APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
APONTAMENTOS DE
COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
(CÁLCULO DIFERENCIAL EM
n
)
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Cálculo Diferencial em
1. Cálculo diferencial em
n
n
A ideia base do cálculo diferencial consiste em aproximar, numa vizinhança de um ponto, a função
que se pretende estudar por uma aplicação linear e, a partir das propriedades desta, obter
informação sobre o comportamento local da função inicial.
As funções reais de variável real, f :
→
, isto é, funções definidas em
que tomam valores
reais, podem descrever o comportamento de uma grandeza que apenas depende de um factor. Para
se contemplar o caso de grandezas que dependam de mais do que um factor, devemos considerar
funções com mais do que uma variável, definidas em
2
,
3
, ou, de um modo geral, em
n
.
Relembremos que, um espaço euclidiano com n dimensões (n-dimensional) é representado pelo
conjunto
n
= {( x1 , x2 ,..., xn ) : xi ∈ , i = 1, 2,..., n} . Onde,
reais e n ∈
representa o conjunto dos números
n
(o conjunto dos números naturais). Isto é,
é o espaço de todos os n-uplos
ordenados de números reais, ( x1 , x2 ,..., xn ) .
O principal objectivo da disciplina de complementos de matemática é o estudo de funções com
n
várias variáveis, portanto, cujo domínio é um subconjunto de
vectoriais de
variável vectorial, definidas por
f :
n
y = f ( x ) = ( f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x ) ) , com x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
→
n
. O caso geral são as funções
m
, com
n, m ∈
. Tem-se
e y = ( y1 , y2 ,..., ym ) ∈
m
, onde
as componente yi = f i ( x ) , 1 ≤ i ≤ m se designam por funções coordenadas de f.
De facto, em várias áreas das ciências, em particular em engenharia é necessário considerar
grandezas tais como, deslocamentos, forças, velocidades, etc., não representáveis numa escala, ou
seja, cujos valores não são escalares. Por exemplo, para se especificar completamente uma força, é
necessário conhecer a direcção, a intensidade e o sentido. Tais grandezas são chamadas grandezas
vectoriais. As funções utilizadas para descrever estas grandezas designam-se por funções vectoriais
ou campos vectoriais. As funções vectoriais, associam, portanto, a cada ponto definido por um
conjunto de valores das suas variáveis um vector.
Por outro lado, muitas vezes, é necessário estudar problemas onde figuram grandezas físicas tais
como comprimentos, áreas, volumes, massas, etc. Designadas por grandezas escalares, uma vez que
podem ser completamente especificadas por um número real, e pela unidade correspondente
(comprimentos, áreas, volumes, massas, etc.). As funções utilizadas para descrever estas grandezas
designam-se por funções escalares ou campos escalares. As funções escalares, associam, portanto,
a cada ponto definido por um conjunto de valores das suas variáveis um número real.
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1
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Cálculo Diferencial em
n
O termo campo tem um sentido puramente formal e é utilizado quando se tem uma grandeza cujo
“valor” seja distinto em cada ponto do espaço, no qual, em geral, está patente a existência de uma
relação entre as coordenadas do ponto e o “valor” da grandeza nesse ponto. Designa-se campo à
região do espaço onde está patente a existência de uma grandeza física que depende da sua posição.
Pretende-se estudar funções com n variáveis, com valores reais ou vectoriais no que diz respeito a
domínios, gráficos (quando possível), limites, continuidade, derivabilidade, diferenciabilidade,
extremos livres e condicionados, e ainda operadores diferenciais e suas aplicações.
A maior parte dos resultados serão generalizados a
preferencialmente em
2
e
3
n
, contudo, a sua a aplicação será
, onde existe um significado geométrico quer para os pontos quer
para os vectores. Estes espaços, são de tratamento mais simples, mas, englobam todos os aspectos
relevantes do caso geral dos espaços de n-dimensões, isto é, das funções de n variáveis.
Como pré-requisitos, o aluno deve ter presente os conceitos do cálculo diferencial, vectorial e
integral, das f.r.v.r.. Pois, pretendemos manter válidos resultados estudados para estas funções.
