UNIDADE 2:

UNIDADE VII
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
OBJETIVOS DA UNIDADE
- Identificar o fenômeno aleatório: discreto e contínuo.
- Montar a árvore de possibilidades de um experimento aleatório.
- Construir a distribuição da probabilidade.
- Introduzir a idéia de valor esperado, como auxilio na tomada de decisões.
- Calcular o valor esperado, esperança matemática, e os parâmetros da variável discreta.
7.1. Conceito de variável aleatória
Quando temos que tomar alguma decisão, que leva em conta a incerteza, não podemos ter
como base apenas a probabilidade, devemos também analisar qual o tipo de variável em questão.
Se uma variável tem resultados ou valores que tendem a variar de uma observação para outra
dependendo de fatores relacionados a chance, chama-se variável aleatória. Na prática é desejável
que se defina uma variável aleatória em relação a uma amostra ou experimento, de tal modo que a
seus resultados possam ser correspondido valores numéricos.
Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos,
cujo valor é determinado por fatores de chance.
Considere as seguintes situações:
 Um vendedor recebe uma lista com 15 nomes de possíveis compradores de seguros
que deve visitar a cada dia. A experiência do vendedor e de que é feita 5 vendas de
seguros por dia. Qual a probabilidade de que hoje ele venda 7 seguros?
- Variável aleatória : número de seguros vendido por dia.
 Um estudante responde a um teste do tipo verdadeiro-falso com 10 questões, das
quais precisa acertar pelo menos seis. Ele se preocupa apenas com a probabilidade
de conseguir atingir o resultado esperado, sem se preocupar com as questões.
- Variável aleatória: número de acertos.
 Um geólogo estuda a idade de uma rocha, sem se preocupar com seu grau de
dureza.
- Variável aleatória: idade da rocha.
 Um agrônomo estuda uma nova variedade de soja, analisando a produção por acre e
a melhor temperatura do solo para a germinação das sementes.
- Variáveis aleatórias: produção e temperatura do solo.
Para atingirmos nosso objetivo, calcular a probabilidade em determinada situação devemos
sempre ter em destaque qual a variável aleatória em nosso problema.
Devemos também saber o tipo da variável em estudo: Discreta ou Contínua
Variável Aleatória Discreta:
A variável aleatória é denominada “discreta” quando pode assumir um número finito de
valores num intervalo finito. Geralmente seus valores são obtidos através da contagem.
Uma variável aleatória é discreta quando, entre dois valores seqüenciais não se pode ter um
outro valor. As variáveis discretas assumem somente um número finito de valores.
Exemplos de variáveis aleatórias discretas:
 Número de filhos nas famílias. Uma família pode ter 1 filho, 2 filhos, 3 filhos, .....
não temos famílias com 2,5 filhos, entre 2 e 3 não temos possibilidades de resultado.
 Joga-se um dado 10 vezes, o ponto 6 apareceu 1 vez, 2 vezes, 3 vezes, .... o ponto
seis não vai aparecer 3,2 vezes, entre 3 e 4 não temos resultado possível.
 Número de acertos em testes. Resolve-se uma prova com 10 testes de múltipla
escolha, onde apenas uma resposta está correta. Acerta-se 1ou 2 ou 3, 4, 5,6 ..., 10,
não se acerta 4,5 testes, entre 4 e 5 não temos resultado possível.
Variável Aleatória Contínua:
A variável aleatória é denominada “contínua” são aquelas que podem assumir infinitos
valores num intervalo finito. O conjunto universo da variável contínua possui infinitos
elementos.
A variável aleatória contínua é aquela que se pode atribuir
qualquer valor dentro de determinado intervalo
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas:
 Pesos de alunos do 7° ano. Entre um aluno que pesa 42 kg e outro que pesa 43 kg
podemos ter vários pesando 42,3 kg, 42,8 kg, 42,9 kg, ....
 Saldos bancários de clientes de um banco. Mesmo entre dois clientes, em que um
possui R$2345,00 e o outro R$2346,00, podemos ter outros com saldos de
R$2345,80, de R$2345,86, de R$2345,71, .....
 As alturas dos alunos de uma sala. Entre dois alunos que tem 165cm e 166cm de
altura, podemos ter outros alunos com 165,3cm, 165,8cm .....
7.2. Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades é utilizada para estudarmos mesmo com um número
limitado de informações, qual a probabilidade de X assumir um determinado valor, ou um
intervalo de valores. É o conjunto de valores de uma variável, associado às suas respectivas
probabilidades.
n
A soma de todas as probabilidades será sempre igual à unidade:
 P( x )  1
i 1
i
P( xi )  Probabilidade de ocorrer xi
C n, x 
n!
 número de possibilid ades favoráveis ao evento
x!(n  x)!
p x q n x
P(x i ) 

