Matemática

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Matemática
Setor A
Prof.:
Regular – Caderno 6 – Código: 826271209
Índice-controle de Estudo
Aula 19 (pág. 74)
AD
TM
TC
Aula 20 (pág. 75)
AD
TM
TC
Aula 21 (pág. 76)
AD
TM
TC
Aula 22 (pág. 77)
AD
TM
TC
Aula 23 (pág. 78)
AD
TM
TC
Aula 24 (pág. 79)
AD
TM
TC
Aula 25 (pág. 81)
AD
TM
TC
Aula 26 (pág. 83)
AD
TM
TC
Aula 27 (pág. 84)
AD
TM
TC
Aula 28 (pág. 86)
AD
TM
TC
Aula 29 (pág. 86)
AD
TM
TC
Aula 30 (pág. 88)
AD
TM
TC
Aula 31 (pág. 89)
AD
TM
TC
Aula 32 (pág. 91)
AD
TM
TC
Aula 33 (pág. 92)
AD
TM
TC
Aula 34 (pág. 94)
AD
TM
TC
Aula 35 (pág. 94)
AD
TM
TC
Aula 36 (pág. 96)
AD
TM
TC
Aula
h) Todo número inteiro não múltiplo de 3 é o sucessor
ou antecessor de algum múltiplo de 3.
i) Há números inteiros múltiplos de 2 e de 5 que não
são múltiplos de 20, como, por exemplo, 10, 30, 50
etc.
j) Para todo número inteiro n maior que 1, os números 1,
– 1, n e – n são divisores distintos de n.
k) Se n for um número composto (não primo, diferente
de 1 e diferente de – 1), então n admite mais que 4 divisores distintos.
Aritmética dos inteiros
• divisores e múltiplos
1. Classificar com V (verdadeira) ou F (falsa) cada
uma das seguintes proposições:
a) ( V ) 0 (zero) é um múltiplo de 2.
b) ( V ) 0 (zero) é um número par.
c) ( V ) Todo número par é da forma 2n.
d) ( V ) Todo número ímpar é da forma 2n + 1,
em que n é um número inteiro.
e) ( V ) Todo número ímpar é da forma 2n – 1,
em que n é um número inteiro.
f) ( F ) Todo número inteiro não múltiplo de 3 é
da forma 3n + 1, em que n é um número
inteiro.
g) ( F ) Todo número inteiro não múltiplo de 3 é
da forma 3n – 1, em que n é um número
inteiro.
h) ( V ) Todo número inteiro não múltiplo de 3 é
da forma 3n 1, em que n é um número
inteiro.
i) ( F ) Se um número inteiro é múltiplo de 2 e
de 5, então ele é múltiplo de 20.
j) ( V ) Todo número inteiro maior que 1 admite
pelo menos 4 divisores distintos.
k) ( F ) Todo número inteiro maior que 1 admite
apenas 4 divisores distintos.
2. Obtenha todos os pares ordenados (a, b) de
números inteiros, tais que a2 = b2 + 11.
a2 – b2 = 11
(a – b)(a + b) = 11
11 deve ser expresso na forma de um produto de dois fatores (inteiros).
Como 11 é um número primo, há apenas 4 casos:
a – b = 1 e a + b = 11
∴ (a, b) (6, 5)
a – b = 11 e a + b = 1
∴ (a, b) = (6, – 5)
a – b = – 1 e a + b = – 11
∴ (a, b) = (– 6, – 5)
a – b = – 11 e a + b = – 1
∴ (a, b) = (– 6, 5)
a) e b) 0 = 2 ⋅ 0. Logo, 0 é um múltiplo de 2, isto é, 0 é
um número par.
c) Todo número par é um múltiplo de 2.
d) Todo o número ímpar é o sucessor de algum número par.
e) Todo o número ímpar é o antecessor de algum
número par.
f) Há números inteiros não múltiplos de 3 que não são da
forma 3n + 1, com n inteiro; isto é, não são o sucessor
de algum múltiplo de 3. (Exemplos: – 1, 2, 5 etc.)
g) Há números inteiros não múltiplos de 3 que não são
da forma 3n – 1, com n inteiro; isto é, não são o antecessor de algum múltiplo de 3. (Exemplos: – 2, 1, 4,
7 etc.)
ensino médio – 2ª- série
19
Consulte
Livro 2 – Capítulo 42
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 42
Tarefa Mínima
1. Leia os itens de 1 a 6.
2. Faça os exercícios 1, 2 e 3.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 4 e 5.
74
sistema anglo de ensino
Aula
2. O quociente e o resto da divisão euclidiana do
número inteiro n pelo número inteiro d são,
nessa ordem, iguais a 17 e 2. Obtenha n + d,
dado que n – d = 274.
