FUNDAMENTOS DE LÓGICA PARA ADMINISTRAÇÃO

FUNDAMENTOS DE LÓGICA
PARA ADMINISTRAÇÃO
André Luiz Galdino
SUMÁRIO
1. Noções de Lógica Matemática
3
1.1 Cálculo Proposicional
1.2 Tabelas Verdade
4
16
1.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia
24
1.4 Implicação e Equivalência Tautológica
27
1. Noções de Lógica Matemática
Da mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contas
de porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a definição formal e
propriedades do que venha ser porcentagem, as vezes usamos um conceito
(palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu. Por
exemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica!
Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe o
que significa lógica num sentindo geral ou específico da palavra? Então,
fica a pergunta: o que significa lógica? Se for realizada uma pequena
pesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como:
No século IV a.c. Aristóteles sistematizou o estudo das condições
em que podemos afirmar que um dado raciocínio é correto como Lógica.
Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônoma
para estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentos
certos e errados. No entanto, ao longo da história muitas são as definições
dadas à palavra lógica. Uns definem a lógica como sendo a “Ciência das
leis do pensamento”. Porém, outros acreditam que uma definição mais
adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”. De um modo geral,
vamos assumir como definição de lógica a ciência que estuda as formas
ou estruturas do pensamento.
Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o desenvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação de
termos fundamentais para analisar a lógica do discurso. A saber, Válido,
Não Válido, Contraditório, Universal, Particular.
Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impediam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da linguagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia o
sentido das palavras. Com o intuito de transpor tais limitações Gott-
Fundamentos de Lógica para Administração
Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógica
natural. 2 Filos Estudo que tem por objeto determinar quais
as operações que são válidas e quais as que não o são: [...] L.
matemática: o mesmo que lógica simbólica. L. simbólica:
ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicos
mediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução,
baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação e
transformação; também chamada lógica matemática. (Dicionário Michaelis)
3
fried Wilhelm Leibniz (1646 − 1716) apresentou uma nova lógica baseada no princípio de notação universal e artificial, bem como num cálculo
de signos.
E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal como
Gottlob Frege,Giuseppe Peano, Bertrand Russel e George Boole a lógica
foi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma nova
linguagem simbólica, chamada lógica matemática. Em outras palavras,
a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo de
símbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusões
válidas.
1.1 Cálculo Proposicional
O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo como
base frases declarativas, as quais chamamos de proposições. De outra
forma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações
que podem ser verdadeiras ou falsas. Ou ainda, como construir a partir
de um certo conjunto de hipóteses, verdadeiras num determinado contexto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão é
verdadeira no mesmo contexto. Sendo um dos exemplos mais simples
de lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma das
proposições e se elas são verdadeiras ou falsas. Porém, contém praticamente todos os conceitos importantes necessários para o estudo de
outras lógicas complexas.
Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjunto
de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposições
atômicas, ou variáveis; (2) um conjunto de operadores, interpretados
como operadores lógicos ou conectivos lógicos.
Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição, que
é usado num sentido técnico.
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Definição 1.1. Por uma proposição queremos dizer uma declaração que
é verdadeira ou falsa, mas não ambos.
4
Definição 1.2. O valor verdade, ou valor lógico, de uma proposição é o
estado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa. Sendo assim o
valor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposição
verdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa.
De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as proposições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas a
possibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor verdade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições. Em
outras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda-
deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser definitivamente uma
coisa ou outra. Sendo assim, assumimos os seguintes princípios:
Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois
valores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F),
não podendo ter outro valor.
Exemplo 1.3. Cada uma das seguintes frases é uma proposição:
1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás.
2) 3 + 4 é 5.
3) A lua e feita de caramelo.
4) Não há vida inteligente em Saturno.
5) Está nevando.
6) -1 é raíz da equação x2 − x + 1 = 0.
7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo.
8) Tinha um mosquito na Arca de Noé.
