Introdução à Topologia Geral Simulado 1 – Verão/2017

Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Introdução à Topologia Geral
Simulado 1 – Verão/2017
Nome:
Questão 01
Matrícula:
(1)
: Dê um exemplo de uma função
(,0 pontos)
f : (X, τ ) → (Y, γ),
onde (X, τ ) e (Y, γ) são espaços topológicos, de modo que f seja sequencialmente contínua,
mas que não seja contínua.
Questão 02 (,0 pontos): Seja (X, τ ) um espaço topológico. Para cada x ∈ X, considere a
família de vizinhanças de x
{
}
V (x) = V ⊂ X ∃A ∈ τ, x ∈ A ⊂ V .
Mostre que a família
{
}
τ = A ⊂ X ∀x ∈ A, A ∈ V (x)
∗
é igual a τ .
Questão 03 (,0 pontos): Seja (X, τ ) um espaço topológico. Para cada x ∈ X, considere a
família de vizinhanças de x
{
}
V (x) = V ⊂ X ∃A ∈ τ, x ∈ A ⊂ V .
Usando a definição
}
{
B = x ∈ X ∀V ∈ V (x), V ∩ B ̸= ∅ ,
mostre que B = B.
Questão 04
sequencial
: Em um espaço topológico (X, τ ), considre o operador de fecho
(,0 pontos)
{
}
s-cl (B) = x ∈ X ∃xn ∈ B, xn → x .
Mostre que
s-cl (B) ⊂ B.
Mostre também, que quando X é metrizável,
s-cl (B) = B.
Utilize os resultados anteriores para mostrar que se (X, τ ) é metrizável, então, para
que uma função
f : (X, τ ) → (Y, γ)
seja contínua, basta que ela seja sequencialmente
contínua. Pode utilizar o fato de que f
( )
é contínua quando para todo B ⊂ X, f B ⊂ f (B).
Questão 05
: Mostre que
(,0 pontos)
∪
∪
Bλ ⊂
λ∈Γ
Bλ .
λ∈Γ
Dê um exemplo de um espaço topológico e um subconjunto B tal que
∪
∪
Bλ ̸=
λ∈Γ
Bλ .
λ∈Γ
Questão 06 (,0 pontos): Seja (X, d) um espaço métrico, G ⊂ X um subconjunto qualquer,
e para cada ε > 0,
∪
Bε (x),
Gε =
x∈G
onde Bε (x) é a bola aberta de raio ε centrada em x. Denote também por B̄ε (x) a bola
fechada.
a) Mostre que
G=
∩
Gε .
ε>0
b) Mostre que se δ > ε > 0,
Bε (x) ⊂ Bε (x) ⊂ B̄ε (x) ⊂ Bδ (x).
c) Usando os itens anteriores, mostre que
∩
∩
Eε ,
Dε =
G=
ε>0
ε>0
onde Dε =
∪
x∈G
Bε (x) e Eε =
∪
x∈G
B̄ε (x).
d) Mostre que para δ > ε > 0,
Gε ⊂ Gδ .
e) Usando os itens anteriores, mostre que
G=
∩
Gε .
ε>0
Questão 07
: A aplicação
(,0 pontos)
f: R → R
{
0, x ∈ Q
x 7→
x, x ∈
̸ Q
é contínua em 0? E em 1? Justifique.
Questão 08
: Considere R com a topologia τ gerada pela base
{
}
B = (α, ∞) α ∈ R .
(,0 pontos)
a) Mostre que
{
}
Bx = [α, ∞) α < x
é base de vizinhanças de x.
b) Mostre que
{
}
Dx = [α, ∞) α ≤ x
NÃO é base de vizinhanças de x.
τ
c) Usando Bx , mostre que xn −
→ x se, e somente se, fazendo yn = infj≥n xj ,
limn→∞ yn ≥ x.
Questão 09 (,0 pontos): Mostre que nos espaços métricos, os conjuntos unitários são
fechados.
Mostre que num espaço topológico (X, τ ) qualquer, o fato de os conjuntos unitários
serem fechados equivale ao seguinte axioma de separação:
Para a, b ∈ X distintos, existe A ∈ τ tal que a ∈ A e b ̸∈ A.
Dê dois exemplos de topologias tais que os conjuntos unitários não são necessariamente
fechados. Um exemplo com um conjunto finito, e um exemplo de uma topologia em R.
Questão 10 (,0 pontos): Pra cada item abaixo, dê um exemplo de uma topologia τ em X
que é de Hausdorff e um exemplo que não é de Hausdorff.
a) #X < ∞.
τ
→ 0 exatamente quando xn → 0 na topologia usual de R.
b) X = R, e xn −
c) X = R, e
id : (X, τ ) → (R, γ)
x 7→ x
{
}
é contínua, onde γ = {R, ∅} ∪ (α, ∞) α ∈ R .
Questão 11
: Seja (X, d) um espaço métrico. Defina a métrica
(,0 pontos)
ρ: X ×X → R
.
(x, y) 7→ max(1, d(x, y))
Mostre que d e ρ induzem a mesma topologia em X.
Questão 12 (,0 pontos): Mostre que se S ⊂ γ é uma sub-base de (Y, γ), então, para
f : (X, τ ) → (Y, γ),
f −1 (γ) ⊂ τ ⇔ f −1 (S ) ⊂ τ.
Use o resultado anterior para mostrar que se γ é a topologia inicial induzida pela
família
fλ : Y → (Xλ , τλ ) (λ ∈ Γ),
então T : (Z, δ) → (Y, γ) é contínua se, e somente se, para todo λ ∈ Γ, fλ ◦ T é contínua.
Use o resultado anterior para mostrar que se (X, τ ) é um espaço topológico, Γ é um
conjunto não vazio e X Γ tem a topologia produto, então
f : (Z, δ) → X Γ
z 7→ (fλ (z))λ∈Γ
é contínua na topologia produto se, e somente se, fλ é contínua para todo λ ∈ Γ.
(1)