1.1 Campos escalares
1.1.1 Definição
A aplicação das funções reais de variável vectorial ou campos escalares, está orientada na descrição
de fenómenos relacionados, por exemplo, com distribuição de temperaturas num determinado local,
com as pressões no interior de fluidos, com o potencial electrostático, com a energia potencial no
sistema gravitacional, etc. Permitem, como tal, modelar problemas reais do dia a dia. Estas funções,
associam a cada ponto definido por um conjunto de valores das suas variáveis um número real, o
que pode ser visto como uma generalização do conceito de f.r.v.r.
Definição 1.1: Uma função f real de variável vectorial é uma correspondência unívoca, como o
n
nome função indica, entre o espaço de partida
espaço de chegada
(por isso o termo de variável vectorial) e o
(por isso o termo real).
Uma função real de variável vectorial faz, portanto, corresponder a cada elemento x ∈
n
um
número real y. É muitas vezes chamada função real de n variáveis, função ou campo escalar, e pode
ser definida por,
f : Df ⊆
n
→
x → y = f ( x)
2
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Cálculo Diferencial em
onde x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
n
n
é a variável independente, constituída por n coordenadas (ou n
variáveis independentes) e y = f ( x ) = f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
é a variável dependente. As f.r.v.r. são,
um caso particular das funções reais com n variáveis, considerando n = 1 .
Exemplo 1.1: A função que dá a temperatura num dado local da Terra é um exemplo de campo
escalar
3
f :
→
(x, y, z ) → t = f ( x, y, z )
onde x representa a latitude, y a longitude, z a altitude e t a temperatura no ponto ( x, y, z ) .
Convém salientar, que os elementos de
vectores, uma vez que, a qualquer ponto de
n
podem ser considerados como pontos ou como
n
pode ser associado um vector, com origem na
origem do referencial O = (0, 0,..., 0) e extremidade no próprio ponto. O que quer dizer que, a cada
ponto x pode associar-se um sentido, uma direcção e uma norma (definição de vector),
x = (0, 0,..., 0) é o vector nulo. Tratando-se de um vector x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , será representado por v
com componentes (v1 , v2 ,..., vn ) , ou seja, v1 = x1 , v2 = x2 ,
, vn = xn .
Exemplo 1.2: Representação geométrica do par ordenado (1, −3) como ponto, x = (1, −3) e como
vector v = (1, −3) de
2
.
Figura 1.1 – Representação do elemento (1, −3) ∈
2
como ponto e como vector no plano
3
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n
Cálculo Diferencial em
A figura 1.1, ilustra que o vector v = (1, −3) , tem origem no ponto O = (0, 0) e extremidade no
ponto A = (1, −3) , ou seja, v = OA = A − O = (1, −3) − (0, 0) = (1, −3) . A direcção é entre O e A, o
sentido de O para A e o comprimento o comprimento do segmento [OA] , ou seja, OA .
1.1.2 Domínios
Também nas funções reais de n variáveis está subjacente o estudo do domínio da função para o qual
se fazem as restrições habituais: denominadores diferentes de zero, radicandos de raízes de índice
par não negativos, argumentos de logaritmos positivos, etc.
Definição 1.2: O domínio, D f , de uma função real de variável vectorial, f :
n
→
, é o conjunto
de valores da variável independente para os quais a função está definida, ou seja,
Df = {x ∈
Nestes termos, D f ⊆
n
: f ( x) ∈
n
}.
(1.1)
.
Definição 1.3: O contradomínio, CD f , de uma função real de variável vectorial, y = f ( x ) , é o
conjunto de valores de y obtidos quando x percorre o domínio da função, ou seja, são os valores
obtidos pela função quando se substitui na respectiva expressão analítica os valores do domínio.
Simbolicamente,
CD f = { y = f ( x ) ∈
Da definição, CD f ⊆
Exemplo
1.3:
: x ∈ Df } .
(1.2)
.
Cálculo
do
domínio
da
função
f:
2
→
definida
por
f ( x, y ) = − x 2 − y + 6 + y − x + ln(− x + 2) .
