Se A = { z C | |z – t| 1 } e B = { z C | z = a + bi eb 3 - MTM

CAPÍTULO I
NÚMEROS COMPLEXOS
I.1 Motivação histórica
Historicamente, os números complexos surgem da procura de soluções de
equações quadráticas. Por exemplo, “dividir 10 em duas partes cujo produto é
40”. Para resolver este problema podemos montar o seguinte sistema
x  y  10
, onde x e y são os números procurados.

 xy  40
Este sistema é equivalente a uma equação quadrática que pode ser obtida
com os seguintes comandos do Maple.
readlib(eliminate):
eliminate({x+y =10, x*y =40},y);
Obtemos a equação x2 - 10x + 40 = 0
solve(x^2-10*x+40=0,x);
Soluções: 5+ 15 I, 5 - 15 I.
Que números são estes?
Que símbolo estranho apareceu?
Podemos também olhar a equação x2 - 10x + 40 = 0 de uma maneira
diferente, ou seja, (x - 5)2 - 25 + 40 = 0, que é equivalente a (x - 5)2 = -15.
Todas as equações são equivalentes e, portanto possuem as mesmas
soluções.
Olhando a última equação vemos que 5  15 são soluções .
Concluímos que 5  15 I = 5  15 , assim nos parece claro que 15 está
diretamente relacionado com o símbolo I que apareceu . Utilizando o Maple
podemos confirmar que estes números não são reais.
type(5+ 15 , realcons);
false
1
No século XVI vários algebristas italianos se dedicaram ao estudo de
resolução de equações e fatalmente se depararam com o surgimento desses
“números estranhos”, chamando-os, como Rafael Bombelli (1526 - 1573), de
números fictícios, números impossíveis, números místicos, números
imaginários.
Em 1572, Bombelli, publicou um livro chamado “Álgebra” no qual resolveu
pelos métodos de Cardano (1501 - 1576), a equação x3- 15x - 4 = 0,
encontrando
x = 3 2  121  3 2  121 .
Acontece que as soluções da equação dada são reais, e portanto devemos ter
um significado para o símbolo 121 .
solve(x^3-15*x-4=0,x);
4, -2+ 3 , -2 - 3
plot(x^3-15*x-4,x=-4..5);
Portanto, apesar de ainda não aceitarem a existência desse novo tipo de
número, tiveram que admitir sua utilidade, e em 1629, Albert Girard (1590 1633) escreveu as raízes quadradas de números negativos na forma a + b 1 .
Em 1647, René Descartes (1596 - 1650) destaca na notação apresentada por
Girard, a parte real “a” e a parte imaginária “b”, apesar de ainda relutar em
aceitá-los como números, como se percebe em seu livro “La Geometrie”, onde
aceita que uma equação tem tantas raízes quanto seu grau, quando admite as
raízes imaginárias, apesar de não considerar estas raízes números.
2
Em 1748, Euler (1707 - 1783) utiliza a letra “i” para representar 1 e no
ano seguinte obtém alguns resultados sobre soluções de equações. Por exemplo,
“se a + i é raiz de uma equação, então a - i também é raiz desta equação”; “toda
equação de grau ímpar tem uma raiz real”; “todas as raízes não reais são da
forma a + bi”.
Em 1797, Caspar Wessel ( 1745 - 1818) apresentou à Academia de Ciências
da Dinamarca uma nota sobre a representação geométrica de a + bi e em 1806,
Jean Robert Argand (1768 - 1822) publicou um trabalho semelhante.
Em 1831, Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publicou “ a verdadeira
metafísica das quantidades imaginárias” e passou a chamar os números da
forma a + bi de números complexos. Também apresentou uma interpretação
geométrica, representando-os como pontos do plano usando a notação (a,b).
Em 1833, William Rowan Hamilton ( 1805 - 1865) apresentou à Academia
Real da Irlanda um trabalho onde apresenta os complexos como duplas
ordenadas e dá a regra da multiplicação como é feita até hoje.
Temos assim, uma pequena apresentação histórica do surgimento dos
números complexos.
I.2 Interpretação geométrica
Da motivação histórica percebemos que os números complexos estão
associados a pontos no plano. Vamos apresentar alguns exercícios para
visualizar este fato.
1. Localizar os pontos (3,0), (0,3), (7,3), (3,7),(7,-3),(
2 2
,
), ( 2 , 2 ), (-5,0)
2 2
(0,-5), (0,0) no plano. (Utilize o sistema cartesiano de eixos)
2. Consideremos a lua como um ponto móvel que descreve uma trajetória
praticamente plana e circular, tendo o centro da terra como centro.O raio da
circunferência-trajetória é de 380 mil quilômetros e o período do movimento
(tempo necessário para uma volta completa) é de 30 dias, aproximadamente.
a) Desenhe a trajetória do movimento.
b) Localize na trajetória a posição da lua no décimo e no décimo quinto dia de
observação.
Nota: Para visualizar a resolução destes exercícios com o Maple, olhe o anexo I.
3
3. Segundo Wessel, Gauss e outros matemáticos cada ponto no plano é a
representação geométrica de um número complexo. Quais os complexos que
aparecem nos exercícios 1 e 2?
I.3 Representações algébrica e trigonométrica
A cada ponto (a,b) do plano associamos um número complexo. Quando b=0
temos que o ponto está situado sobre a reta real (eixo horizontal) e neste caso
corresponde a um número real, que é representado pela letra a.
Por exemplo, o ponto (-3,0) corresponde ao número real -3.
Quando b  0 o ponto não está situado sobre a reta real e então utilizamos a
representação, já sugerida por Gauss, a + bi, que é chamada de representação
algébrica do número complexo.
É claro que todo ponto situado sobre a reta real também é um ponto do plano
e, portanto representa um número complexo, ou seja, todo número real é um
número complexo.
type(3, complex);
true
type(3+2*I,complex);
true
Cada número complexo tem sua parte real e parte imaginária.
z:= sqrt(3)/2 + 1/2*I:
Re(z);
1
3
2
Im(z);
1
2
z:= a + b*I:
evalc(Re(z));
a
evalc(Im(z));
b
Obs. Quando trabalhamos abstratamente necessitamos do comando evalc (é um
comando que avalia números complexos).
4
Para cada complexo z = a + bi temos o correspondente complexo a - bi que é
chamado de conjugado de z e anotado por z . Perceba na representação
geométrica os complexos (7,3) e (7,-3).
conjugate(a+b*I);
_______
a+Ib
evalc(conjugate(a+b*I));
a-Ib
Para obtermos a representação trigonométrica, utilizamos os recursos já
conhecidos de trigonometria.
Portanto se estamos com o ponto (a,b) no plano a correspondente
representação trigonométrica é : r(cos  + i sen ), onde r = a 2  b 2 é
chamado de módulo do complexo, e  é chamado de argumento do complexo.
Utilizamos nesta representação o sentido anti-horário.
5
Vejamos um exemplo apresentando as resoluções pelo Maple e
manualmente.
Obter a representação trigonométrica do complexo que é representado
geometricamente pelo ponto (
1
1
3, ) .
2
2
Guardamos na variável z a representação algébrica do complexo dado.
z := sqrt(3)/2 + 1/2*I:
3 1
 i ( manualmente).
z=
2 2
Calculamos o módulo do complexo dado.
r:=abs(z);
1
2
r=
 3 1