9) Todo gato é um felino.
Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) são
falsas. Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de
(d) e (h). A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local e
das condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita.
Exemplo 1.4. As frases seguintes não são proposições, porque não faz
sentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa.
2) Tudo bem com você?
3) Que horas são?
4) Bom dia!
É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição de
uma realidade e que representa uma informação enunciada por uma oração e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes. Por exemplo:
Gabriela é maior que Letícia.
ou
Letícia é menor que Gabriela.
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1) Vamos a praia!
5
Exercícios Propostos
Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição.
1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande
do Sul.
2. Aristóteles tinha pés chatos.
3. O socialismo está errado.
4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Astrônio, de Terra
Roxa.
5. O filme “fogo contra fogo” é bom.
6. x2 = −1
7. Joana e Pedro são pessoas boas.
8. Eu estou usando facebook.
9. Quanto vale este carro?
10. Saia da grama.
11. (x + y)2 = x2 + y 2 .
12. Use sempre cinto de segurança.
13. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin.
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14. Não minta!
6
15. Existe vida inteligente na lua.
16. Ela não é ciumenta.
17. Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelas
que você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F),
e aquelas cujo status pode ser difícil determinar.
Definição 1.5. As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto.
Exemplo 1.6. Fique atento à estrutura das seguintes proposições universais.
1) Todos os homens são mentirosos. Esta proposição é universal afirmativa.
2) Toda regra é certa. Esta proposição é universal afirmativa.
3) Nenhum homem é mentiroso. Esta proposição é universal negativa.
4) Nenhuma bola é quadrada. Esta proposição é universal negativa.
Na Definição 1.5 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário.
5) A vaca berra.
6) O filho tem mãe.
7) Açucar é doce.
8) Peixe nada.
Definição 1.7. As proposições existenciais são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.
Exemplo 1.8. Fique atento à estrutura das seguintes proposições existenciais.
1) Alguns homens são mentirosos. Esta proposição é existencial afirmativa.
3) Alguns alunos não são estudiosos. Esta proposição é existencial negativa.
4) Alguns professores são bons educadores. Esta proposição é existencial
negativa.
Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessários para caracterizar “alguns”? Em matemática e, consequentemente,
em lógica “alguns” significa “pelo menos um”.
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2) Alguns homens não são mentirosos. Esta proposição é existencial
negativa.
7
Exercícios Propostos
Verifique quais das seguintes são proposições universais, existenciais, afirmativas ou negativas.
1. Todos os homens de bigode são preguiçosos.
2. Nenhum pedreiro é eletricista.
3. Alguns peixes respiram ar.
4. Algum estudante tem uma camisa azul.
5. Todo ser humano é mortal.
6. Todos os quadrados tem quatro lados.
7. Alguns números reais são racionais.
8. Nenhum cachorro mia.
9. Todo número entre 0 e 1 é menor que −1.
10. Alguns homens são criminosos.
11. Nenhuma mulher é ciumenta.
12. Todos os dias são ensolarados.
13. Nenhuma mulher deve apanhar de um homem.
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14. Nenhum homem deve bater em uma mulher.
8
15. Todas as crianças estão brincando.
16. Algumas palavras ferem.
17. Todas as provas de matemática são difíceis.
18. Todo advogado é cruel.
Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciado
verbal que pode ser verdadeiro ou falso. Além disso, uma proposição
pode ser simples ou composta.
Definição 1.9. Uma proposição simples é toda sentença que contém
apenas uma única frase afirmativa.
Exemplo 1.10. Todas as proposições que vimos até o momento são
simples. Ademais temos:
1) O gato é pequeno.
2) O cachorro é bravo.
3) x2 = 1.
4) O carro é vermelho.
5) Esse exemplo é sobre lógica.
6) |y| = 0
Definição 1.11. Uma proposição composta é toda sentença formada por
duas ou mais proposições.
