Matemática - Estuda Que Passa

Matemática
Números Complexos
Professor Dudan
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Matemática
NÚMEROS COMPLEXOS
DEFINIÇÃO, FORMA ALGÉBRICA, CONJUGADO e SIMÉTRICO
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande
contribuição do matemático Girolamo Cardano. Esse matemático mostrou que mesmo tendo
um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do
segundo grau: x2 – 10x + 40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os
matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo.
O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os
matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números
complexos.
•• Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = a + bi, em que a e b
são números reais e denota a unidade imaginária.
i
Esta tem a propriedade i² = – 1, sendo que a e b são chamados respectivamente parte real
e parte imaginária de z.
•• O conjugado de um complexo z denota-se por Z e obtém-se trocando o sinal da parte
imaginária. Assim se z = 3 – 2i temos Z = 3 + 2i. Caso o complexo seja um real puro do tipo
z = 4 seu conjugado é o próprio z , assim = 4 .
•• O simétrico do número complexo z = a + bi é o número - z = – (a + bi), ou seja – z = (– a) +
i(b).
1. Calcule o conjugado e o simétrico dos complexos abaixo:
a) z = 3 – 2i
b) w = 1 + 5i
c) u = 3i
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d) v = 7
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IMAGINÁRIO PURO E REAL PURO
Se um número complexo representa-se por z = a + ib com a, b ∈ R, diz-se que:
→ a é a parte real de z e escreve-se Re(z) = a;
→ b é a parte imaginária de z e escreve-se Im (z) = b.
Assim:
O complexo z é um número real se e só se Im(z) = 0.
O complexo z é um imaginário puro se e só se Re (z) = 0 e Im(z) ≠ 0.
O complexo z é nulo se e só se Re (z) = Im (z) = 0.
Exemplos:
•• z = 3 é um real puro, pois não possui parte imaginária;
•• z = 2i é um imaginário puro, pois só possui a parte real;
•• z = 0 é um complexo nulo e real puro, pois não possui a parte imaginária.
Representando os conjuntos numéricos conhecidos temos:
2. Qual deve ser o valor de p para que o número complexo z = (2p – 7) + 3i, seja imaginário puro?
4
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3. O valor de x que torna o número complexo m = 2 + (x – i).(2 + 2i) um imaginário puro é:
a)
b)
c)
d)
e)
–2
–1
0
i
2
POTÊNCIAS DE i
Veja o cálculo das primeiras potências de i com expoente natural:
•• i0 =1 , por definição;
•• i1 = i , por definição;
•• i2 = – 1 , regra base dos complexos;
•• i3 = i2. i = (– 1).i = – i;
•• i4 = i2. i2 = (– 1)(– 1) = + 1
•• i5 = i4. i =1.i = i ;
•• i6= i4. i2 =1.(– 1) = – 1
•• i7 = i4. i3 =1.(– i) = – i.
•• i8 = i4. i4 =1.1 = 1 e assim por diante.
Sendo assim a regra é simples, basta dividir o expoente por 4 e usar o “resto”.
Exemplo:
4. Calcule i34.
Como 34 divididos por 4 tem quociente 8 e resto 2 , logo 134 = i2 = – 1.
5. Calcule as potências:
a)i12b) i23c) i31d) i 231
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5
6. A expressão i14+ i76+ i148 equivale a:
a)
b)
c)
d)
e)
–3
3
2
1
–1
7. Sabendo-se que i2 = – 1, o valor de i2002 + i2001 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1+i
1–i
–1+i
–1–i
0.
Gabarito: 1. a) = −3 + 2i 2. – 27 3. A 4.– 1 5. a) 1
6
b) = −1 + 5i
b) − i
c) = −3i
c) − i
d) = −7
d) − i
6. D 7. C
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