    =
2

 2
2
3 1
 = 1 ( manualmente).
4 4
Calculamos o argumento do complexo dado.
:= argument(z);
1

6
cos() =
3
a
b 1

=
, sen() =  . Assim,  = (manualmente).
2
6
r
r 2
Portanto a representação trigonométrica do complexo dado é:
1
6
1
6
1(cos(  ) + i sen(  ))
O Maple possui outro comando que nos permite obter a representação
trigonométrica.
convert(z,polar);
polar(1, 1/6 Pi)
Evidentemente, quando obtemos uma tal resposta, devemos ter pleno
conhecimento do conteúdo envolvido, caso contrário, ela não nos diz nada.
Dado z = r(cos  + i sen ), dizemos que  é argumento principal de z,
quando 0   < 2. Devemos observar que  + 2k , para k inteiro, também são
6
argumentos de z. Por isso em geral escrevemos z = r( cos( + 2k) + i sen( +
2k)).
O módulo de z é anotado por |z|.
Podemos facilmente perceber que |z| = | z | .
evalc(abs(a+b*I));
a 2  b2
evalc(abs(conjugate(a+b*I)));
a 2  b2
Vejamos agora que o argumento principal do conjugado de um complexo z é
2-argumento de z.
Para entendermos o que o Maple faz vamos começar a examinar um
exemplo.
Seja o complexo z = 1 + I .
z:=1+I:
argument(z);
1/4 Pi
argument(conjugate(z));
- 1/4 Pi
Como devemos analisar esta resposta?
Ela está coerente com a afirmação feita de que argument( z ) = 2 argument(z) ?
Lembremos que se  é argumento principal de z, então para cada inteiro k
temos que  + 2k também é argumento de z.
Nós estabelecemos que o argumento principal de um complexo z está entre 0
e 2, enquanto que o Maple considera o argumento principal entre -  e .

7
+ 2 =
que também é argumento de 1 - I, e
4
4
7
7
com 0 
< 2 , temos que
é o argumento principal do conjugado de 1 + I.
4
4
Tomando k = 1, obtemos
7
Como