Exemplo 1.12. Considerando as proposições simples dadas no Exemplo
1.10, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compostas:
1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato
não é pequeno.
4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.
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A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a definição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta a
essa pergunta é simples. Para construir proposições compostas usamos
as palavras “e”, “ou”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, chamadas
conectivos.
Sabemos ainda que existem palavras que modificam o sentido de uma
frase. Por exemplo, a palavra “não”. Quando usamos a palavra “não” o
resultado é a negação da frase original. Por exemplo, se temos a frase:
“A terra é um planeta”. Com a palavra “não” teremos a negação desta
frase, que é, “A terra não é um planeta”.
9
6) Se x2 = 1 , então x = 1 ou x = −1.
7) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
8) Se você está com fome, então coma um sanduíche.
9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.
10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo.
11) Eu queria um bolo e algo menos calórico.
Exemplo 1.13. Observe as seguintes proposições compostas e extraia
delas as proposições simples.
1) A lua é quadrada ou a neve é branca.
(a) A lua é quadrada. (simples)
(b) A neve é branca. (simples)
2) Se o inferno ficar frio então eu me caso com você.
(a) O inferno fica frio. (simples)
(b) Eu me caso com você. (simples)
3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu fico em casa.
(a) O meu carro pifa. (simples)
(b) Meu amigo vai a festa. (simples)
(c) Eu fico em casa. (simples)
4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todos
de branco.
(a) Aplico a prova. (simples)
(b) Os alunos aparecem. (simples)
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(c) Todos estão de branco. (simples)
10
5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta.
(a) Eu vou casar. (simples)
(b) Eu vou comprar uma bicicleta. (simples)
6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir.
(a) Vou viajar. (simples)
(b) Meu gato late. (simples)
Exercícios Propostos
Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples.
Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construa
novas proposições compostas, diferentes das já dadas.
1. 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.
2. Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia
joga video game.
3. π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.
4. Trabalho durante o jogo ou vou dormir.
5. O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
6. O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
7. Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho
e o gato não é pequeno.
8. Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
9. O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.
10. Se x2 = 1, então x = 1 ou x = −1.
11. |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
12. Não é verdade que não esta chovendo.
14. Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milionária, então fico milionário.
15. Se você está com fome, então coma um sanduíche.
16. Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.
17. Você não tem nada a dizer ou está mentindo.
18. Eu queria um bolo e algo menos calórico.
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13. Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado.
11
Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, mas
sim com variáveis proposicionais que representam as proposições. Sendo
assim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, tais
como p, q, r, ... para representar proposições simples, e letras maiúsculas
P , Q, R, ... para representar proposições compostas. Por exemplo,
p: A lua é quadrada. (simples)
Q: Se o meu carro não funcionar, então vou ficar em casa. (composta)
Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas para
representar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamados
de conectivos lógicos ou operadores lógicos, para representar os conectivos
“e”, “ou”, “não”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, os quais são
apresentados na sequência.
Definição 1.14. O conectivo “não” é representado pelo símbolo ∼.
Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição ∼ p (lêse: não p).
Exemplo 1.15. Observe que o conectivo lógico ∼ age apenas sobre uma
única proposição.
p: A terra é um planeta.
∼ p: A terra não é um planeta.
Definição 1.16. O conectivo “e” é representado pelo símbolo ∧. Com
o conectivo lógico ∧ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma
nova proposição p ∧ q (lê-se: p e q) chamada conjunção.
Exemplo 1.17. Observe que ao contrário do conectivo lógico ∼, o conectivo lógico ∧ age sobre duas proposições.
p: A terra é uma estrela.
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q: O gato é um animal.
12
p ∧ q: A terra é uma estrela e o gato é um animal.
Definição 1.18. O conectivo “ou” é representado pelo símbolo ∨. Com
o conectivo lógico ∨ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma
nova proposição p ∨ q (lê-se: p ou q) chamada disjunção.
