TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA
Uma abordagem geométrica alternativa
Ernesto Rosa
Ângulo inscrito. A trigonometria é feita usualmente partindo de ângulos centrais.
Como curiosidade, vamos ver uma trigonometria que parte de ângulos inscritos ou, mais
geralmente, de ângulos com vértices em qualquer ponto dado do plano da circunferência.
Veja, na ilustração, duas retas fixas, concorrentes no ponto V e uma circunferência
girando, passando por V. Todas as circunferências de mesmo raio que passam por V
determinam cordas AB de mesmos comprimentos, como mostram as figuras.
B
B
B
B
A
V
A
A
A
V
V
V
Isso porque, o ângulo inscrito é sempre o mesmo ou complementar, logo o arco
correspondente é sempre de mesma medida ou replementar, correspondendo igualmente,
cordas de mesma medida. Deste modo, a cada par de retas concorrentes fica associado um
número, razão entre a corda AB e o diâmetro. Como a corda é proporcional ao diâmetro, esse
número não depende do raio da circunferência. Em particular, se o diâmetro é unitário, o
número constante é o comprimento da corda AB .
Definição de seno de um ângulo. Dado um ângulo de medida α, chamamos de seno
de α ao comprimento AP da corda determinada pelo ângulo em uma circunferência de
diâmetro unitário, que passa pelo seu vértice. Notação sen α.
P
A
α
sen α = AP
V
É claro que sen α = sen (180°−α) porque as retas que contêm os lados são
concorrentes, formando ângulos congruentes ou suplementares.
Estamos trocando o raio unitário por diâmetro unitário e ângulos centrais, por ângulos
inscritos.
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Ângulos particulares.
Com um hexágono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro unitário, temos:
em P: sen 30° = AV = R = 1 = sen 150º ,
P
2
V
3
,
2
em V: sen 60° = AP = 12 − (1 / 2) 2 =
B
em A: sen 90° = VP = 1,
A
3
= sen 60º ,
2
em B: sen 120° = AP =
sen 0º = 0 = sen 180º.
Com um quadrado inscrito em uma circunferência de diâmetro unitário, temos:
P
em V: sen 45º = AP, mas 2⋅AP2 = 2⋅sen2 45° = 1 ⇒
V
2
= sen 135º
2
⇒ sen 45° =
A
Do mesmo modo, com decágono, calculamos sen 18°, sen 36°, etc.
Cosseno. Para definir o cosseno de α, deslocamos V até V', na circunferência, tal que
AV' contenha o centro O.
P
V'
A
α
cos α = PV’
V
cos α = PV’, logo: cos (90°−α) = sen α e sen (90°−α) = cos α.
Imediatamente, no triângulo ∆PAV', retângulo em P temos: sen2 α + cos2 α = 1.
Dois teoremas.
A
b
c
B
Seja um ∆ABC inscrito em uma
circunferência de raio R.
a
C
a
2R
= sen  ⇒
a
sen A
= 2R. Por isso:
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
= 2R
Na figura abaixo, o diâmetro VB é diagonal do quadrilátero ABPV inscrito em uma
circunferência, logo, podemos usar o teorema de geometria plana, conhecido como Teorema
de Ptolomeu, que diz: O produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
P
Com as medidas fica: AP⋅VB = BP⋅VA + VP⋅AB (O teorema
de Pitágoras é um caso particular, quando o quadrilátero é um retângulo).
Com VB = 1 e substituindo pelos senos e co-senos
α
respectivos, temos:
V
B
β
sen(α+β) = AP = AP⋅VB = senα⋅cosβ + cosα⋅senβ
2
A
As outras funções trigonométricas.
Do mesmo modo, com diâmetro unitário e com AT e VC tangentes
à circunferência nas extremidades do diâmetro VA , temos:
T
tg α = AT, ctg α = VC, sec α = VT e csc α = AC.
C
P
V
α
As retas AC e VT são perpendiculares, os triângulos ∆TAP,
∆PVC, ∆VAT, ∆VAC e ∆VAP são semelhantes, logo:
A
AT = AP ⇒ tg α = senα , pois VA = 1, etc.
VA PV
cos α
No triângulo retângulo ∆VAT: 1 + tg2 α = sec2 α
No triângulo retângulo ∆VAC: 1 + ctg2 α = csc2 α
1
P
Arcos. Para sair do triângulo, para ângulos maiores que 180° ou
menores que 0°, associamos a cada número real x um ponto P
π/2
A
da circunferência, determinando um arco de origem em A.
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Como o diâmetro é unitário, uma volta mede π.Os eixos dão
2
os sinais das funções trigonométricas. O eixo dos senos e
cossecantes têm origem em A; o dos cossenos e secantes,
em V; o das tangentes em A e cotangentes em V. As figuras mostram as orientações.
Praticando um pouco, funciona normalmente.
Generalizando. A trigonometria usual parte de ângulos centrais. Acabamos de ver
uma trigonometria que parte de ângulos inscritos. Podemos ir um pouco além para vértices
fora da circunferência. Representando a medida do arco AB simplesmente por AB, e usando
que:
B
D
D
B
V
C
V
α
α
C
A
A
Vértice interno à circunferência
AB + CD
α=
2
Vértice externo à circunferência
AB − CD
α=
2
AB + CD
etc. A construção geométrica é simples. Com o
2
compasso, marcamos CD a partir de B (somando ou subtraindo) e AD é o seno de α, se o
diâmetro medir 1, ou usamos a fórmula do sen (a + b).
Assim, podemos colocar o vértice em qualquer ponto do círculo. Também fora do
círculo, com restrições a α, para termos funções reais.
seguimos com sen α = sen
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