Untitled - Departamento de Fisica/UFPB

5
Unidade I - Gravitação
R 
1
2
Rg    T
F
r
GmL M T
r2
fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra.
1. Situando a Temática
O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da
gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada
por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da
gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a
energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional
de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o
princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital
em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação
universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força.
2. Problematizando a Temática
A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as
leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu
predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa
abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações
astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias
concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de
arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação
Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um
movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo
estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas
6
vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno.
A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de
permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de
muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e
eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados
por uma distância de 2  10 15 m obtemos um valor de 10 34 N, enquanto
obtemos 100 N para força eletromagnética.
A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens
espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser
uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio
de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria. Ao
contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados
observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por
essa outra teoria.
Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir,
por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas
tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais
gerais do que a Relatividade Geral.
3. A Lei de Newton da Gravitação Universal
Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém
os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da
gravitação universal formulada por Newton estabelece que:
Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre elas.
A intensidade da força gravitacional entre duas massas m1  M e
m2  m separadas por uma distância r é
F
GMm
r2
eq. I.1
fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa.
onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou
métrica é
G  6,67  10 11 Nm 2 / kg 2
A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula.
Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas
formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância,
7
não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre
duas partículas é completamente independente da presença de outras
partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da
superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos
(por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas
as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para
aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais.
4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula
Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a
força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é

GM T m
F
r2
fig. I.3. Força gravitacional
GM T m r
F 
r2 r

ou
eq. I.2
onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a
partícula está dentro da Terra a força é menor.
Se a partícula está na superfície da Terra em r  RT , então a eq. I.2
entre duas partículas.
F
GM T m
RT2
eq. I.3
A corresponde aceleração da massa m é
a
F GM T

g
m
RT2
eq. I.4
Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da
gravidade g.
Em geral teremos a aceleração para uma distância r
a
GM T RT2
 2 g
r2
r
eq. I.5
a
9,8
4,9
RT
fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s
metros.
8
2 RT
2
3 RT
r
da gravidade versus distância radial r em
5. A Medida da Constante Gravitacional
A constante G é muito difícil de ser medida com
precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres
massas no laboratório serem pequenas e portanto os
instrumentos para detectar estas forças serem extremamente
sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de
torsão de Cavendish.
O valor da constante G é determinado através da
aproximação das pequenas massas das massas grandes e a
comparação dos torques surgidos no cabo central de
sustentação.
fig. I.5. Experimento de Cavendish.
6. Órbitas dos Planetas
É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o
movimento dos planetas.
Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares
de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol
como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de
movimento
F
Temos que v 
GM s m
GM s
mv 2

F


 v2
c
2
r
r
r
eq. I.6
2r
, onde T é chamado o período da órbita. Assim o
T
período para órbita circular é dado por
T2 
4 2 3
r
GM s
eq. I.7
Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo
aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler
que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de
Kepler:
‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um
dos focos’
fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em
um dos focos.
A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do
momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional
9
é uma força central. Ela é chamada lei das áreas.
‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais
em tempos iguais’
A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita
ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7:
‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo
maior da órbita do planeta’
As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a
cometas. Também são aplicadas a órbitas de estrelas, como em
fig. I.7. Lei de Kepler das áreas
sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento
de projéteis próximos da Terra.
Notamos que na nossa descrição matemática do movimento
planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores
do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem
ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então
uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do
movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento
de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não
temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo
análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira
aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de
alguns planetas.
7. Energia Gravitacional
Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma
força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar
uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes
pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia
potencial gravitacional
r 

U (r )    F  d r  U ( P0 )
eq. I.7

Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M
e colocamos U ( P0 )  0 . Note que esta integral pode ser calculada para
qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então,
r 
r

 
U ( r )    F  d r  U ( P0 )  0     (GMm / x 2 ) i  i dx  


GMm
q.I.8
r
Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de
um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser
atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se
M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M
10
não se move.
Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial.
Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento

infinitesimal d r , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma
quantidade infinitesimal,


dU  U ( P )  U (Q )   F  d r   Fx dx  F y dy  Fz dz , assim

F  (

U U U
,
,
)  U ( r ) .
x
y
z

Neste caso dizemos que F provém de um potencial. Podemos rever
este resultado em um curso básico de cálculo.
A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, então a energia
cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de
energia,
E U  K 
1 2 GMm
mv 
 const.
2
r
eq. I.9
Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita
circular:
E U  K 
1 GM s m GM s m
1 GM s m