Exemplo 1.19. Observe que, assim como o conectivo ∧, o conectivo ∨
age sobre duas proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p ∨ q: A terra é uma estrela ou o gato é um animal.
Definição 1.20. O conectivo “se..., então” é representado pelo símbolo
→, Com o conectivo lógico → obtemos a partir de duas proposições p e
q, uma nova proposição p → q (lê-se: Se p , então q) chamada implicação
ou condicional.
Exemplo 1.21. Observe que este conectivo também age sobre duas
proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p → q: Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal.
Definição 1.22. O conectivo “se, e somente se” é representado pelo
símbolo ↔. Com o conectivo lógico ↔ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p ↔ q (lê-se: p se, e somente se, q)
chamada dupla implicação ou bicondicional.
Exemplo 1.23. Observe que este conectivo também age sobre duas
proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p ↔ q: A terra é uma estrela se, e somente se, o gato é um animal.
Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos um
símbolo auxiliar, a saber os parênteses “( )”, para evitar ambiguidades e
delimitar o “alcance” de cada conectivo. Considere a proposição:
Sem uma regra definida, podemos colocar os parênteses nesta proposição
de duas formas diferentes. Vejamos:
(p ∧ q) ∨ r
ou
p ∧ (q ∨ r)
Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação de
parênteses, sem uma regra de uso definida, delimita o “alcance” de cada
conectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade. Sendo assim, para
uma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usados seguindo a seguinte ordem dos conectivos:
∼
∨
∧
→
↔
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p ∧ q ∨ r.
13
Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, consecutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção pela
direita, ou seja, se temos a proposição
p→q→r→t→h
colocamos primeiro os parênteses no último conectivo → a direita, depois
no penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve ser
entendida como
(p → (q → (r → (t → h))))
Exemplo 1.24. Se temos a proposição
p ∨ q∧ ∼ r → p →∼ q
colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentada
anteriormente e, dessa forma, obtemos:
(((p ∨ q) ∧ (∼ r)) → (p → (∼ q)))
Exemplo 1.25. Escreva as seguintes proposições em linguagem simbólica, colocando apropriadamente os parênteses.
1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela.
Sendo p: o cachorro late, q: o gato mia e r: a lua é uma estrela, vem
que:
(p ∧ q) → r
2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela.
Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior,
vem que:
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p ∧ (q → r)
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3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela.
Sendo p, q e r como antes, vem que:
((∼ p) ∧ q) → (∼ r)
4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela.
Em linguagem proposicional temos:
(p ∨ q) ↔ r
Exercícios Propostos
1. Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições a
seguir.
(a) p ∨ q ∧ q ∨ r
(b) p ∧ q → h → r → s
(c) g ↔ f ∨ ∼ q ∧ h ∧ r ∧ s
(d) p → r ∧ q → r
(e) ∼ q ∧ p → q
(f) p ∨ q∧ ∼ p
(g) p → q ∨ r
(h) p ∨ q → r
2. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.
(b) Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game.
(c) π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.
(d) Não é verdade que não esta chovendo.
(f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança,
então fico milionário.
(g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH.
(h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
(i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
(j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
(k) Se x2 = 1, então x = 1 ou x = −1.
(l) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
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(e) Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado.
15
1.2 Tabelas Verdade
A Tabela Verdade é um instrumento eficiente usado em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida.
Definição 1.26. Por subproposições entendemos o conjunto formado
por todas as proposições que ocorrem na proposição P , observando a
precedência entre os conectivos.
Exemplo 1.27. Determine o conjunto de subproposições da proposição
∼ ((p ∧ q) → r)
Solução. Na proposição dada temos que o conectivo ∧ precede o conectivo →, que por sua vez precede o conectivo ∼. Ou seja, para determinar
os possíveis valores verdade de ∼ ((p ∧ q) → r) antes precisamos determinar os possíveis valores verdade de (p ∧ q) → r. E para determinar os
possíveis valores verdade de (p ∧ q) → r, primeiro precisamos determinar os possíveis valores verdade de p ∧ q. No entanto, antes de tudo, é
necessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r. Portanto,
concluímos que a proposição ∼ ((p ∧ q) → r) possui o seguinte conjunto
de subproposições:
{p, q, r, p ∧ q, (p ∧ q) → r, ∼ ((p ∧ q) → r)}.