probabilid ade relativa a cada possibilid ade, então
n!
p x q n x
x!(n  x)!
onde :
n  número de provas
x  número de vezes que ocorre o evento
p  probabilid ade de ocorrer o evento
q  probabilid ade de não ocorrer o evento
P(x i )  probabilid ade do evento ocorrer x vezes em n provas
Exemplos:
1) Consideremos a distribuição do número de “caras” obtido ao se lançar uma moeda 5
vezes.
As possibilidades são: 0, 1, 2, 3, 4, e 5 caras e as probabilidades respectivas são:
5
5
1
1
P(0)    
32
2
5
5
1
P(1)  5    
32
2
5
10
1
P(2)  10    
32
2
5
10
1
P(3)  10    
32
2
5
1
P(4)  5    
32
2
Denominando de xi os valores da variável
e P( xi ) as probabilidades respectivas, podemos
escrever a seguinte distribuição de probabilidades:
5
1
1
P(5)    
32
2
xi
P ( xi )
0
1
2
3
4
5
1/32
5/32
10/32
10/32
5/32
1/32
 P( x )  1
i
Representação gráfica da distribuição de probabilidades

10/32

5/32
1/32




1
2
3
4
5
2) Consideremos a distribuição do número de crianças do sexo masculino em famílias de 4
filhos.
As possibilidades são: 0, 1, 2, 3, e 4, e as probabilidades respectivas são:
4
1
1
P(0)    
16
2
4
4
1
P(3)  4    
16
2
4
4
1
P(1)  4    
16
2
4
1
1
P(4)    
16
2
4
6
1
P(2)  6    
16
2
Denominando de xi os valores da variável
e P( xi ) as probabilidades respectivas, podemos
escrever a seguinte distribuição de probabilidades:
xi
P ( xi )
0
1
2
3
4
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
 P( x )  1
i
Representação gráfica da distribuição de probabilidades

6/16

4/16
1/16



1
2
3
4
7.3. Frequência relativa das Variáveis Aleatórias
Quando o conjunto universo das possibilidades de uma prova é indeterminado, então não se
pode fixar a probabilidade que se associa a cada valor da variável. Neste caso usamos a
freqüência relativa como estimativa da probabilidade.
Exemplos
1) Consideremos uma prova que consiste em verificar o número de peças produzidas com
defeito, semanalmente por uma máquina, durante 30 semanas.
Consideremos que tenham sido obtidos os resultados:
xi = número semanal de peças defeituosas f i = freqüência, número de semanas.
xi
0
1
2
3
4
5
6
fi
2
5
8
6
4
2
3
A freqüência relativa f r , que constitui a estimativa da probabilidade de cada valor de xi , é
dada por f r 
fi
, desta forma temos:
n
f
i 1
i
2
30
4
f r (4)  P(4) 
30
5
30
2
f r (5)  P(5) 
30
f r (0)  P(0) 
f r (1)  P(1) 
8
30
3
f r (6)  P(6) 
30
f r (2)  P(2) 
f r (3)  P(3) 
A distribuição de probabilidades correspondente pode ser representada por:
P ( xi )

8/30
6/30
5/30
4/30
3/30
2/30





1
2
3
4
5

6
xi
2) Consideremos a quantidade de uniformes, de cada tamanho a ser adquirido por uma
empresa.
Seja xi = tamanho do uniforme e f i = quantidade de uniformes.
xi
1
2
3
4
fi
12
20
18
8
12
6

58 29
18
9
f r (3)  P(3) 

58 29
f r (1)  P(1) 
P(xi)
10/29
9/29


20 10

58 29
8
4
f r (4)  P(4) 

