0,1613 7. www.matematicaonline.pt [email protected] 4/4