é o argumento principal de 1 + I, temos que argument( z ) = 2 4
argument(z).
Vejamos agora a prova para um complexo qualquer.
Seja z = r(cos  + i sen  ) a representação trigonométrica de z.
Temos que z = r(cos  - i sen  ) = r ( cos (2 -  ) + i sen (2 -  ) ).
Como 0   < 2 , temos que 0 < 2 -   2 , sendo portanto o argumento
principal do conjugado de z .
Podemos também visualizar esta afirmação.
I.4 As quatro operações
Nós vamos anotar o conjunto dos números complexos pela letra C, ou seja,
C = { a + bi | a, b  R}.
Coerentemente com a interpretação geométrica de um número complexo,
temos que dois números complexos z = a + bi e w = c + di são iguais quando
a=c e b = d.
Adição
8
Para definir a operação de adição no conjunto dos números complexos
podemos lembrar que cada ponto do plano representa um número complexo e
então levando-se em consideração a situação geométrica pensar na maneira
mais coerente de definir esta adição.
z+w
w=(c,d)
z=(a,b)
No desenho temos z =(a,b), w=(c,d) e portanto z+w = (a+c,b+d). Facilmente
vemos que esta idéia é coerente com a adição já definida no conjunto de
números reais (lembre que cada número real é um número complexo e que
geometricamente está situado no eixo horizontal).
Se z e w são reais temos, z = (a,0) e w = (c,0) e portanto z+w = (a+c,0) que
representa o número real a+c.
Como as representações algébricas de z=(a,b) e w=(c,d) são respectivamente
z = a+bi e w = c+di obtemos z + w = (a+c) + (b + d) i que é a representação
algébrica da adição de z por w.
Computacionalmente, utilizando o software Maple temos:
z:=a+b*I:
w:=c+d*I:
evalc(z+w);
a+c+I(b+d)
Propriedades
Como o conjunto dos números complexos amplia o conjunto dos números
reais e a lei de adição definida no conjunto dos números complexos é a
operação de adição definida no conjunto dos números reais, é de se desejar que
as propriedades que esta operação tem no conjunto dos números reais sejam
mantidas.
1. Comutativa
z, w  C, tem-se z + w = w + z.
Prova:
Sejam z = a + bi e w = c + di dois complexos quaisquer.
9
Como, z + w = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = w + z, temos que a
propriedade comutativa é válida.
O leitor é convidado a fazer uma visualização geométrica desta propriedade.
2. Associativa
z,w,q  C tem-se (z + w) + q = z + (w + q).
O leitor é convidado a fazer uma visualização geométrica desta propriedade, a
demonstrá-la sem utilizar o computador e após fazer a constatação
computacionalmente.
3. Elemento Neutro
eC tal que zC tem-se e + z = z + e = z.
Novamente o leitor é convidado a fazer uma visualização geométrica desta
propriedade.
A demonstração algébrica consiste no seguinte: queremos determinar um
elemento complexo que satisfaça o enunciado.
Como e deve ser complexo, ele deve ter a seguinte representação: e = x + yi.
Seja z = a + bi um complexo qualquer.
Devemos ter e + z = z, ou seja, (x+a) + (y+b)i = a + bi.
x  a  a
Portanto, 
. Como x, a, y, b são reais temos que x = y = 0.
y

b

b

Logo, e = 0 é o elemento neutro.
Lembre que a propriedade comutativa é válida e, portanto já temos que e + z
= z + e.
4. Elemento oposto
zC, z*C tal que z + z* = z* + z = 0.
O leitor deve obter a representação geométrica desta propriedade.
Prova:
Seja z = a + bi um complexo qualquer.
Queremos determinar z* que satisfaça o enunciado.
Como z* deve ser complexo a representação algébrica dele será: z * = x +
yi.
z + z* = 0, ou seja, (a + x) + (b + y)i = 0.
10
a  x  0
Portanto, 
. Como a, x, b, y são reais, temos que x = -a e y = -b.
b

y

0

*
Logo, z = -a + (-b)i é o oposto de z.
O oposto de z é anotado por -z.
Multiplicação
A multiplicação em C também deve estender a lei de multiplicação definida
no conjunto de números reais. Vejamos primeiro como o Maple apresenta a
multiplicação de números complexos.
Sejam z = a + bi e w = c + di dois complexos quaisquer.
z:= a + b*I:
w:= c + d*I:
evalc(z*w);
ac-bd + I(ad+bc).
O que significa este resultado geometricamente?
Aqui não é tão fácil visualizar como foi na adição. Por que?
Vejamos um exemplo.
z:= sqrt(2)/2+(sqrt(2)/2)*I:
w:= I:
1
1
evalc(z*w);
I 2
2
2
2
11
Vejamos o que aconteceu geometricamente.
A junção dos três segmentos corresponde a origem do nosso sistema
coordenado. O ponto final do segmento vermelho corresponde ao complexo z e
o final do segmento azul ao complexo w. Quando multiplicamos z por w
obtivemos o complexo correspondente ao final do segmento verde.
Convidamos o leitor a fazer outros exemplos, olhando sempre a
representação geométrica. Creio que ainda não é claro a interpretação
geométrica dada ao produto de dois complexos.
Lembre que é comum fazermos a adição de pontos no plano, mas não
multiplicarmos pontos no plano.
Vejamos então o que acontece com a multiplicação se usarmos a
representação trigonométrica para os complexos.
Vamos em um primeiro instante utilizar complexos de módulo 1.
z:=cos(theta)+I*sin(theta);
z := cos(theta) + I sin(theta)
w:=cos(phi)+I*sin(phi);
w := cos(phi) + I sin(phi)
evalc(z*w);
cos(theta)cos(phi)- sin(theta) sin(phi)+ I (sin(theta) cos(phi) + cos(theta)
sin(phi))
combine(",trig);
cos(theta + phi) + I sin(theta + phi)
Podemos perceber aqui que houve uma soma de ângulos.
O que isto significa geometricamente?
Vejamos o nosso exemplo.


Representação trigonométrica de z = cos ( ) + i sen( ).
4
4


Representação trigonométrica de w = cos ( ) + i sen ( ).
2
2
12
Segundo o resultado apresentado pelo Maple concluímos que a
3
3
representação trigonométrica de zw é cos(
) + i sen(
).
4
4
A representação geométrica do exemplo apresentado é:
with(plots):
p1:=plot([[0,0],[cos(Pi/4,sin(Pi/4)]],style=line,color=red):
p2:=plot([[0,0],[cos(Pi/2),sin(Pi/2)]],style=line,color=blue):
p3:=plot([[0,0],[cos(Pi/4+Pi/2),sin(Pi/4+Pi/2)]],style=line,color=green):
p4:=plot([cos,sin,0..2*Pi],color=black):
plots[display]({p1,p2,p3,p4},axes=none);
Aqui já podemos perceber que o ponto final do segmento vermelho foi