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Definição 1.28. Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidades
combinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quais
se encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), e
um conjunto de conectivos lógicos.
16
A Definição 1.28 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposição
P determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P ,
considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidas
na proposição P .
Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada por
linhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo número
de proposições simples contidas na proposição P , e o número de colunas
é determinado pelo número de subproposições da proposição P . Em
outras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste:
1. De uma linha em que estão contidas todas as proposições simples
e demais subproposições da proposição P . Por exemplo, suponha
que a proposição P seja ∼ ((p ∧ q) → r). Como vimos no Exemplo
1.27, o conjunto de subproposições desta proposição é:
{p, q, r, p ∧ q, (p ∧ q) → r, ∼ ((p ∧ q) → r)}.
Tabela 1.1: Primeira linha da Tabela Verdade.
p
q
r
p∧q
(p ∧ q) → r
∼ ((p∧q) → r)
Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposições, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linha
desta tabela é dada por:
2. De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, V
ou F, que as proposições simples contidas em P possam assumir. O número destas linhas é L = 2n , sendo n o número de
proposições simples contidas em P . No exemplo acima, a fórmula
∼ ((p ∧ q) → r) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto,
a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L = 23 = 8 linhas,
que representam as possibilidades combinatórias entre os valores
verdade de p, q e r. A saber:
Tabela 1.2: Possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r.
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p∧q
(p ∧ q) → r
∼ ((p∧q) → r)
Observe que na Tabela Verdade 1.2 existem algumas colunas não
preenchidas. Tais colunas serão preenchidas de acordo com a Tabela
Verdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co-
Fundamentos de Lógica para Administração
p
17
lunas. Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é a
conjunção ∧, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das
proposições simples p e q. Agora na quinta coluna, o principal conectivo
lógico é a implicação →, pois este é precedido pelo conectivo lógico ∧.
Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos
possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores
verdade da proposição p ∧ q, os quais neste momento já foram determinados na quarta coluna. Finalmente, na última coluna o principal
conectivo lógico é a negação ∼, pois este é precedido pelos conectivos
lógicos ∧ e →, e os valores verdade desta última coluna depende unicamente dos valores verdade de (p ∧ q) → r, os quais, neste momento, já
foram determinados na quinta coluna.
Na seqüência apresentaremos as definições das Tabelas Verdade de
cada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente. Fique atento
às referidas definições e as estude com calma, pois, elas formam a base
para a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta.
Definição 1.29. A proposição ∼ p é a negação da proposição p, de
maneira que se p é verdadeira então ∼ p é falsa, e vice-versa.
Tabela 1.3: Tabela Verdade da Negação.
p
∼p
V
F
F
V
Definição 1.30. A conjunção p ∧ q será verdadeira somente quando as
duas proposições p e q forem verdadeiras.
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.4: Tabela Verdade da Conjunção.
18
p
q
p∧q
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
Definição 1.31. A disjunção p ∨ q será verdadeira quando pelo menos
uma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quando
as duas proposições p e q forem falsas.
Tabela 1.5: Tabela Verdade da Disjunção.
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Definição 1.32. A implicação p → q será falsa somente quando a proposição p for verdadeira e a proposição q for falsa.
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Definição 1.33. A dupla implicação p ↔ q será verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras,
ou ambas falsas.
Exemplo 1.34. Determine os possíveis valores verdade das proposições
a seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade.
1. (p ∧ q) → r
Temos que a proposição em questão possui três proposições simples, p, q e r, e o seu conjunto de subproposições é
{p, q, r, p ∧ q, (p ∧ q) → r}
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Tabela 1.6: Tabela Verdade da Implicação.