Aritmética dos inteiros
n = d ⋅ 17 + 2
Como n = d + 274, temos:
d + 274 = 17d + 2
272
= 17
272 = 16d ∴ d =
16
• divisão euclidiana
1. Obtenha o quociente e o resto da divisão euclidiana de:
a) 75 por 36
b) 750 por 360
a)
75
36
– 72
2
20
n = 17 + 274 = 291
∴ n + d = 308 (Resposta)
3
b)
750
– 720
360
2
30
Consulte
Livro 2 – Capítulo 42
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 42
Tarefa Mínima
1. Leia o item 7.
2. Faça os exercícios 6 e 7.
Tarefa Complementar
1. Faça os exercícios 8, 9 e 10.
2. Faça os exercícios de 13 a 16.
ensino médio – 2ª- série
75
sistema anglo de ensino
Aula
21
2. Quais são os números primos da forma a2 – 16,
em que a é um número inteiro?
a2 – 16 = (a – 4)(a + 4)
Uma condição necessária (mas não suficiente) para que a2
– 16 seja primo é que um dos fatores, (a – 4) ou (a + 4),
seja igual a 1 ou – 1.
De (a – 4) = 1, temos a = 5 e, portanto, a2 – 16 = 9 (composto).
De (a + 4) = 1, temos a = –3 e, portanto, a2 – 16 = –7 (primo).
De (a – 4) = – 1, temos a = 3 e, portanto, a2 – 16 = – 7.
De (a + 4) = – 1, temos a = – 5 e, portanto, a2 – 16 = 9.
Aritmética dos inteiros
• exercícios
1. Sabendo que 182 293 e que não existe um
número inteiro k, com 1 k 18, tal que k seja
um divisor de 293, podemos concluir que:
a) 293 possui apenas dois divisores.
➜ b) 293 é um número primo.
c) pelo menos um dos elementos do conjunto
{18, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43} é um divisor de
293.
d) a soma dos divisores de 293 é um número
ímpar.
e) nenhum divisor de 293 é maior que 18.
Resposta: – 7
3. Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de k, de modo que k + 17 seja um múltiplo de k – 6.
k + 17 = k – 6 + 23
Para todo k, k – 6 é múltiplo de k – 6.
Logo, k + 17 é múltiplo de k – 6 se, e somente se, 23 é
múltiplo de k – 6.
k – 6 é um divisor de 23
k – 6 ∈ {1, 23, – 1, – 23}
k ∈ {7, 29, 5, – 17}
Sendo o número inteiro d, d 18, um divisor de 293,
temos:
• existe um número positivo k, tal que d ⋅ k = 293.
• k é um divisor positivo de 293.
• como 18 ⋅ 18 293 e d 18, devemos ter k 18.
• como não existe um número inteiro k, com 1 k 18,
tal que k seja um divisor de 293, temos k = 1.
• de k = 1 e d ⋅ k = 293, temos d = 293.
• os números 1 e 293 são os únicos divisores positivos
de 293.
• os números 1, – 1, 293 e – 293 são os únicos divisores de 293.
• 293 é um número primo.
Resposta: {– 17, 5, 7, 29}
Consulte
Livro 2 – Capítulo 42
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 42
Tarefa Mínima
Faça os exercícios 20 e 22.
Tarefa Complementar
1. Faça os exercícios 23 e 21.
2. Faça os exercícios 17, 18 e 19.
ensino médio – 2ª- série
76
sistema anglo de ensino
Aula
22
2. Obtenha o máximo divisor comum e o mínimo
múltiplo comum dos números 391 e 221.
Aritmética dos inteiros
391
221
170
51
• mdc e mmc
170
51
17
0
17
Logo, mdc(391, 221) = 17
mmc(371, 221) =
391 ⋅ 221
= 391 ⋅ 13 = 5083
17
1. Sendo a = 32 ⋅ 56, b = 34 ⋅ 51 ⋅ 78, d = mdc(a, b) e
m = mmc(a, b), obtenha a forma decomposta de:
a) a ⋅ b
b) d
c) m
d) d ⋅ m
a)
b)
c)
d)
a ⋅ b = 36 ⋅ 57 ⋅ 78.
d = 32 ⋅ 51.
m = 34 ⋅ 56 ⋅ 78.
d ⋅ m = 36 ⋅ 57 ⋅ 78.