girado no sentido anti-horário de um ângulo
chegando até o ponto final do
2
segmento verde que representa o produto de z por i.
O leitor deve analisar o que foi feito computacionalmente e apresentar
novos exemplos.
Qual a situação para complexos que não possuem módulo 1?
Qual a relação entre a situação algébrica e trigonométrica?
Podemos comparar as duas situações?
O que acontece se z e w são números reais?
Seja z = a e w = b números reais positivos.
Temos na representação trigonométrica que z = a (cos 0 + i sen 0), e
w = b ( cos 0 + i sen 0).
13
z.w = ab(cos(0+0) + i sen(0+0)) = ab coincidindo com a multiplicação de
números reais.
Consideremos agora a e b reais negativos.
Temos, z = |a| (cos  + i sen ) e w = |b| ( cos  + i sen ).
Assim, z.w = |a||b| ( cos(+) + i sen (+)) = |ab| ( cos 2 +i sen 2) = |ab|,
coincidindo com a multiplicação definida nos reais.
Recomendamos que o leitor faça as outras verificações.
Generalizando, temos:
z = r ( cos  + i sen ) e w = (cos  + i sen )
z.w = r ( cos (+) + i sen (+)).
Vemos geometricamente que multiplicar dois complexos significa
multiplicar seus módulos e girar o complexo z no sentido anti-horário de um
ângulo .
Vejamos como fica a definição da multiplicação em C quando utilizamos a
representação algébrica.
 a  r cos 
Seja z = a + bi  (a, b)  
b  r sen 
 c   cos 
Seja w = c + di  (c, d)  
d   sen 
Assim, z.w = r(cos((+) + i sen (+)).
Mas, rcos(+) = r cos  cos  - r sen  sen  = ac - bd
rsen(+) = r sen cos  + r cos  sen  = bc + ad
Logo, z.w = ( ac - bd) + (ad + bc) i, coincidindo com o resultado obtido com
a utilização do Maple.
Vejamos agora as propriedade que esta operação possui.
1. Comutativa
 z, w  C, tem-se z.w = w.z
Prova:
Sejam z = a +bi, w = c +di números complexos quaisquer.
Por definição temos que z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i e w.z = (ca - db) +
(cb + da)i. Como ac - bd = ca - db e ad + bc = cb + da concluímos que z.w = w.z
14
2. Associativa
z,w,q C, tem-se que z.(w.q) = (z.w).q
O leitor já deve ser capaz de fazer esta verificação.
3. Elemento neutro
eC tal que zC tem-se e.z = z.e = z.
Olhe a representação geométrica.
4. Elemento inverso
z  C, z* C tal que z.z* = z*.z = 1
Como o complexo 0 multiplicado por qualquer complexo z sempre é 0,
podemos perceber que este complexo não possui inverso e portanto a
propriedade não é válida.
Vejamos o que acontece para um complexo diferente de zero.
Como a representação trigonométrica se mostrou mais adequada para a
visualização geométrica da multiplicação de complexos, talvez esta mesma
representação possa nos ajudar para a visualização do elemento inverso.
O que desejamos?
Dado z = r( cos  + i sen ) não nulo desejamos encontrar z* = s ( cos  +i
sen ) tal que z.z* = 1.
Mas, z.z* = rs(cos(+) + i sen(+)) = 1 = cos 0 + i sen 0.
1
Portanto, rs = 1 e + = 0. Como r e s são reais positivos, temos que s = e
r
 = -  . Portanto o argumento principal de z* é 2-.
Vejamos com um exemplo a visualização geométrica.
Seja z = 1+i.
Quem é z*?