2 r
r
2 r
eq. I.10
A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial.
Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar
que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da
elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu
tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é
muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite
do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma
parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva,
então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com
velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta.
Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar
as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da
velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio,
níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa,
muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9
para a posição da partícula.
Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está
sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a
velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da
superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará
do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No
infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa
11
forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é
conservativa, então na superfície,
E  K U  0 
v
1 2 GM T m
mv 

2
RT
2GM T
RT
eq. I.11
Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da
superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força
do Sol sobre ele tem um pequeno efeito.
8. O Campo Gravitacional
Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que
não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual
permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como

g
1 
F
m
eq. I.12
O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força
experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada
escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da
partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo.
Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da
Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é

1 
1 GM T m r
g F 

m
m r2 r


g
onde
GM T 
r
r2
eq. I.13
1 
r  r é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e
r
o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra.
9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso
Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos
considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como
tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos.
Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um
objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto
sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de
12
massa M i para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por
todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos
é dada por U  GmM i / ri , como podemos ver na fig. I.8.
A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida,
quando tomamos M i  0 ,
U  Gm 
dM
fig. I.8. Interação entre uma
partícula e um objeto extenso
eq. I.14
r
Agora calculamos a força gravitacional através de  dU / dr para obter

F  Gm
dM 
r
r3
de massa M.
eq. I.15

onde
r 
 r é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a
r

partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de r .
10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições
Esféricas de Massa
Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação
entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros
corpos, podem ser considerados com esta simetria.
Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem
distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das
esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas
nos centros dessas esferas.
Prova:
Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca
esférica, dividindo a casca em elementos de massa
M i , e uma

partícula m no seu exterior,
U   (
GmM i
)
ri
eq. I.15
onde ri é a distância entre M i e m.
Tome um anel da casca como na
fig. I.9
Tome um anel de uma casca
esférica, obviamente a reunião
de desses anéis nos dá a casca
inteira. O anel está a uma
distância ri  L da partícula
m
fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas.
m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência
13
 2 Rsen  e assim à área da superfície do anel é  2 R 2 send . A massa
do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é
uniformemente distribuída sobre a área total  4R 2 da casca, podemos
escrever
 2R 2 send 1
 Msend para massa do anel.
2
 4R 2
No limite M i  0 e encontramos da eq. I.15
M i  M 
GmMsend
eq. I.16
2L
Aplicando a lei dos cossenos, L2  R 2  r 2  2rR cos e calculando
dL / d , onde r e R são constantes, L  r  R como maior valor de L e
L  r  R como menor valor de L, teremos
U  
U 
GmM
2rR

rR
r R
dL  
GmM
GmM
[ L] rr  RR  
(2R)
2 rR
2rR
U 
GmM
r
eq.I.17
Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se
toda a massa estivesse em seu centro. Então a força,  dU / dr , entre a
casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no
centro.
A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas.
Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa
m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro,
quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este
resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela
terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se
substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica,
e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de
massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional
é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto.
Terminando assim a prova do teorema.
Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo
procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são
trocados para L  R  r e L  R  r , para obtermos,
U 
GmM
R
eq. I.18
Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior
da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força
gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica.
Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula
dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa
14
contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a
massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de

uma forma geral, teremos para intensidade de F
F 
GmM ( r )
r2
eq. I.19
onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o
raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força
gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica.
11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência
Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia,
dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa
de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão,
fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das
acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa
definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição
que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento.
Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão
através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce
sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa
gravitacional.
Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por
ambos os métodos.
Sejam P1 e P2 os pesos de dois corpos, se P1  P2 , teremos
gm1  gm2  m1  m2 . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade
dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair
livremente com a mesma aceleração.
Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular
os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de
princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado,
em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se
sujeitos a um campo gravitacional.
Exercícios Resolvidos
Exemplo I. 1
Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg
quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas.
Solução:
F
GM T m 6,67  10 11 N .m 2 / kg 2  70kg  70kg

 3,3  10 9 N .
2
2
r
(10m)
Exemplo I. 2
15
As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando
giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano.
Mostre que os raios das órbitas são tais que rT  1,38rV .
Solução:
De fato, usamos T
2

