Lista de Exercícios 3

8. Na figura, a reta r é tangente às circunferências de centros A e B e raios 3cm e 2cm,
respectivamente, nos pontos C e D, e a distância entre os centros A e B é
Calcule a medida
LISTA 3 – GEOMETRIA PLANA – PROF. NATHALIE
CD .
74
cm.
(R. 7 cm)
1º Ensino Médio
1. As raízes da equação x² – 14x + 48 = 0 expressam, em centímetros, as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse
triângulo. (10 m e 24 cm)
2. Um trapézio isósceles tem 20 cm e 12 cm de bases. Cada lado não paralelo do trapézio
mede 5 cm. Quanto mede a altura do trapézio? (3 cm)
3. Um pedaço de arame de 60 cm de comprimento é dobrado convenientemente na forma
de um triângulo retângulo. Se a hipotenusa desse triângulo retângulo tem 26 cm de
comprimento, qual é o comprimento do menor dos catetos desse triângulo? (10 cm)
4. Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 16 metros. Determine, em metros, a
medida da hipotenusa, sabendo que a medida dessa excede a medida de outro cateto em
oito metros. (20 m)
9. Uma circunferência está inscrita num triângulo isósceles ABC, de base
BC
e altura
AM relativa ao vértice A que medem respectivamente 10 cm e 12 cm. Calcule a medida
do raio. (R. 3 cm)
5. (UNICAMP) uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do
Planalto em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo
começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampa está a 1,5 m de altura
em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o
ponto mais alto da rampa. (20, 5 m)
6. (ENEM) Na figura apresentada, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus
da mesma altura, calcule o comprimento total do corrimão. (2,10m)
10. (UNIFOR) A figura abaixo representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a
mesma extensão (vide figura), além de mesma altura. Se AB = 3m e BCA mede 30º, então
determine a medida da extensão de cada degrau.
7. Um ponto P está situado no interior de um quadrado ABCD de diagonais
AC
cujo lado tem medida a. Se P equidista dos vértices A e B e do lado CD, calcule
função de a. (R. 5a/8)
BD ,
PA , em
e
(
3
m)
2
11. (FAAP) Um muro de arrimo tem 6 m de altura. Um operário tem de executar um serviço
em seu topo. Ele dispõe de uma escada AB de 6 m, mas esta não pode ser colocada na
vertical, pois há obstáculos na base do muro. A escada pode atingir o topo do muro, se for
apoiada numa edificação próxima; neste caso, a escada fará ângulo de 60° com o muro.
Qual é a altura h da edificação? (3m)
16. Os pontos A, B e C representam três cidades. Um ônibus percorre, em linha reta, 32 km
para ir de A para B, e 45 km de B até C. Sabendo que o ângulo ABC mede 140°, se o
ônibus pudesse ir em linha reta de A até C, quantos quilômetros a menos ele percorreria
nessa viagem? Dado: cos 140° = – 0,77. (4,43 km)
17. Os irmãos André, Paulo e Vitor moram em casas localizadas na mesma fazenda. Sabese que a casa de André dista 500 m da casa de Paulo e 800 m da casa de Vitor, e que o
ângulo formado entre essas direções é 60°. Observando, no esquema abaixo, a planta da
situação apresentada, calcule a distância entre a casa de Paulo e a casa de Vitor. (700 m)
12. (MACK) Uma estação E, de produção de energia elétrica, e uma fábrica F estão
1
situadas nas margens opostas de um rio de largura
km. Para fornecer energia a F,
3
dois fios elétricos a ligam a E, um por terra e outro por água, conforme a figura. Supondose que o preço do metro do fio de ligação por terra é R$ 12,00 e que o metro do fio de
ligação pela água é R$ 30,00, qual o custo total, em reais, dos fios utilizados?
(R$ 28.000,00)
18. (UNIFOR) Um terreno de forma triangular tem frentes de 10 m e 20 m, em ruas que
formam, entre si, um ângulo de 120º. Qual a medida do terceiro lado do terreno? ( 10 7 m)
19. Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°. Calcule o
terceiro lado desse triângulo. ( 2 21m )
20. Um barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois
radioamadores, B e C, distantes entre si 12 km. Sabendo que os ângulos ABC = 45° e ACB
= 105°. Determine a distância do radioamador C até o barco em A. ( AC
13. (VUNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um
posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma
rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B,
indo através de C, em quilômetros, é? ( 2 2 )
14. (UNIFOR) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC, mostrado na figura ao lado,
3
sabendo-se que o segmento BC mede 10m e cos α = . (24 m)
5
15. Num paralelogramo, dois lados consecutivos medem 7 cm e 4 cm e a diagonal mede
37 cm. Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo. (60° e 120°)
= 12 2 )
21. Uma área plantada, de forma triangular, contém 3 pontos de abastecimento de água
para o processo de irrigação, conforme mostra a figura, cuja escala é de 1:10.000.