Temos z = 2 ( cos + i sen ) e pelo desenvolvimento feito
4
4
2
7
7
z*=
( cos
+ i sen
).
2
4
4
temos,
15
Com o auxílio do Maple você pode ter uma visualização geométrica da
situação apresentada acima.
p1:=plot([[0,0],[sqrt(2)*cos(Pi/4),sqrt(2)*sin(Pi/4)]],style=line):
p2:=
plot([[0,0],[(sqrt(2)/2)*cos(7*Pi/4),(sqrt(2)/2)*sin(7*Pi/4)]],style=line,
color=green):
plots[display]({p1,p2});
O ponto final do segmento vermelho representa o complexo z e o ponto final
do segmento verde representa o complexo z* que é o inverso de z. Lembrando a
1
representação do conjugado de um complexo e o fato de que s = , temos que
r
z
z* = 2 . Assim, se z = a + bi, na representação algébrica obtemos
| z|
a
b
z*= 2
 2
i.
2
a b
a  b2
A notação usada para inverso de z é z-1.
Afinal, o que você conclui de tudo isto?
Como agora temos as operações de adição e multiplicação nos complexos,
podemos também mostrar que a propriedade distributiva é válida, ou seja,
z, w, q C tem-se que z.(w + q) = z.w + z.q
Sugerimos que o leitor utilize o Maple para mostrar esta propriedade.
16
Subtração
Dados z e w complexos, o que significa z – w?
Geometricamente temos:
z-w
z
w
-w
onde o final do segmento vermelho representa o complexo z, o final do
segmento verde o complexo w e o final do segmento azul o complexo z - w.
Algebricamente temos: z - w = z + (-w).
Divisão
Seguindo o mesmo raciocínio feito acima, pensamos em definir z  w = z.w1
.
O primeiro problema com que nos deparamos é o fato de que o complexo 0
não possui inverso. Portanto, não podemos definir a lei de divisão como uma
operação no conjunto dos números complexos.
Podemos ter esta lei como uma operação em C* = C-{0}?
Para que esta lei seja uma operação em C* devemos poder aplicá-la a dois
elementos quaisquer de C* e obter como resultado um único elemento de C*,
isto significa que a lei divisão deve ser uma função de C*x C* em C*.
17
Ora, como qualquer complexo não nulo possui inverso, a multiplicação é
uma operação em C, e o produto de dois complexos não nulos é não nulo
garantimos que a lei divisão é uma operação em C*.
Vejamos agora algumas propriedades complementares.
Sejam z e w complexos quaisquer.
1. ( z  w)  z  w
Sejam z = a + bi, w = c + di.
( z  w) = ((a  c)  (b  d )i ) = (a+c) - (b+d)i=(a-b)i+(c-d)i= z  w .
2. z. w  z. w
Utilize o Maple para verificar esta propriedade.
3. |z.w| = |z|.|w|
Veja em anexo a verificação com o Maple.
4. |z| = | z |
Seja z = a + bi.
|z| =
a2  b2 =
a 2  (b) 2 = | z |.
5. z. z = |z|2
Seja z = a + bi.
z.z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = |z|2
Verifique esta propriedade utilizando o Maple.
w
.
| w|2
Sejam z = a + bi, w = c + di , com c  0 ou d  0.
6. Para w  0, mostre que z  w = z.
zw = z.w-1 = ( a + bi)(c + di)-1 = (a + bi)
1 c - di
1
= ( a + bi)
=
c  di c - di
c  di
18
(a + bi)
c - di
c d
2
2
= z.
w
| w |2
.
I.5 O conjunto dos números complexos não é ordenado.
O problema da não ordenação dos números complexos não é simplesmente o
fato não podermos decidir ao darmos dois complexos distintos qual é o menor
segundo uma relação de ordem. Queremos que ao dar uma relação de ordem nos
complexos a “possível ordenação” seja coerente com a ordenação que os
números reais possuem e com as operações definidas.
Vamos apresentar duas tentativas.
I - Primeira
Sejam z = (a,b) e w = (c,d)
Definimos,
z  w  ( a = c e b = d) ou ( a = c e b < d) ou (a < c).
Exemplos.
(2 + 5i)  (4 + 5i), pois 2 < 4.
(2 + 5i)  (4 + i), pois 2 < 4.
(2 + 5i)  (2 + 7i), pois 2 = 2 e 5 < 7.
Apresente uma visualização geométrica.
A relação acima definida é uma relação de ordem, pois:
z C, temos z  z, ou seja, a relação possui a propriedade reflexiva,
z, w  C (zw e wz  z = w), ou seja, a relação possui a propriedade
antissimétrica,
z, w, q  C, (zw e wq zq), ou seja, a relação possui a propriedade
transitiva.
Observe que se z e w são reais, então b = 0 = d e, portanto z  w significa
que a = c ou a < c.
Por outro lado, temos que (0,0)  (0,1) já que 0 < 1.
Para que a multiplicação preserve esta relação devemos ter (0,1).(0,0) 
(0,1).(0,1) = (0,1)2, ou seja, (0,0)  (0,1)2.
Mas, (0,1)2 = (-1,0)  (0,0), pois, -1 < 0.
19
Chegamos a uma contradição.
II - Segunda
Sejam z = r (cos  + i sen ) e w = s (cos  + i sen ), com  e  argumentos
principais de z e w.
Definimos,
z  w  ( r = s e  = ) ou ( r = s e  < ) ou ( r < s).
Sugiro que o leitor mostre que esta relação é uma relação de ordem e
apresente uma visualização geométrica desta relação.
Veja o que acontece quando z e w são reais.
Pode-se fazer outras tentativas, mas com um pouco mais de teoria mostra-se
que sempre chegaremos ao absurdo -1 = i2 > 0.
I.6 - Potenciação e raízes de números complexos
A potência n-ésima de um número complexo não nulo z, anotada por zn,
onde n é um número inteiro segue a mesma idéia de potência de um número
inteiro.
Uma fórmula que pode ajudar para a determinação de z n é devida a Moivre,
chama-se Fórmula de De Moivre :
z = r(cos  + i sen )  zn = rn(cos n + i sen n),
que é uma conseqüência imediata da multiplicação de complexos.
Geometricamente, zn significa rotacionar z n vezes de um ângulo  (no
sentido anti-horário quando n>0, ou sentido horário quando n<0), localizando-o
em um círculo de raio rn.
Exemplos.
1. Calcular (1+i)9
A representação trigonométrica de 1 + i é


2 (cos  i sen ), portanto
4
4
20
(1+i)9 =
2 9 (cos
9
9
2
2
 i sen )  2 4 2 (
i
) = 16 + 16i.
4
4
2
2
O leitor é convidado a apresentar a visualização geométrica.
Computacionalmente podemos obter rapidamente o valor procurado, mas
perdemos a interpretação do que é feito. Vejamos no Maple,
(1+I)^9;
16 + 16I
ou utilizando a representação polar ( veja a analogia com a representação
trigonométrica)
readlib(polar):
1
w:=polar( 2 ,  )
4
w:= polar(1+I);
evalc(w^9);
2. Sendo z = 1 +
16+16I
3 i, calcular z5.
A representação trigonométrica de z é 2(cos
z5 = 16 - 16