58 29
f r (2)  P(2) 
6
30
6/29


4/29
1
2
3
4
xi
EXERCÍCIOS
1) Consideremos a ocorrência de acidentes de trabalho em uma empresa, durante os 6
primeiros meses do ano. Determine a probabilidade da ocorrência de acidentes para cada
mês.
xi
Janeiro Fevereiro Março
2
fi
a) jan = 4%
b) jan = 8%
c) jan =8%
d) jan = 2%
fev = 24%
fev = 12%
fev =1 2%
fev = 3%
3
Abril
Maio
Junho
4
6
5
5
mar = 40%
mar = 40%
mar = 20%
mar = 5%
abr = 32%
abr = 32%
abr = 16%
abr = 4%
mai = 24%
mai = 16%
mai = 24%
mai = 6%
jun = 20%
jun = 20%
jun = 20%
jun = 5%
2) Elabore a distribuição da probabilidade do número de “caras” obtido ao se lançar uma
moeda 4 vezes.
a) P(0) = 5%
P(1) = 20% P(2) = 50% P(3) = 20% P(4) = 5%
b) P(0) = 10%
P(1) = 20% P(2) = 40% P(3) = 20% P(4) = 10%
c) P(0) = 8,5%
P(1) = 16,5% P(2) = 50% P(3) = 16,5% P(4) = 8,5%
d) P(0) = 6,25% P(1) = 25% P(2) = 37,5% P(3) = 25% P(4) = 6,25%
3) Consideremos os eventos realizados por uma empresa, durante as 5 primeiras semanas
de funcionamento. Determine a probabilidade de eventos para cada semana.
xi
1ª semana
2ª semana
3ª semana
4ª semana
5ª semana
fi
4
7
9
8
10
a) 1° sem =11,11%
b) 1° sem =10,53%
c) 1° sem =13,33%
d) 1° sem =12,12%
Respostas corretas
1) c
2) d
2ª sem = 19,44%
2ª sem =18,42%
2ª sem =23,33%
2ª sem = 21,21%
3ª sem =25%
3ª sem =23,68%
3ª sem =30%
3ª sem = 27,27%
4ª sem =22,22%
4ª sem =21,05%
4ª sem = 26,66%
4ª sem =24,24%
5ª sem =27,78%
5ª sem =25,32%
5ª sem =33,33%
5ª sem = 30,3%
3) b
7.4. Parâmetros da variável discreta
Quando a probabilidade dos eventos P( xi ) não pode ser determinada, os parâmetros
 (média) e  ( desvio-padrão) também não podem ser calculados. Mas, se em lugar de P( xi )
f
empregarmos a freqüência relativa f r  i , podemos determinar x (estimativa da média) e s
n
(estimativa do desvio-padrão). Desta forma, x e s são parâmetros amostrais e constituem
estimativas de  e  respectivamente.
n
n
   x i  P( x i )
f
comoP( x i )  i  x 
n
i 1
 x
i 1
i
f
i

n
 x
n

 x
n
i 1
    P( x i )
2
i

f
comoP( x i )  i  s 
n
i 1
 x  fi
2
i

n
Mas como já vimos devemos considerar no denominador ( n – 1) no lugar de n, então
 x
n
s
i 1
 x   fi
2
i

n 1
Exemplos:
1)
A tabela abaixo apresenta a distribuição das notas atribuídas a uma turma de 40
alunos, em uma avaliação de Matemática. Calcular a média e o desvio padrão.
Classes
0 /-- 2
2 /-- 4
4 /-- 6
6 /-- 8
8 /--/ 10
Freqüências
4
7
16
11
2
Solução:
Classes
Freqüências
fi
xi
xi  f i
xi  x
( xi  x ) 2
( xi  x ) 2  f i
0 /-- 2
2 /-- 4
4 /-- 6
6 /-- 8
8 /--/ 10
4
7
16
11
2
40
1
3
5
7
9
4
21
80
77
18
200
-4
-2
0
2
4
16
4
0
4
16
40
64
28
0
44
32
168
n
 x f 
x
i
i 1
i
n
 x
n
i 1
s
2)