Note que, sendo a e b inteiros quaisquer, temos
d⋅m= a⋅b.
Consulte
Livro 2 – Capítulo 42
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 42
Tarefa Mínima
1. Leia os itens de 8 a 12.
2. Faça os exercícios 26 e 28.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 24, 25 e 27.
ensino médio – 2ª- série
77
sistema anglo de ensino
Aula
sen
=
Tangente da soma e da diferença de
dois arcos e tangente do dobro de
um arco
cos
23
π cos x + sen x cos π
2
π
2
2
cos x – sen
π
2
=
sen x
cos x
= – cotg x
– sen x
• Aplicar as relações envolvendo tg(a b) e tg 2x
3. Sendo a e b dois ângulos agudos tais que tga =
e tg b =
1
2
1
, calcule a + b.
3
1. Calcule tg 75º.
O arco de 75º pode ser decomposto em 45º + 30º.
Assim:
tg 45º + tg 30º
=
1 – tg 45º tg 30º
tg 75º = tg (45º + 30º) =
1+
=
1–
=
3
3
3
=
3
3 + ⋅
3
3 – tg(a + b) =
3
3 + 3
3 + tg a + tg b
=
1 – tg a tg b
1
1
+
2
3
=1
1
1
⋅
1–
2 3
Na circunferência trigonométrica:
1
=
3
3+ 3
3
9 + 6
12 + 6
3
=
= 2 + 9–3
6
Como a e b são ângulos agudos, a + b = 45º.
2. Simplifique:
a) tg(π – x)
b) tg
⎞π
⎠2
+x
a) tg(π – x) =
⎞
⎠
0 – tg x
tg π – tg x
=
= – tg x
1 + 0 ⋅ tg x
1 + tg π tg x
b) Neste caso, não podemos aplicar a fórmula, pois tg
Consulte
π
Livro 2 – Capítulo 44
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 44
2
não existe.
Assim:
= tg ⎞ π + x ⎞ =
⎠2 ⎠
ensino médio – 2ª- série
Tarefa Mínima
sen ⎞
π + x⎞
⎠2
1. Leia os itens 4 e 8.
2. Faça os exercícios de 24 a 27.
⎠
cos ⎞ π + x ⎞
⎠2 ⎠
Tarefa Complementar
Faça os exercícios de 28 a 30.
78
sistema anglo de ensino
Aula
24
c) 15 π
Dividindo 15 π por 2 π, temos:
Os arcos trigonométricos
fora da primeira volta
15 π
2π
1π
7
15 π = 7 ⋅ 2 π + π
A determinação principal é α = π rad
• Encontrar a determinação principal de arcos
trigonométricos
• Obter seno, co-seno e tangente de arcos que estão fora da primeira volta
d)
25 π
6
Para efetuarmos a divisão, fazemos 2 π igual a
25
1. Encontre a determinação principal dos seguintes arcos trigonométricos:
a) 1.590º
b) – 300º
c) 15π rad
d)
π
6
π
6
12
π
6
2
A determinação principal é α =
25 π
rad
6
a) 1.590º
Dividimos 1.590º por 360º; o quociente natural é o
número de voltas; e o resto α, 0º α 360º, é a
determinação principal.
1.590º
360º
150º
12 π :
6
π rad
6
2. Obtenha seno, co-seno e tangente de 870º.
Dividindo 870º por 360º, temos:
870º
360º
4
150º
1.590º = 4 ⋅ 360º + 150º
2
Como 150º está no 2º quadrante, o seno é positivo, o
co-seno é negativo e a tangente é negativa; lembrando
dos arcos trigonométricos correspondentes:
Logo, a determinação principal é α = 150º
b) – 300º
A determinação principal dos arcos côngruos a – 300º
é o arco de medida α, 0º α 360º, que tem a
mesma extremidade.
sen 870º = sen 150º = sen 30º =
– 300° ≡ 60°
1
2
cos 870º = cos 150º = – cos 30º = –
tg 870º = tg 150º = –tg 30º = –
3
2
3
3
Assim, α = – 300º + 360º = 60º
A determinação principal é α = 60º.