 isen ), portanto
3
3
3i


 isen , calcule z7. Interprete geometricamente.
7
7
7
z = cos + i sen  = -1
3. Sendo z = cos
21
z2
z
Podemos ver que z foi rotacionado 7 vezes de um mesmo ângulo chegando
ao ponto (-1,0) que corresponde ao complexo -1.
Outra utilidade da Fórmula de De Moivre é a determinação de raízes de
números complexos.
2
2
Por exemplo, dado z = cos
 isen , temos que z3 = 1.
3
3
3
Também sabemos que 1 = 1.
Então é claro que tanto z como 1 são soluções de w 3 = 1, ou seja, z e 1 são
raízes cúbicas de 1. Teremos outras soluções?
4
4
Tomando w = cos
 isen , vemos que w3 = 1, ou seja, encontramos
3
3
6
6
outra raiz cúbica de 1. Agora deve ser claro que cos
 isen =1,
3
3
8
8
10
10
cos
= w, ....., ou seja, não encontramos
 isen = z , cos
 isen
3
3
3
3
mais nenhuma raiz cúbica de 1.
Colocando z e w na forma algébrica, podemos claramente ver que z, w e 1
são distintos.
1
3
1
3

i, w =

i
Temos: z =
2
2
2
2
Conclusão: As raízes cúbicas de 1 nos complexos são três.
Vejamos agora como podemos obter rapidamente estas raízes.
Tomemos a representação trigonométrica de 1, onde utilizamos todos os
argumentos de 1, ou seja, 1 = cos 2k + i sen 2k, onde k  Z.
22
Pela Fórmula de De Moivre podemos ver que os complexos dados por
2k
2k
wk = cos
são tais que wk3=1, ou seja, são raízes cúbicas de 1.
 i sen
3
3
Na realidade para encontrar todas as raízes cúbicas de 1, basta tomar k = 0,
1, 2, pois para qualquer outro k inteiro teremos uma das raízes já encontradas.
Exemplo
Determinar as raízes quartas de z =
3 1
 i
2
2


 2 k)  i sen(  2 k) .
6
6
Portanto, as raízes quartas de z são dadas por:
A representação trigonométrica de z é cos(


 2 k
 2 k
6
6
wk = cos(
)  i sen(
) , para k = 0, 1, 2, 3.
4
4
Assim, w0 = cos


 isen
24
24
w1 = cos
13
13
 isen
24
24
w2 = cos
25
25
 isen
24
24
w3 = cos
37
37
 isen
24
24
De uma forma geral temos:
dado o complexo z = r[cos(+2k) + i sen(+2k)], as raízes n-ésimas de z são
wk = r1/n[cos(
  2k
  2k
)  i sen(
)] para 0  k < n e k inteiro.
n
n
A fórmula de Euler
23
Apresentamos a seguir um breve comentário sobre esta fórmula [ 3, p.88].
Seja S1 = {z  C | |z| = 1}.
A função E: R  S1 , definida por E(x) = cos x + isen x, possui a seguinte
propriedade , E(x + y) = E(x).E(y) ( utilize as fórmulas de coseno e seno da
soma de ângulos). Portanto, E é uma função complexa que se comporta como
uma exponencial. Isto levou Euler a propor a seguinte definição e ix = cos x + i
sen x.
No tempo de Euler, as funções complexas não eram bem entendidas, e a
definição acima levantou várias controvérsias, principalmente por levar a
conclusões inesperadas, tais como ei = -1. Posteriormente, com um melhor
conhecimento das funções complexas, verificou-se que a definição de Euler é a
única possível, se quisermos manter para os complexos as propriedades válidas
nos reais.
A prova rigorosa da fórmula de Euler “ eix = cos x + i sen x” só foi obtida
muitos anos depois utilizando-se o desenvolvimento de cos x , sen x e e ix em
séries [ 13].
Assim, pela fórmula de Euler a representação trigonométrica de z = r[cos 
+ i sen ] também pode ser vista como rei, que é uma representação mais
compacta para o complexo z.
I.7 - Raízes da unidade - Raízes primitivas
Lembramos que 1 = cos 2k + i sen 2k, portanto as raízes n-ésimas de 1 são
dadas por wk = cos
2k
2k
, com 0  k < n.
 i sen
n
n
Exemplo
Determinar as raízes quintas de 1.
Temos, w0 = 1
w1 = cos
2
2
 isen
5
5
w2 = cos
4
4
 isen
5
5
24
w3 = cos
6
6
 isen
5
5
8
8
 isen
5
5
A representação algébrica destes complexos não é fácil de obter, pois os
argumentos que aparecem não são os clássicos, mas com o auxílio do Maple
obtemos o desejado.
seq(cos(2*k*Pi/5)+I*sin(2*k*Pi/5),k=0..4);
w4 = cos
1,
5 1
2 5 5  5 1
2 5 5  5 1
2 5 5

I,

I,

I,
4
4
4
4
4
4
5 1
2 5 5

I.
4
4
Interpretação geométrica
É evidente que todas as raízes da unidade possuem módulo 1 e portanto
estão localizadas sobre o círculo de raio 1. No exemplo dado, temos cinco
pontos sobre o círculo de raio 1 , quando unimos estes pontos obtemos um
pentágono regular inscrito neste círculo. Vamos apresentar este pentágono
obtido com o auxílio do Maple, mas o leitor é convidado a obter este pentágono
utilizando régua e compasso.
with(plots):
pent:=[seq([cos(2*Pi*k/5),sin(2*Pi*k/5)],k=1..5)]:
circ:=plot([cos,sin,0..2*Pi]):
p1:=polygonplot(pent,color=blue):
display({circ,p1},textplot([0,0,`pentágono`]));
25
O leitor pode perceber que sem este auxílio a localização geométrica do
 5 1
2 5 5