19
Tabela 1.7: Tabela Verdade da Dupla Implicação.
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 23 = 8
linhas, a saber:
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.8: Tabela Verdade da proposição (p ∧ q) → r.
20
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p∧q
(p ∧ q) → r
Observe que na quarta coluna da Tabela 1.8 o principal conectivo
lógico é a conjunção ∧, cujos valores verdade dependem dos valores
verdade das proposições simples p e q.
Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na Tabela
Verdade da conjunção (Definição 1.30), observando a primeira e
a segunda coluna da mesma tabela. Na quinta coluna o principal
conectivo lógico é a implicação →, pois este é precedido pelo conectivo lógico ∧. Esta quinta coluna da tabela é construída com base
na Tabela Verdade da implicação (Definição 1.32), observando a
Tabela 1.9: Tabela Verdade da proposição (p ∧ q) → r.
p
q
r
p∧q
(p ∧ q) → r
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade desta
coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p ∧ q.
2. ∼ q →∼ p
Neste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q, e
o seu conjunto de subproposições é
{p, q, ∼ p, ∼ q, ∼ q →∼ p}
Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 22 = 4
linhas, a saber:
p
q
∼q
∼p
∼ q →∼ p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.10: Tabela Verdade da proposição ∼ q →∼ p.
21
Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta coluna é a negação ∼, portanto, são construídas com base na Tabela
Verdade da negação (Definição 1.29), observando a segunda e a
primeira coluna, respectivamente. Já na última coluna, o principal conectivo é →, e é construída com base na Tabela Verdade
da implicação (Definição 1.32), observando a terceira e a quarta
coluna.
3. ∼ p ∨ q
A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições:
{p, q, ∼ p, ∼ p ∨ q}
Portanto, sua Tabela Verdade é dada por:
Tabela 1.11: Tabela Verdade da proposição ∼ p ∨ q.
p
q
∼p
∼p∨q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Fundamentos de Lógica para Administração
Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídas
com base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Definições
1.29 e 1.31), respectivamente.
22
Exercícios Propostos
Quando achar necessário coloque apropriadamente os parênteses
e construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições:
1. (p → r) ∧ (q → r)
2. p ∧ (p → q)
3. ∼ q ∧ (p → q)
4. (p ∨ q) ∧ (∼ p)
5. p → (q ∨ r)
6. p ∧ (p → q) → q
7. ∼ q ∧ (p → q) →∼ p
8. (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)
9. (p ∨ q)∧ ∼ p → q
10. p ∧ q → p
11. p → p ∨ q
12. (p → (q ∨ r))∧ ∼ q → p → r
13. (p → r) ∧ (q → r) → (p ∨ q) → r
15. p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
16. p → (q ∧ r) ↔ (p → q) ∧ (p → r)
17. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
18. p → (q ∨ r) ↔ (p → q) ∨ (p → r)
Fundamentos de Lógica para Administração
14. (p ↔ q) ↔ (p → q) ∧ (q → p)
23
1.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia
Definição 1.35. Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos,
independentemente dos valores verdade das proposições simples que a
compõe. Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F.
Exemplo 1.36. As proposições compostas apresentadas no Exemplo
1.34 são todas uma contingência. De fato, observe que a última coluna
de cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade V
e F.
Definição 1.37. Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros,
independentemente dos valores verdade das proposições simples que a
compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade,
só tem o valor verdade V.
Exemplo 1.38. As proposições p∨ ∼ p, p ∧ (p → q) → q, ∼ q ∧ (p →
q) →∼ p e ∼ (p ∧ q) →∼ p∨ ∼ q são tautologias. De fato, basta
observar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade das
proposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V.
Tabela 1.12: Tabela Verdade da proposição p∨ ∼ p.
p
∼p
p∨ ∼ p
V
F
V
F
V
V
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.13: Tabela Verdade da proposição p ∧ (p → q) → q.