ensino médio – 2ª- série
79
sistema anglo de ensino
3. Obtenha seno, co-seno e tangente de – 1.140º.
Em vez de procurarmos a determinação principal de
– 1.140º, podemos passar direto para arcos positivos,
usando as relações entre os arcos x e – x.
sen (– 1.140º) = – sen 1.140º
cos (– 1.140º) = cos 1.140º
tg (– 1.140º) = – tg 1.140º
Assim, dividimos 1.140º por 360º:
1.140º
360º
60º
3
Logo:
sen (– 1.140º) = – sen 1.140º = – sen 60º = –
cos (– 1.140º) = cos 1.140º = cos 60º =
3
2
1
2
tg (– 1.140º) = – tg 1.140º = – tg 60º = – 3
Outro modo (se o professor preferir):
1140° ≡ 60°
–1140° ≡ – 60°
Observando a figura:
sen (– 1.140º) = – sen 60º = –
cos (– 1.140º) = cos 60º =
3
2
1
2
3
tg (– 1.140º) = – tg 60º = – Consulte
Livro 2 – Capítulo 43
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 43
Tarefa Mínima
1. Leia os itens 1 e 2.
2. Faça os exercícios 1, 2 e 4.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 3 e 5.
ensino médio – 2ª- série
80
sistema anglo de ensino
Aula
25
3π
+ h2π, h ∈ Z
4
Logo, x =
Aplicação dos números reais na
circunferência trigonométrica
c) P
• Aplicação dos números reais na circunferência
trigonométrica
• Respostas com solução geral (solução em IR)
O correspondente a
π
π+
=
4
π
4
no 3º- quadrante é:
5π
4
5π
+ h2π, h ∈ Z
4
Logo, x =
O polígono inscrito na circunferência trigonométrica a seguir é um quadrado.
d) Q
M
N
O correspondente a
2π –
Logo, x =
4
f)
g)
h)
i)
7π
4
7π
+ h2π, h ∈ Z
4
Poderíamos ter escrito x = –
, dê a expressão dos reais com imagens
nos pontos:
a) M
b) N
c) P
d) Q
e) M ou P
=
4
Observação
Sendo um dos reais com imagem no ponto M
π
4
Q
P
igual a
π
π no 4º- quadrante é:
N ou Q
M ou N
M ou Q
M, N, P ou Q
π
4
+ h2π, h ∈ Z
e) M ou P
Como M e P são extremidades de um diâmetro, temos:
x=
π
4
+ hπ, h ∈ Z
a) M
x = π + h2π, h ∈ Z
4
f) N ou Q
x=
b) N
O correspondente a
π–
π
4
=
π
4
Observação
no 2º- quadrante é:
Poderíamos ter escrito x = –
3π
4
ensino médio – 2ª- série
3π
+ hπ, h ∈ Z
4
81
π
4
+ h π, h ∈ Z
sistema anglo de ensino
g) M ou N
Como M e N não são extremidades de um diâmetro,
lemos um ponto de cada vez; logo:
x=
π + h2π ou x = 3π + h2π, h ∈ Z
4
4
h) M ou Q
Lendo um ponto de cada vez:
π + h2π ou
x=
4
x=–
π + h2π, h ∈ Z
4
Podemos, ainda, resumir em:
x=
π
4
+ h2π, h ∈ Z
i) M, N, P ou Q
Como M, N, P e Q são vértices de um quadrado,
temos:
x=
π + h2π , h ∈ Z
4
4
Ou, ainda, x =
π + hπ , h ∈ Z
4
2
Consulte
Livro 2 – Capítulo 43
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 43
Tarefa Mínima
1. Leia os itens de 3 a 5.
2. Faça o exercício 9.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 10 e 11.
ensino médio – 2ª- série
82
sistema anglo de ensino
Aula
26
c) tg x = 3
3
Equações trigonométricas
• Equações trigonométricas com solução geral
(solução em IR)
1. Resolva em IR as equações:
⎫
S = ⎬ x ∈ IR | x =
1
a) sen x =
2
⎭
π + hπ, h ∈ Z
3
⎫
⎬
⎭
2. Resolva em IR a equação: cos3 x – cos x = 0
Colocando cos x em evidência, temos:
cos x (cos2 x – 1) = 0
cos x = 0 ou cos2 x – 1 = 0 ∴ cos x = 1
1
2
⎫
S = ⎬ x ∈ IR | x =
⎭
π + h2π ou x = 5π + h2π, h ∈ Z
6
6
⎫
⎬
⎭
–1
0
1
Esses pontos dividem a circunferência em quatro partes
iguais. Assim:
b) cos x =
2
x=0+h
2
2π
hπ
∴ x=
,h∈Z
4
2
⎫
S = ⎬ x ∈ IR | x =
⎭
hπ
,h∈Z
2
⎫
⎬
⎭
2
2
Consulte
⎫
S = ⎬ x ∈ IR | x = ⎭
π + h2π, h ∈ Z
4
Livro 2 – Capítulo 43
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 43
⎫
⎬
⎭
Tarefa Mínima
Faça os exercícios 12 e 13.
Tarefa Complementar
Faça o exercício 14
ensino médio – 2ª- série
83
sistema anglo de ensino
Aula
27
1
Equações trigonométricas
• Equações trigonométricas nas quais o arco é uma
expressão em x
2x =
1. Resolva em IR a equação: sen 2x = 1
⎫
S = ⎬ x ∈ IR | x =
⎭
4
4
4
π + 2 π (não convém)
4
π , 5π
4
4
4
4
⎫
⎬
⎭
2º- modo
Para termos x no intervalo 0 x 2 π, devemos procurar 2x no intervalo 0 2x 4 π
+ h π, h ∈ Z
π + h π, h ∈ Z
π
h=2⇒x=
⎭
+ h2π ∴ x =
+ h π, h ∈ Z
4
π + π = 5π
⎫
2
π
h=1⇒x=
S =⎬
2x =
+ h2π ∴ x =
h=0⇒x=
1
π
2
Como 0 x 2π, temos:
Devemos encontrar os valores de 2x que possuem ordenada igual a 1.
π
π
⎫
⎬
⎭
1
2x =
π ∴ x= π
2
4
ou
2x =
2. Resolva, no intervalo 0 x 2π, a equação:
sen 2x = 1
⎫
S =⎬
⎭
1º- modo
Em primeiro lugar, determinamos a solução geral; depois, atribuímos valores convenientes para h, para encontrarmos as respostas no intervalo pedido.
ensino médio – 2ª- série
π + 2 π ∴ 2x = 5 π ∴ x = 5 π
2
2
π , 5π
4
4
4
⎫
⎬
⎭
Nota:
O 1º- modo é mais adequado para o aluno, já que este não
se lembra de arrumar o intervalo no 2º- modo.
84
sistema anglo de ensino
3.
(UNIFESP)
Considere a função
y = f(x) = 1 + sen ⎞ 2 π x –
⎠
π
2
⎞ , definida para todo
⎠
x real. Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais que y = 1.
1 + sen ⎞ 2 π x –
⎠
π
2
⎞ =1
⎠
∴ sen ⎞ 2 π x –
⎠
π
2
⎞ =0
⎠
0 + hπ, h ∈ Z
2πx –
π
2
= hπ , h ∈ Z ∴ 2 π x =
π
2
+ h π, h ∈ Z
∴ x= 1 + h, h∈Z
4
2
Consulte
No intervalo [0, 1], temos:
h=0 ⇒ x=
h=1 ⇒ x=
Resposta:
Livro 2 – Capítulo 43
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 43
1
4
Tarefa Mínima
1
1
3
+
=
4
2
4
Faça os exercícios 15, 16 e 17.
Tarefa Complementar
1
3
e
4
4
ensino médio – 2ª- série
Faça os exercícios 18, 19 e 20.
85
sistema anglo de ensino
28 e 29
Aulas
2. Fatore a expressão: cos a + 1
Trocando o número 1 por cos 0, temos:
Fatoração da soma e da diferença
de senos e de co-senos
cos a + cos 0 = 2 cos
a+0
a–0
a
cos
= 2 cos2
2
2
2
• Fatorar sen a sen b e cos a cos b
1. Fatore:
a) sen 20º + sen 10º
b) sen 10º – sen 40º
c) cos 50º + sen 70º
d) cos 40º – sen 80º
a) sen 20º + sen 10º = 2 sen
20º + 10º
20º – 10º
cos
=
2
2
3. Resolva em IR a equação: sen 3x + sen x = 0
= 2 sen 15º cos 5º
2 sen
10º – 40º
10º + 40º
b) sen 10º – sen 40º = 2 sen
cos
=
2
2
sen 2x = 0 ∴ 2x = hπ ∴ x =
= 2 sen (– 15º) cos 25°
Como sen (– 15º) = – sen 15º,
sen 10º – sen 40º = – 2 sen 15º cos 25º
cos x = 0 ∴ x =
Como a resposta
50º + 20º
50º – 20º
cos
= 2 cos 35º cos 15º
2
2
2
+ hπ
hπ
, h ∈ Z, contém a resposta
2
2
primeira.