Determine a distância entre os pontos A e C. Dado:
2 = 1, 41 (0,84 km)
22. Na figura abaixo, um observador no ponto A consegue visualizar dois marcos, um no
ponto B e outro no ponto C, sob um ângulo cujo cosseno é 0,4. As distâncias que separam
o observador do ponto B e do ponto C são 400 m e 500 m, respectivamente. Nessas
condições, calcule a distância entre os marcos B e C. (500 m)
23. (PUC) A figura representa a trajetória de um barco que percorreu 300m em AB, 500m
em BC, paralelamente à margem do rio, ficando distante 700m de A. Calcule o cosseno do
ângulo α. ( 13 )
14
B
C
26. A figura mostra um quadrado ABCD no qual os segmentos BC = 4 cm, EC = 1 cm e AE
= 5 cm.
4 2 cm)
7 2
b) Determine o cosseno do ângulo α . (R.
)
10
a) Calcule a medida de
AC . (R.
α
A
margem
24. (UNIFOR) Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de
centro D. Se AB = 6 cm e AC = 9 cm, qual o perímetro do triângulo ABC, em centímetros?
(22,9 cm)
27. Calcule o apótema e o raio da circunferência circunscrita dos seguintes polígonos
regulares:
a) um quadrado de lado 20 cm;
b) um triângulo equilátero de lado 18 cm;
c) um hexágono regular de lado 16 cm.
R. a) a = 10cm; R = 10 2cm b) a = 3 3cm; R = 6 3cm c) a = 8 3cm; R = 16cm
25. (UNESP) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de
um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da
margem na direção do segmento AB , até o ponto C, e depois caminha em linha reta até o
ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos
∧
28. Dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcule a medida:
a) do lado;
b) do raio da circunferência inscrita;
c) do raio da circunferência circunscrita.
∧
D C B e B D C medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou
para a distância entre as árvores, se usou a aproximação 6 = 2, 4 ? (R. 28 m)
R. a) l = 4 3cm
b) r = 2cm
c) R = 4cm
29. Calcule a medida do raio da circunferência inscrita num hexágono regular de 5 cm de
5 3
cm
lado. R.
2
30. Um dodecágono regular tem o lado medindo 2 2 − 3 cm . Calcule desse polígono:
a) a medida de um ângulo central;
b) a medida do raio da circunferência circunscrita.
R. a) 30°
b) 2 cm
39. Uma formiga se encontra na extremidade do ponto dos minutos de um relógio.
Considerando que esse ponteiro mede 5 cm, passados 5 minutos, qual o comprimento do
arco percorrido pela formiga? R. Aproximadamente 2,6 cm
40. Percorrendo uma estrada de 20 m de largura, um veículo inicia um retorno em um
ponto A, utilizando a trajetória circular da figura, cujo raio é de 20 m. Determine o
comprimento do percurso AB.
(Adote π = 3 ) R. 100 m
31. Calcule a medida do lado de um octógono regular inscrito numa circunferência de 2 cm
de raio. R. 2 2 − 2 cm
32. Na figura, a circunferência está inscrita no hexágono regular de lado 2 cm, determine:
a) a medida do apótema do hexágono. R.
3
b) o comprimento da circunferência inscrita, em centímetros. R.
2
2 3π
41. Se aumentarmos de 2m o lado de um quadrado, sua área aumentará de 16m . Quanto
mede o lado desse quadrado? R. 20 m
42. O piso de um salão é feito de lajotas quadradas de 40 cm de lado. O salão é retangular,
medindo 8m por 4,8m. Quantas lajotas há no salão? R. 240 lajotas
43. Na figura, a diferença entre as áreas dos quadrados
2
ABCD e EFGC é de 56cm . Se BE = 4cm , calcule a
área do triângulo CDE.
33. Cada roda de um automóvel tem 60 cm de diâmetro. Determine o número de voltas que
cada roda dá para percorrer uma distância de 2.826 metros (faça π = 3,14 ). R. 1500 voltas
34. Em um percurso de 9.420 metros, a roda de um automóvel deu 5.000 voltas. Qual é a
medida do raio dessa roda? (Adote π = 3,14 ) R. 30 cm
35. Um equilibrista, durante sua apresentação, atravessa uma corda bamba de 18,84 m de
comprimento em um monociclo, cuja roda tem 40cm de diâmetro. Considerando que uma
pedalada equivale a uma volta completa da roda do monociclo, calcule quantas pedaladas
o equilibrista terá que dar para completar a travessia (considere π = 3,14 ). R.15 pedaladas
R.