4 2 3
r para ambos os planetas para chegarmos a
GM s
relação,
rT TT1,5
(1ano)1,5
 1,5 
 1,38 .
rV TV
(0,615ano)1,5
Exemplo I. 3
11
Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é 1, 496  10 m , calcule a massa do
Sol.
Solução:
T2 
Usamos
4 2 3
4 2 r 3
r  Ms 
 1,989  10 30 kg ,
2
GM s
GT
onde
T= 3,156  10 7 s .
Exemplo I. 4
Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio
9,6  103 km ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar
para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica
com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o
3
perigeu da nova órbita é 7,0  10 km . Compare os períodos da nova e velha
órbita.
Solução:
O período da órbita velha, que é circular, Tvelha 
4 2 3
r  9,4  10 3 s ,
GM T
enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica,
Tnova 
4 2 3
a  7,5  10 3 s ,
GM T
onde
a  (9,6  10 3 km  7,0  10 3 km) / 2 , a sendo o semi-eixo maior. Então o
período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o
astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para
completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no
perigeu e encurtou a distância em torno da órbita.
Exemplo I. 5
9
9
Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é 45,9  10 m e o afélio 69,8  10 m
encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio.
Solução:
16
Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a
norma do momentum angular de cada ponto é dado por mv P r p e mv a ra . Usando a
conservação de momentum angular
mv P rp  mv a ra
Por conservação de energia mecânica
GM S m 1
GM S m
1
2
2
.
mv p 
 mva 
2
rp
2
ra
Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente,
v p  5,91  10 4 m / s e v a  3,88  10 4 m / s .
Exemplo I. 6
Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma
grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em
direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o
Sol?
Solução:
A energia do ‘meteoróide’ é
E
1
mv
2
2

GM S m
 const.
r
Inicialmente U = 0 e K = 0, já que v = 0 e r   . Assim em qualquer tempo depois
E
1
mv
2
2

GM S m
 0 ou v 
r
2GM S
, no momento do impacto,
r
r  RS , onde RS  6,96  10 8 m . Logo v  6,18  105 m / s . Essa quantidade
é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol.
Exemplo I. 7
Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra?
Solução:
Sabemos que, U ( r )  
GM T m
r
A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície
da Terra é então
U  U (r )  U ( RT )  
GM T m GM T m

r
RT
Se r  RT e r  RT  z é a altura acima da superfície da Terra da partícula m
U 
GM T m
RT
2
z  gmz .
Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de
massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que
fizemos vale para r  RT  z  RT .
Exemplo I. 8
17
Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma
partícula de massa m em um raio r  R .
Solução:
3
A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 4r / 3 .
3
A massa total M é distribuída sobre o volume 4R / 3 . Assim
M (r )  M
4r 3 / 3 Mr 3
GmM ( r ) GmM
 3 eF

r
3
4R / 3
R
r2
R3
F
r
R
Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força
2
para de crescer e começa a decrescer com 1 / r .
Exercícios Propostos
Exercício I. 1
Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra.
O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa
posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita
geoestacionária?
7
Resposta: r  4, 23  10 m
Exercício I. 2
A massa m1 de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100
kg, a massa m 2 de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o
centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5
cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais
próxima.
Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de
intensidade muito pequena.
Exercício I. 3
Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do
dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma
distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muito afastado
de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um
referencial inercial?
8
2
Resposta: 1,33  10 m / s e 2,66  10
Exercício I. 4
18
10
Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem
RM  3,40  10 6 m e massa m M  6,42  10 23 kg . O veículo explorador que
deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a 39200 N . Calcule o peso e a
6
aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de 6  10 m acima da
superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos
gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas.
2
Resposta: (a) 1940 N e 0,48 m / s ; (b) 15000 N e 3,7 m / s
2
Exercício I. 5
(a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade
mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra?
(b) Qual a velocidade de escape desse corpo?
Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua.
RT  6,38  10 6 m e M T  5,97  10 24 kg .
Resposta: (a) 28400km / h e (b) 40200km / h
Exercício I. 6
Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo
0
retângulo de 45 . Determine a norma e a direção da força
gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação
das duas esferas maiores.
Resposta: Força de 1,17  10
11
0
N e 14,6 em relação ao eixo x.
Exercício I. 7
Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo
localizado na Terra.
Exercício I. 8
Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base
nos princípios da mecânica de Newton.
Exercício I. 9
Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas
coincide com seu centro de massa?
Exercício I. 10
Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a
uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na
horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula.

Resposta: F 
GMm 
i.
h ( h  L)
Exercício I. 11
19
Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x
a direita de x = 0.

Resposta: g  

2GMx
2
2
(x  b )
3
i.
2
Exercício I. 12
Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma
velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver
‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente
uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente
os efeitos do ar.
Resposta: 10 km/s e 1,05 RT .
Exercício I. 13
Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não
uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para
r  R . Isto é,   Cr para r  R e ρ = 0 para r  R , onde C é uma constante.
(a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para r  R . (c) Encontre o
campo gravitacional em r = R/2.
4
2
2
Resposta: (a) C  M / R , (b) g  GM / r , (c) GM / 4 R .
Exercício I. 14
Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação.
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