40º + 10º
40º – 10º
sen
= – 2 sen 25º sen 15º
2
2
ensino médio – 2ª- série
π
π + hπ, h ∈ Z, no conjunto-solução basta colocar a
d) Fazendo sen 80º = cos (90º – 80º) = cos 10º, temos:
cos 40º – cos 10º =
= – 2 sen
hπ
2
ou
c) Fazendo sen 70º = cos (90º – 70º) = cos 20º, temos:
cos 50º + cos 20º =
= 2 cos
3x + x
3x – x
cos
= 0 ∴ 2 sen 2x cos x = 0
2
2
S=
86
⎫
⎬x
⎭
⎫
∈ IR / x = hπ , h ∈ Z ⎬
2
⎭
sistema anglo de ensino
4. Resolva em IR a equação:
cos x + 2 cos 2x + cos 3x = 0
cos 3x + cos x + 2 cos 2x = 0
2 cos
3x + x
3x – x
cos
+ 2 cos 2x = 0
2
2
2 cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0
2 cos 2x(cos x + 1) = 0
cos 2x = 0 ∴ 2x =
π
2
+ hπ ∴ x =
π
4
+
hπ
2
ou
cos x = – 1 ∴ x = π + h2π
S=
⎫
⎬x
⎭
⎫
∈ IR / x = π + hπ ou x = π + h2π, h ∈ Z⎬
4
2
⎭
Consulte
Livro 2 – Capítulo 45
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 45
Tarefa Mínima
AULA 28
1. Leia os itens 1 e 2.
2. Faça os exercícios 1 e 2.
AULA 29
Faça os exercícios 5 e 6.
Tarefa Complementar
AULA 28
Faça os exercícios 3 e 4.
AULA 29
Faça os exercícios 7 e 8.
ensino médio – 2ª- série
87
sistema anglo de ensino
Aula
30
2. Resolva em IR a equação: tg 2x = tg x
tg 2x – tg x = 0 ∴
Fatoração da soma
e da diferença de tangentes
sen x
=0
cos 2x cos x
C.E.: cos 2x cos x ≠ 0
Temos:
sen x = 0 ∴ x = hπ, h ∈ Z (que verifica as condições
de existência)
Logo:
S = {x ∈ IR / x = hπ, ∈ Z }
• Fatorar tg a tg b
1. Fatore:
a) tg 50º + tg 20º
b) tg 40º – tg 10º
a) tg 50º + tg 20º =
=
sen 70º
cos 50º cos 20º
b) tg 40º – tg 10º =
=
sen (50º + 20º)
=
cos 50º cos 20º
sen (40º – 10º)
=
cos 40º cos 10º
sen 30º
1
=
cos 40º cos 10º
2 cos 40º cos 10º
Consulte
Livro 2 – Capítulo 45
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 45
Tarefa Mínima
1. Leia o item 3.
2. Faça os exercícios 9 e 10.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 11 e 12.
ensino médio – 2ª- série
88
sistema anglo de ensino
Aula
31
2. Dê o domínio, o conjunto-imagem e o gráfico
de f(x) = 2 + sen x.
Domínio: D = IR
Conjunto-imagem:
– 1 sen x 1 ∴ 1 2 + sen x 3 ∴ Im = [1; 3]
Gráfico:
Para esboçarmos o gráfico, basta um período completo
de variação; assim, temos a tabela:
Função seno
• Apresentar a função seno, obtendo o domínio, o
conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico
1. Determine k, de modo que se verifique
sen x = 3k – 1.