I seria bem difícil.
4
4
Explorando um pouco mais este exemplo, facilmente percebemos que w2
=w12
w3 = w13, w4 = w14 e w0 = w15, ou seja, a partir de w1 obtemos as outras raízes.
Uma raiz da unidade que tem este comportamento é chamada de primitiva.
Com alguns cálculos rápidos podemos mostrar que w 2, w3, w4 também são
raízes primitivas. A pergunta natural que surge é se todas as raízes n-ésimas da
unidade que são diferentes de 1, são primitivas.
A resposta é negativa. O leitor ao determinar em exercício as raízes quartas
da unidade, pode constatar que a raiz -1 não é primitiva.
Se o leitor fizer vários exemplos ( o computador pode auxiliar ) , chegará a
seguinte afirmação “ wk é uma raiz primitiva n-ésima da unidade se, e somente
se MDC(k,n) = 1”.
complexo
I.8 - Conjunto imagem de complexos
Já vimos que a cada ponto do plano está associado um número complexo e
vice-versa, portanto é natural dizermos que o ponto (a,b) é a imagem do
complexo z = a + bi. No estudo de variáveis complexas, aparece várias imagens
de interesse intrínseco à este estudo, como por exemplo “a imagem dos
complexos z tais que |z - i| < 2”, ou “ a imagem dos complexos z tais que |z + 1|
= |2z - 1|”. Vamos apresentar alguns exemplos, com o intuito de entendermos o
procedimento utilizado. Utilizaremos sempre que possível o Maple.
26
Exemplos
1. Determinar o conjunto imagem dos complexos z tais que Re(z) = 2.
No Maple:
z:= a + b*I:
Re(z);
R(a+Ib)
Obs. O Maple não apresenta diretamente a resposta, mas se colocarmos
Re(3+4*I) ele apresentará a resposta esperada, ou seja, 3. Na forma abstrata
devemos colocar,
evalc(Re(z));
a
Já que desejamos os complexos z tais que Re(z) = 2, devemos ter a = 2.
Assim o conjunto imagem é {(2,b) | b  R}.
A representação gráfica deste conjunto pode ser obtida pelo Maple
with(plots):
plot([[2,-3],[2,3]],style=line);
2. Determinar o conjunto imagem dos complexos z tais que 1  Im(z) 4.
z:= a + b*I:
Im(z);
I (a+Ib)
27
evalc(Im(z));
b
Portanto, o conjunto imagem é {(a,b) | 1  b  4 }.
Novamente, podemos obter a representação gráfica deste conjunto utilizando
o Maple. Para a representação utilizaremos o intervalo limitado [-3,3].
with(plots):
polygonplot([[-3,1],[3,1],[3,4],[-3,4],[-3,1]],color=green,
scaling=constrained);
3. Determinar o conjunto imagem dos complexos z tais que |z + i| + |z - i| = 2.
Seja z = a + bi.
|z + i| = |a + ( b + 1)i| =
|z - i| = |a + (b - 1)i| =
a 2  (b  1) 2
a 2  (b - 1) 2
|z + i|2 = (2 - | z - i|)2  a2 + (b + 1)2 = 4 - 4 a 2  (b - 1) 2 + a2 + (b - 1)2 
b2 + 2b + 1 = 4 - 4 a 2  (b - 1) 2 + b2 - 2b + 1  4b - 4 = -4 a 2  (b - 1) 2 
b - 1 = - a 2  (b - 1) 2  (b - 1)2 = a2 + ( b - 1)2  0 = a2  a = 0.
Retornando a equação dada e substituindo a por zero temos:
|(b + 1)i| + |(b - 1)i| = 2, assim, |b + 1| | i | + |b - 1| | i | = 2.
28
Como | i | = 1, examinamos os seguintes casos:
b  1  b + 1 + b - 1 = 2  2b = 2  b = 1.
b  -1  -b - 1 + -b + 1 = 2 -2b = 2  b = -1
-1  b  1  b + 1 + -b + 1 = 2  2 = 2 .
Logo, o conjunto imagem é {(0,b) | -1  b  1 }.
Olhe em anexo como este exercício foi resolvido com o auxílio do Maple.
Exercícios
Quando um exercício for resolvido com a utilização do Maple deve aparecer
a justificativa de cada passo utilizado.
1. Escreva as expressões abaixo na forma a + bi.
a) (4 - i) + i -(6 + 3i)i
b) (7 + 4i)(2 - 3i) + (6 -i)(2 + 5i)
c) (2 - 3i)5
d) (3 + 2i)(2 - 3i)
e) (1 + i)12
 1 + i
f) 