24
p
q
p→q
p ∧ (p → q)
p ∧ (p → q) → q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
25
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
q
V
V
p
q
p
V
V
F
F
∼p
V
V
F
F
V
F
V
F
∼q
V
V
F
V
p→q
V
F
F
F
∼ q ∧ (p → q)
V
V
V
V
V
F
V
F
∼q
F
F
F
V
V
V
V
F
∼ (p ∧ q)
Fundamentos de Lógica para Administração
p∧q
V
V
V
F
∼ p∨ ∼ q
V
V
V
V
∼ (p ∧ q) →∼ p∨ ∼ q
∼ q∧(p → q) →∼ p
Tabela 1.15: Tabela Verdade da proposição ∼ (p ∧ q) →∼ p∨ ∼ q.
∼p
Tabela 1.14: Tabela Verdade da proposição ∼ q ∧ (p → q) →∼ p.
Definição 1.39 (Contra-Tautologia). Dizemos que uma proposição
composta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdade
são sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua
Tabela Verdade, só tem o valor verdade F.
Exemplo 1.40. As proposições p∧ ∼ p, ∼ (p ∨ q) ∧ p, ∼ (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
são contra-tautologia. De fato, observe que a última coluna de cada uma
das respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valores
verdade, só tem o valor verdade F.
Tabela 1.16: Tabela Verdade da proposição p∧ ∼ p.
p
∼p
p∧ ∼ p
V
F
F
F
V
F
Tabela 1.17: Tabela Verdade da proposição ∼ (p ∨ q) ∧ p.
p
q
p∨q
∼ (p ∨ q)
∼ (p ∨ q) ∧ p
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.18: Tabela Verdade da proposição ∼ (p ∧ q) ↔ (q ∧ p).
26
p
q
p∧q
q∧p
∼ (p∧q)
∼ (p∧q) ↔ (q∧p)
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
1.4 Implicação e Equivalência Tautológica
Definição 1.41. A proposição P implica tautologicamente a proposição
Q, e indicamos por P ⇒ Q se, e somente se, a fórmula P → Q é uma
tautologia.
Exemplo 1.42.
1. Dadas as proposições P : p ∧ (p → q) e Q : q,
vimos no Exemplo 1.38 que P → Q é uma tautologia, ou seja,
P ⇒ Q. Logo, P implica tautologicamente a proposição Q.
2. No mesmo Exemplo 1.38 temos que ∼ q∧(p → q) →∼ p é uma tautologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamente
a proposição Q, sendo P :∼ q ∧ (p → q) e Q :∼ p.
3. Considere as proposições P : (p ∨ q)∧ ∼ p e Q : q e verifiquemos se
P ⇒ Q. Para isto basta verificar, com o uso da Tabela Verdade,
se P → Q é uma tautologia. Veja Tabela 1.20.
Definição 1.43. Duas proposições P e Q são tautologicamente equivalentes, e indicamos por P ⇔ Q, se, e somente se, a proposição P ↔ Q é
uma tautologia.
Exemplo 1.44.
1. É fácil ver que as implicações p → q e ∼ q →∼ p
são equivalentes, ou seja, p → q ⇔ ∼ q →∼ p. Certamente,
construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p →
q ↔ ∼ q →∼ p é uma tautologia, como se vê na Tabela 1.21.
2. Verifiquemos que proposição p → q é equivalente a proposição
∼ p ∨ q. Para isto basta verificar que a proposição p → q ↔∼ p ∨ q
é uma tautologia. O que de fato acontece como mostra a Tabela
Verdade a seguir.
p
q
∼p
p→p
∼ p∨q
p → q ↔∼ p∨q
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Fundamentos de Lógica para Administração
Tabela 1.19: Tabela Verdade da proposição p → q ↔∼ p ∨ q.