Resposta: 0 k sen x
2 + sen x
0
0
2
1
3
0
2
–1
1
0
2
π
2
π
3π
Lembrando que – 1 sen x 1, temos:
– 1 3k – 1 1 ∴ 0 3k 2 ∴ 0 k x
2
3
2
2π
2
3
Localizando, em um sistema de coordenadas cartesianas, os pares (x, 2 + sen x), temos:
y
3
2
1
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Nota
Poderíamos ter obtido o conjunto-imagem diretamente
do gráfico: Im = [1, 3]
ensino médio – 2ª- série
89
sistema anglo de ensino
3. Esboce o gráfico de y = 3 sen x e dê o seu conjunto-imagem.
Temos a tabela:
x
sen x
3 sen x
0
0
0
1
3
0
0
–1
–3
0
0
π
2
π
3π
2
2π
Localizando os pares (x, 3 sen x):
y
3
2
1
0
π
π
2
3π
2
2π
x
–1
–2
–3
Do gráfico, temos: Im = [– 3; 3]
Consulte
Livro 2 – Capítulo 46
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 46
Tarefa Mínima
1. Leia os itens 1 e 2.
2. Faça os exercícios 1, 2 e 3.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios de 4 a 7.
ensino médio – 2ª- série
90
sistema anglo de ensino
Aula
32
3. Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de
f(x) = – 1 + 3 cos x.
Temos a tabela:
Função co-seno
x
cos x
– 1 + 3 cos x
• Apresentar a função co-seno, obtendo o domínio,
o conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico
0
1
2
0
–1
–1
–4
0
–1
1
2
π
2
π
3π
2
1. Determine m, de modo que se tenha
2π
m–1
cos x =
.
5
Gráfico:
y
Lembrando que – 1 cos x 1, temos:
–1 2
m–1
1 ∴ –5 m – 1 5 ∴ –4 m 6
5
Resposta: – 4 m 6
1
2. Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de
f(x) = – 2 + cos x.
0
–1
Temos a tabela:
cos x
– 2 + cos x
0
1
–1
–3
0
–2
–4
–1
–3
0
–2
1
–1
2
π
3π
2
2π
2
π
3π
2
2π
x
–2
x
π
π
Conjunto-imagem: Im = [–4, 2]
Gráfico:
y
0
–1
π
2
π
3π
2
2π
Consulte
x
Livro 2 – Capítulo 46
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 46
–2
Tarefa Mínima
–3
1. Leia o item 3.
2. Faça os exercícios 8, 9 e 10.
Tarefa Complementar
Conjunto-imagem: Im = [– 3, – 1]
ensino médio – 2ª- série
Faça os exercícios de 11 a 14.
91
sistema anglo de ensino
Aula
33
2. Determine o domínio de f(x) = cosec ⎞ x –
⎠
π
3
⎞
⎠
Podemos escrever:
Função tangente
f(x) = cosec ⎞ x –
• Apresentar a função tangente, obtendo o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de seu gráfico.
⎠
π
3
⎞=
⎠
1
sen ⎞ x –
π
⎠
3
⎞
⎠
Para existir f(x), devemos ter: sen ⎞ x –
⎠
1. Dê o domínio de f(x) = tg 2x.
Podemos escrever: f(x) = tg 2x =
π
3
⎞ ≠0
⎠
Assim:
sen 2x
cos 2x
Para existir f(x), devemos ter: cos 2x ≠ 0
Assim:
∴ x – π ≠ hπ, h ∈ Z
3
∴ x ≠ π + hπ , h ∈ Z
3
∴ 2x ≠ π + hπ, h ∈ Z ∴ x ≠ π + hπ , h ∈ Z
2
D=
⎫
⎬x
⎭
4
D=
2
⎫
⎬x
⎭
⎫
∈ IR / x ≠ π + hπ, h ∈ Z⎬
3
⎭
⎫
∈ IR / x ≠ π + hπ , h ∈ Z⎬
ensino médio – 2ª- série
4
2
⎭
92
sistema anglo de ensino
3. Esboce o gráfico de y = – 1 + tg x e dê o seu conjunto-imagem.
Como o período da tg x é π, basta esboçar o gráfico de
0 a π.
Temos a tabela:
x
tgx
–1 + tgx
0
0
–1
∃/
∃/
0
–1
π
2
π
y
0
–1
π
π
x
2
Do gráfico: Im = IR
Consulte
Livro 2 – Capítulo 46
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 46
Tarefa Mínima
1. Leia o item 4.
2. Faça os exercícios 15, 16 e 17.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 18 e 19.
ensino médio – 2ª- série
93
sistema anglo de ensino
Aulas
34 e 35
3. Dê o período e esboce o gráfico de f(x) = sen 2x.
O período é p =
Funções seno e co-seno de (mx + n)
2π
= 2π = π
2
|2|
Para o gráfico, vamos propor a seguinte tabela:
• Na primeira coluna (2x), atribuímos os valores
• Cálculo de período; obtenção de domínio, conjunto-imagem e gráfico de seno e co-seno de expressões do tipo mx + n, m ≠ 0.