200
 x 5
40
 x  fi
2
i

n 1

168
 4,31  s  2,08
39
A tabela abaixo apresenta a distribuição dos atendimentos de profissionais da área
da saúde, por dia, durante o mês, em um ambulatório médico. Calcular a média e o
desvio padrão.
Classes -Atendimentos
5 /-- 15
15 /-- 25
25 /-- 35
35 /-- 45
45 /--/ 55
Freqüências- quantidade de dias
2
6
12
9
1
Solução:
Classes
Freqüências
fi
5 /-- 15
15 /-- 25
25 /-- 35
35 /-- 45
45 /--/ 55
2
6
12
9
1
30
xi
xi  f i
xi  x
( xi  x ) 2
( xi  x ) 2  f i
10
20
30
40
50
20
120
360
360
50
910
-20,33
-10,33
-0,33
9,67
19,67
413,31
106,71
0,11
93,51
386,91
1000,55
826,62
640,26
1,32
841,59
386,91
2696,7
n
x
 x f 
i
i 1
i
n
 x
n
s
i 1

910
 x  30,33
30
 x  fi
2
i

n 1

2696,7
 92,99  s  9,64
29
EXERCÍCIOS
1) A tabela abaixo apresenta a distribuição de acidentes de trabalho, ocorridos no ano de
2006. Calcular a média e o desvio padrão.
Classes -Acidentes
Freqüências- quantidade de
meses
0 /-- 3
3 /-- 6
6 /-- 9
9 /-- 12
12 /-- 15
a)
b)
c)
d)
x =7
x =8
x = 7,7
x = 8,7
2
3
1
2
4
s= 4,7
s= 4,9
s= 4,9
s= 4,7
2) A tabela abaixo apresenta a distribuição dos atendimentos de profissionais da área da
saúde, por dia, durante o mês, em um ambulatório médico. Calcular a média e o desvio
padrão.
Classes -Atendimentos
5 /-- 15
15 /-- 25
25 /-- 35
35 /-- 45
45 /--/ 55
a)
b)
c)
d)
x = 33,33
x = 20,2
x = 30,33
x = 33,33
Freqüências- quantidade de dias
2
6
12
9
1
s= 7,64
s= 6,64
s= 9,64
s= 6,64
CORRETAS 1) b 2) c
ATIVIDADE 2.1
1) Consideremos as assessorias realizadas por um grupo de administradores em empresas,
durante os 10 primeiros meses do ano. Determine a probabilidade de assessorias para
cada mês do ano estudado, e assim determine a média e o desvio-padrão.
mês
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
assessorias
3
5
8
12
10
14
8
6
4
5
a) x  10,14
s  3,49

c) x  9,14
s  3,89
b) x  9,14
d) x  8,14
s  3,49
s  2,49
2) O tempo t, em minutos, necessários para um operário montar uma peça de
refrigerador é uma variável aleatória com s distribuição de probabilidade dada abaixo.
Determine o tempo médio de montagem da peça, e o desvio-padrão.
7.5. Esperança Matemática
Muitas vezes é interessante, conveniente para o estudo de uma variável aleatória, um resumo
sobre suas informações, já sabemos resumir um conjunto de informações em um único número
que é a média de seus valores. Este valor, esta quantidade é o valor esperado de X, ou esperança de X. A
esperança de uma variável aleatória nos dá a média de todos os valores que esperaríamos obter se
medíssemos a variável aleatória um número muito grande de vezes. Usamos a letra E, para
representar a esperança.  E(X) = esperança de X
n
  E( X ) 
n  xi P ( xi )
i 1
n

n
    xi P( xi )
i 1
EXEMPLOS:
1)
Um jogo paga ao jogador R$2,00 para cada “cara” que se obtém quando lança 4
moedas. Se ele realizar um grande número de lançamentos, qual a média de ganho
por jogada?
Solução: As possibilidades de ganhos e as respectivas probabilidades são:
Possibilidades
Probabilidades
0
1/16
1
4/16
2
6/16
3
4/16
4
1/16
OBS: joga-se uma moeda 4 vezes, podemos ter 0, 1, 2, 3 ou 4 caras, com
as seguintes probabilidades:
4
1
1
1
P(0)  C 4,0    1  
16 16
2
4
4
1
4
1
P(1)  C 4,1    4  
16 16
2
4
1
6
1
P(2)  C 4, 2    6 
16 16
2
1
4
1
P(3)  C 4,3    4  
16 16
2
4
1
1
1
P(4)  C 4, 4    1  
16 16
2
Vamos admitir que o jogador faça n lançamentos. Assim o número provável de ocorrências
para cada possibilidade será:
Possibilidades
Possibilidade de ganho R$
Ganho em n lançamentos x i
Probabilidades P( x i )
0
0
n.0
1
2
n.2
2
4
n.4
3
6
n.6
4
8
n.8
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
Assim, o total que o jogador esperará ganhar em n lançamentos será:
n
  E ( X )   xi P( xi )
i 1
1n
4n
6n
4n
1n 64n
  0  2  4 6 8 
 4n
16
16
16
16
16 16
4n
4
n
Portanto, a esperança de ganho em cada jogada será igual a
2)
Qual a esperança matemática e o desvio-padrão de um jogo de dados que você
recebe R$ 25,00 se sair ponto 6, R$ 10,00 se sair 4 ou 5 e R$ 4,00 se obter 1, 2 ou
3?
Solução: Cálculo da média
Resultado
6
4 ou 5
1, 2 ou3
Ganho R$ x i
25
10
4
P( x i )
1/6
2/6
3/6
1
x i .P( x i )