45 2
cm
2
44. Um quadrado é equivalente a um retângulo de dimensões 6m e 8m. Qual a medida do
seu lado? R. 4 3m
45. Calcule as áreas dos triângulos:
a)
b)
c)
36. Calcule o comprimento de um arco de 240° numa circunferência de raio 5 cm.
R.
20π
cm
3
37. Calcule o raio de uma circunferência em que um arco de 300° tem 5π m de
comprimento. R. 3 m
38. Quantos graus tem um arco de
de raio? R. 150°
5π
dm de comprimento numa circunferência de 2dm
3
R. a) 18cm
2
b) 10 3cm
2
c)
3cm 2
46. Calcule o raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7cm.
R.
2 6
cm
3
2
47. Um triângulo equilátero tem área igual a 9 3cm . Calcule a medida do seu apótema.
R.
3cm
48. Calcule a área de um hexágono regular cujo apótema mede 3 cm. R. 18 3cm
2
49. Calcule a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio 10 cm.
R. 75 3cm
2
50. Determine a área de um quadrado inscrito em um círculo de raio
3m . R. 6 m²
51. Calcule a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 2 cm.
R. 8 2cm 2
58. Para conferir as dimensões de um certo terreno triangular, a prefeitura da cidade enviou
um técnico ao local. Denominando o terreno de triângulo ABC, ele obteve as seguintes
medidas: AB = 8m , BC = 9m e AC = 7 m . Nesse terreno, será construída uma fonte
circular, de modo que sua circunferência tangencie os lados do terreno.
a) Calcule a área do terreno;
b) calcule o raio e a área do círculo delimitado pela circunferência do tanque.
R. a) 12 5cm
53. Na figura, α = 30º , O é o centro da circunferência e AB é o lado do polígono regular
inscrito na circunferência. Sabendo-se que o comprimento da circunferência é de 4π cm ,
calcule a área desse polígono. R. 6 3cm
2
b) r = 5cm ; A = 5πcm
2
59. Numa circunferência de raio 2cm, calcule:
a) o comprimento de um arco de 120°;
b) a área de um setor de 45°;
c) o apótema de um hexágono regular inscrito nessa circunferência.
R. a)
52. Calcule a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 2 cm.
R. 12 cm²
2
4π
cm
3
b)
π
cm 2
2
c)
r = 3cm
60. Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10
metros de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de
um círculo, com 5 metros de raio. Calcule a área da região do
salão de festas que não é ocupada pela pista de dança (use
3 = 1,7 e π = 3,2 ). R. 175 m²
61. Na figura abaixo, C é o centro do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é um
retângulo com lados medindo 3 e 4. Determine a área da região sombreada. ( 25π − 12 cm ² )
4
54. Para ladrilhar uma sala, são necessárias exatamente 400 peças quadradas de
2
cerâmica. Sabendo-se que a área da sala é de 36m , determine o perímetro de cada peça.
R. 120 cm
55. Num triângulo ABC, AC = 7 m , BC = 8m e ABˆ C = 60° . Determine a área do
2
triângulo. R. 10 3m ou 6 3m
2
62. A figura representa um canteiro circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma
região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na
figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o
retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.
56. A altura do trapézio da figura é 4cm. Determine a diferença
entre as área dos triângulos hachurados.
R. 4 cm²
57. Se aumentarmos os lados a e b de um retângulo em 15% e 20%, respectivamente, em
quantos porcentos aumenta a área do retângulo? R. 38%
a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de
flores.
b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais
serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2 ).
R. a) 6m; 48m
2
b) R$ 96,00
63. Um artesão produz peças decorativas utilizando chapa galvanizada. Com intuito de
finalizar uma caixa, de tira de 4 cm X 7 cm, precisa recortar a região hachurada na figura.
Qual é a região hachurada em cm². R. 22 − 4π
64. A superfície de impressão de um disco de DVD que possui um diâmetro de 12 cm e um
círculo concêntrico com raio de 2 cm onde não há impressão é de aproximadamente:
(Use
π=
22
)
7
R. 100 cm²
65. Os lados de um retângulo de área 12 m² estão na razão de 1 : 3. Qual o perímetro do
retângulo? R. 16 cm
66. No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de
comprimento de 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a
figura. Determine a superfície da área de meta (use π = 3,14) R. 37 m²