0, π , π, 3π e 2π
2
2
• Na segunda coluna (x), isolamos os valores de x
• Na terceira coluna (sen 2x), encontramos os resultados para f(x)
1. Determine o período das funções.
a) f(x) = sen 3x
b) f(x) = cos ⎞ 2x –
⎠
⎞
3⎠
π
a) p = 2π = 2π
|3|
3
b) p =
2π
=π
|2|
2x
x
sen 2x
0
0
0
π
π
2
4
1
π
π
3π
2
3π
4
–1
2π
π
0
0
2
Localizando, em um sistema de coordenadas cartesianas, os pares (x, sen 2x), temos:
y
1
2. Obtenha a na função f(x) = sen (ax), sabendo
que o seu período é igual a
f(x) = sen(ax) ⇒ p =
π
5
.
0
2π
|a |
π
π
4
2
3π
4
π
x
–1
2π
∴ | a | = 10 ∴ a = 10
Do enunciado: π =
5
|a |
Resposta: a = 10 ou a = – 10
ensino médio – 2ª- série
94
sistema anglo de ensino
4. Esboce o gráfico e dê o conjunto-imagem de
x
f(x) = – 1 + 3 cos .
2
Temos a tabela:
x
2
x
cos
0
0
1
2
π
0
–1
2π
–1
–4
3π
0
–1
4π
1
2
π
2
π
3π
2
2π
x
2
– 1 + 3 cos
Localizando os pares ⎞ x, – 1 + 3 cos
⎠
x
2
x
2
⎞ temos:
⎠
y
2
1
O
–1
–2
–3
–4
π
2π
3π
4π
x
Do gráfico: Im = [– 4, 2]
Consulte
Livro 2 – Capítulo 46
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 46
Tarefa Mínima
AULA 34
1. Leia o item 5.
2. Faça os exercícios 20, 21 e 22.
AULA 35
Faça o exercício 25.
Tarefa Complementar
AULA 34
Faça os exercícios 23 e 24.
AULA 35
Faça o exercício 26.
ensino médio – 2ª- série
95
sistema anglo de ensino
Aula
36
3. Determine o conjunto-imagem de
f(x) = – 3 + 2 sen ⎞ x +
⎠
Funções seno e co-seno de (mx + n)
π
4
Observe que: – 1 sen ⎞ x +
• Exercícios
⎠
⎞
⎠
π
4
⎞1
⎠
Multiplicando por 2: – 2 2 sen ⎞ x +
⎠
4
⎞
⎠
2
Adicionando (– 3) a todos os membros:
1. Determine o período de f(x) = sen x cos x.
– 5 – 3 + 2 sen ⎞ x +
⎠
Multiplicando os dois membros da igualdade por 2:
1
2 f(x) = 2 sen x cos x ∴ 2 f(x) = sen 2x: f(x) = sen 2x
2
Logo, o período é: p =
π
π
4
⎞ –1
⎠
Logo: – 5 f(x) – 1
Assim: Im = [– 5, – 1]
Resposta: Im = [– 5, – 1]
2π
= 2π = π
2
| 2|
Resposta: p = π
2. Determine o período e o conjunto-imagem de
f(x) = sen 3x cos x + sen x cos 3x.
f(x) = sen 3x cos x + sen x cos 3x
Lembrando que
sen a cos b + sen b cos a = sen(a + b), temos:
f(x) = sen(3x + x) ∴ f(x) = sen 4x
O período é: p =
2π
= 2π = π
4
2
|4|
Consulte
Como – 1 sen 4x 1, o conjunto-imagem é: Im = [– 1, 1]
Livro 2 – Capítulo 46
Caderno de Exercícios 2 – Capítulo 46
Resposta: Im = [– 1, 1]
Tarefa Mínima
Faça os exercícios 27 e 28.
Tarefa Complementar
Faça os exercícios 29 e 30.
ensino médio – 2ª- série
96
sistema anglo de ensino
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