27
28
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p
V
V
F
F
p
V
V
F
F
V
V
F
V
p→
q
F
V
V
V
p∨q
F
V
V
V
p∨q
F
V
F
F
(p ∨ q)∧ ∼ p
V
V
V
V
(p ∨ q)∧ ∼ p → q
V
F
V
F
∼q
V
V
F
F
∼p
V
V
F
V
∼ q →∼ p
V
V
V
V
p → q ↔ ∼ q →∼ p
Tabela 1.21: Tabela Verdade da proposição p → q ↔ ∼ q →∼ p.
V
V
F
F
∼p
Tabela 1.20: Tabela Verdade da proposição (p ∨ q)∧ ∼ p → q.
Fundamentos de Lógica para Administração
Exercícios Propostos
1. Verifique as seguintes implicações tautológicas:
(a) Modus Ponens:
p ∧ (p → q) ⇒ q
(b) Modus Tollens:
∼ q ∧ (p → q) ⇒∼ p
(c) Silogismo Hipotético:
(p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r)
(d) Silogismo Disjuntivo:
(p ∨ q)∧ ∼ p ⇒ q
(e) Simplificação:
p∧q ⇒p
(f) Adição:
p⇒p∨q
(h) Prova por Casos:
(i) Negação:
(j) Contraposição:
(k) Troca de Premissas:
(p → (q ∨ r))∧ ∼ q ⇒ p → r
(p → r) ∧ (q → r) ⇒ (p ∨ q) → r
∼ (∼ p) ⇒ p
p → q ⇒∼ q →∼ p
p → (q → r) ⇒ q → (p → r)
(l) Idempotente para ∧::
p∧p⇒p
(m) Idempotente para ∨:
p∨p⇒p
(n) Associativa para ∧:
(p ∧ q) ∧ r ⇒ p ∧ (q ∧ r)
(o) Associativa para ∨:
(p ∨ q) ∨ r ⇒ p ∨ (q ∨ r)
(p) Lei de De Morgan:
∼ (p ∧ q) ⇒∼ p∨ ∼ q
(q) Lei de De Morgan:
∼ (p ∨ q) ⇒∼ p∧ ∼ q
(r) Definição Implicação:
p → q ⇒∼ p ∨ q
(s) Comutativa para ∧:
p∧q ⇒q∧p
(t) Comutativa para ∨:
p∨q ⇒q∨p
Fundamentos de Lógica para Administração
(g) Eliminação:
29
2. Verifique as seguintes equivalências tautológicas:
(a) Comutativa para ∧:
p∧q ⇔q∧p
(b) Comutativa para ∨:
p∨q ⇔q∨p
(c) Associativa para ∧:
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(d) Associativa para ∨:
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(e) Idempotente para ∧:
p∧p⇔p
(f) Idempotente para ∨:
p∨p⇔p
(g) Absorção:
p ∧ (p ∨ r) ⇔ p
(h) Absorção:
p ∨ (p ∧ r) ⇔ p
(i) Distributivas para ∧:
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(j) Distributivas para ∨:
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(k) Distributivas para →: p → (q ∧ r) ⇔ (p → q) ∧ (p → r)
(l) Distributivas para →: p → (q ∨ r) ⇔ (p → q) ∨ (p → r)
(m) Lei de De Morgan:
∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q
(n) Lei de De Morgan:
∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q
(o) Definição Implicação:
p → q ⇔∼ p ∨ q
(p) Definição Implicação:
p → q ⇔∼ (p∧ ∼ q)
(q) Definição Bicondicional:
p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Fundamentos de Lógica para Administração
(r) Definição Bicondicional: p ↔ q ⇔ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p)
30
∼ (∼ p) ⇔ p
(s) Negação:
(t) Contraposição:
(u) Troca de Premissas:
p → q ⇔∼ q →∼ p
p → (q → r) ⇔ q → (p → r)
(v) Exportação (⇒) e Importação (⇐):
(p ∧ q) → r ⇔ p → (q → r)