 1- i 
10
g) 1 + i + i2 + ... + i1992
2. Sendo n inteiro, que valores pode ter in + i-n ?
29
3. Utilize o Maple para representar os complexos z1 = 3 + 2i, z2 = 4 - i , z3 = 3 2i, z4 = 4 + i, z5 = z1 + z2, z6 = z1 + z3 no plano.
4. Para que números reais a temos que
a+i
é um número real?
1 + ai
5. Sendo z e w complexos, prove que:
a) z  z
b) z é um número real se, e somente se z = z
c) z.w = z.w
d) |z.w| = |z|.|w|
w | w|

e) se z  0, então
z
| z|
-1
f) se |z| = 1, então z = z
g) z  z é um número real
h) a parte real de z - z é zero, ou seja, Re(z - z ) = 0
zz
i) Re(z) =
2
zz
j) Im(z) =
2i
6. Determine os complexos que têm o quadrado igual ao seu conjugado.
7. Prove que |z + w|2 + |z-w|2 = 2(|z|2 + |w|2).
Interprete geometricamente.
8. Prove que
a) Re(z)  |z|, para qualquer complexo z.
b) |z + w|  |z| + |w|, para quaisquer complexos z e w.( Interprete este resultado
geometricamente). Como é chamada esta desigualdade?
9. Sob que condições valem as seguintes igualdades?
a) |z + w| = |z| + |w|
b) |z + w| = ||z| - |w||
10. Se |z| = 3 e |w| = 4, o que podemos afirmar sobre |z + w|?
30
11. Calcule
a)
7 + 2i
3 - 4i
b)
8  4i
1 i
c)
1  i 5  3i
.
2i 2i
12. Representar os seguintes complexos na forma trigonométrica
a) 1 +
3i
b) -1 + i
c) -8
d) cos  - i sen 
e) sen  - i cos 
13. Mostre que se z = r ( cos  + i sen ), então z = r ( cos (-) + i sen(-)).
14. Para que inteiros positivos n temos que (1 + i)n é um número real?
15. Sabendo que cos x =
4
5
e cos y =
e que x e y estão no primeiro
13
5
quadrante, calcule
a) cos(x + y)
b) cos(x - y)
c) sen(x + y)
16. Utilizando a representação trigonométrica calcule
a) (-3 + 3 i)6
b) (1 + i)12
c) (1 +
17. Determine as raízes quadradas de
3 i)10
a) z = -4
b) z = 3 - 4i
c) z = i
d) z = 1
18. Determine as raízes quartas de 1.
Quais são as raízes primitivas?
Com o auxílio do Maple trace o quadrado inscrito no círculo unitário, cujos
vértices são as raízes determinadas.
19. Determine as raízes sextas de 1.
Quais são as raízes primitivas?
Que figura geométrica obtemos?
31
20. Mostre que wk é uma raiz primitiva n-ésima da unidade se, e somente se
MDC(k,n) = 1.
21. Encontre as soluções das seguintes equações
a) z4 + 16 = 0
b) z + z2 + z3 + z4 + z5 = 0
22. Mostre que a propriedade associativa da adição de números complexos é
válida.
23. Mostre que a propriedade associativa da multiplicação de números
complexos é válida.
24. Mostre que a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição
de números complexos é válida.
25. Mostre que para quaisquer complexos z, w, f tem-se z(w - f) = z.w - z.f
26. Determine o conjunto imagem dos complexos tais que
a) |z + 1| = 2|z|
b) Re(z) = Im(z)
c) |z| = 1
d) |z + i| + |z - i| = 1
Utilizando o Maple apresente a representação geométrica de cada imagem
encontrada.
27. Seja t = 2 + 3i.
Se A = { z  C | |z – t|  1 } e B = { z  C | z = a + bi e b  3 }, encontre
A  B e represente no plano.
28. Fixado  , qual é a representação gráfica dos complexos z = r( cos() +
i sen()) quando r percorre R?
29. Determine o número complexo z de menor argumento tal que | z – 25i|  15.
Faça um gráfico.
30. Um hexágono regular, inscrito numa circunferência de centro na origem,
tem como um de seus vértices o ponto (0,2) que corresponde ao complexo 2i.
32
Que números complexos são representados pelos outros vértices do
hexágono?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1.
a) 7 - 6i
d) 12 - 5i
b) 43 + 15i
e) -64
2.
2, 0 ou -2
4.
-1 ou 1
6.
1
3
1
3
i , ou - 
i
0, 1, - 
2
2
2
2
c) 122 + 597i
f) -1
g) 1
10.
1  |z + w|  7
11.
a)
12.


a) 2( cos( )  i sen( ))
3
3
b)
c) 8(cos() + isen())
d) cos(2-) + isen(2-)
13 34
 i
25 25
e) cos(  
14.
b) 6 + 2i
c)
8 2
 i
5 5
2 (cos(
3
3
)  i sen( ))
4
4
3
3
) + isen(  
)
2
2
múltiplos positivos de 4
33
16
65
15.
a)
16.
a) - 1728
17.
a) 2i e -2i
b)
56
65
63
65
c)
b) - 64
c) -512 -512 3 i
b) 2 - i e -2 + i
c)
2
2
 2
2

i e

i
2
2
2
2
d) -1 e 1
18.
-1, 1, i, -i
19.
-1, 1,
-i e i são raízes primitivas
1
3 -1
3 -1
3 1
3

i,

i,

i, 
i
2 2
2
2
2
2
2 2
1
3
1
3

i e

i são raízes primitivas.
2 2
2 2
21.
a)
2  2i, - 2  2i,
2  2i, - 2  2i
b) 0 e as raízes de z5 - 1 diferentes de 1.
26.
1
2
a) circunferência de centro ( ,0) e raio .
3
3
b) reta passando pela origem com inclinação de 45.
c) circunferência de centro (0,0) e raio 1.
d) vazio.
27.
O semidisco centrado no ponto (2,3) e raio 1.
28.
A reta passando pela origem e de inclinação .
29.
12 + 16 i
30.
3  i, - 3  i, - 3  i, 3  i, 2i
34