25/6
20/6
12/6
 57/6=9,5
Portanto a esperança matemática é de que se ganha R$9,50 por jogada
Cálculo do desvio-padrão:

 x
n
i 1

    P ( xi ) 
2
i
1
2
3
(25  9,5) 2  (10  9,5) 2  (4  9,5) 2 
6
6
6

1
2
3
(15,5) 2  (0,5) 2  (5,5) 2 
6
6
6

331,5
 55,25  7,43    7,43
6
240,25  2(0,25)  3(30,25)

6
EXERCÍCIOS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Qual a esperança matemática do ganho de um jogo em que você ganha R$10,00
multiplicado pelo número de pontos quando se joga um dado?
Um jogador recebe R$1,00 por ponto que obtém quando lança um dado e sai um
número par, e R$2,00 por ponto quando sai um número impar. Quanto esperará
ganhar em 50 lançamentos, se paga R$ 2,50 por jogada?
Qual a esperança matemática e o desvio-padrão de um jogo no qual se pode
ganhar R$50,00 com probabilidade 0,2; R$ 30,00 com probabilidade 0,3 e R$10,00
com probabilidade 0,5?
Um jogador ganha R$1,00 por ponto que obtém quando lança um dado. Quanto
esperará ganhar em 60 lançamentos, se paga R$3,00 por jogada?
Qual o preço justo a se pagar para entrar num jogo, no qual se pode ganhar
R$30,00 com probabilidade 0,2 e R$ 15,00 com probabilidade 0,4?
Um jogo de dado tem a seguinte tabela de ganho.
Qual a esperança matemática desse jogo
Ponto
1
2
3
4
5
6
1) a)   R$25,00 b)   R$32,00 c)   R$35,00 d)   R$45,00
2) a) R$ 125,00 b) R$ 250,00 c) R$150,00 d) R$ 300,00
3) a)   20   8
b)   25   10
c)   15   8
d)   15   10
4) a) R$ 45,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 55,00
5) a) R$ 12,00 b) R$ 15,00 c) R$ 18,00 d) R$ 10,00
6) a)   R$23,2300 b)   R$30,30 c)   R$33,33 d)   R$26,67
Respostas corretas
1) c
2) a
3) d
4) b
5) a
6) d
Ganho R$
10
15
20
30
35
50
ATIVIDADE 2.2
1) Uma Confeitaria anotou todas as vendas de um tipo de “Torta”, registrados na
tabela abaixo. Determine a quantidade esperada de tortas encomendadas por dia.
N° de tortas por dia Freqüência relativa
0
0,02
1
0,07
2
0,09
3
0,12
4
0,20
5
0,20
6
0,18
7
0,10
8
0,01
9
0,01
total
1
a)
  4,36
b)   4,86 c)   5,36 d)   5,86
2) Um bilhete de loteria paga um prêmio de R$ 500 000,00 com chance de 0,00001,
um prêmio de R$ 100 000,00 com chance de 0,0003 e um prêmio de R$50000,00
com chance de 0,0008. Qual o preço justo de venda deste bilhete.
a) R$ 89,00 b) R$ 57,00
c) R$ 75,00 d) R$ 98,00
3) Em uma loteria beneficente, vendem-se 500 bilhetes para a extração de dois
prêmios, um de R$ 1000,00 e outro de R$ 700,00. Qual a esperança matemática
de uma pessoa que compra um bilhete?
a)   4,3 b)   4,6 c)   3,4 d)   6,4