Resolução: Utilizando as restrições da raiz quadrada e da função logarítmica, obtém-se
D f = {( x, y ) ∈
= {( x, y ) ∈
2
2
: − x2 − y + 6 ≥ 0
: y ≤ − x2
6
y−x≥0
y≥x
x + 2 > 0} =
x < 2} = {( x, y ) ∈
2
: y ≤ − x2
6
y ≥ x} \ {(2, 2)}
.
Para qualquer dos pontos pertencentes a D f é possível verificar que a função toma um valor real
(que pertence ao contradomínio). Por exemplo, para o ponto (0, 0) ∈ D f , f (0, 0) = 6 + ln(2) ∈
Por outro lado, para o ponto (2, 2) ∉ D f , f (2, 2) = ln(0) ∉
.
.
4
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Cálculo Diferencial em
x+ y
Exemplo 1.4: Cálculo do domínio da função f ( x, y ) =
, ( x, y ) ≠ (0, 0)
x2 + y2
2
→
.
, ( x, y ) = (0, 0)
1
Resolução: Trata-se de uma função f :
n
definida por ramos, para o cálculo do domínio de
f ( x, y ) é necessário estudar o domínio da função de cada ramo:
x+ y
i) No primeiro ramo, para ( x, y ) ≠ (0, 0) , f ( x, y ) =
2
x2 + y2
. O domínio desta função é
\ {(0, 0)} , ou seja, a função está definida para ( x, y ) ≠ (0, 0) (como é indicado).
ii) No segundo ramo, a função está definida, para ( x, y ) = (0, 0) , sendo f ( x, y ) = 1 .
Por i) e ii) conclui-se que D f =
2
\ {(0, 0)}
{(0, 0)} =
2
.
1.1.3 Gráficos
Muitas vezes é importante conseguir uma visualização gráfica de uma função, isto é, estabelecer
uma associação geométrica entre cada ponto do seu domínio e a respectiva imagem, os valores do
contradomínio.
O gráfico de uma função real de várias variáveis define-se de maneira análoga ao de uma função de
uma só variável.
Definição 1.4: Define-se gráfico, G f , de uma função f : D f ⊆
n
→
ao lugar geométrico
G f = {( x , y ) : x ∈ D f , y = f ( x )} .
Repare-se que, sendo x ∈
n
e y∈
, Gf ⊆
n
×
(1.3)
, ou seja, G f é um subconjunto de
n +1
. Por
este motivo, a representação gráfica de uma função real com n variáveis é feita num espaço de
dimensão n + 1 , isto é, num espaço com mais uma dimensão que o número de variáveis
independentes da função. Consequentemente, só é possível representar graficamente funções com
n ≤ 2 . Em particular:
•
a representação gráfica de uma função com n = 1 faz-se num espaço bidimensional (o
plano), G f ⊂
•
2
. É o caso de curvas que representam f.r.v.r.;
a representação gráfica de uma função com n = 2 faz-se num espaço tridimensional,
Gf ⊂
3
. Sendo o gráfico G f uma superfície de
3
, formada pelo conjunto de todos os
pontos do tipo ( x, y, z ) , onde ( x, y ) ∈ D f e z é a cota correspondente.
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n
Cálculo Diferencial em
Assim, na disciplina de complementos de matemática, a atenção recai na representação gráfica de
funções definidas em
2
. Contudo, o aluno deve ter presente os conceitos da representação gráfica
de f.r.v.r. Na figura 2.1 apresenta-se o esboço de uma superfície e do seu domínio.
Figura 1.2 – Esboço de uma superfície e respectivo domínio
Uma vez que D f ⊆
n
, os domínios de funções reais com n variáveis são representados
graficamente em espaços de dimensão n, isto é, em espaços de dimensão igual ao número de
variáveis independentes da função.
1.1.4 Conjuntos de nível
O esboço de gráficos de funções reais com duas variáveis não é um problema trivial. No entanto,
em determinadas circunstâncias é possível obter uma boa representação gráfica destas funções.
Existem métodos geométricos que permitem obter uma melhor informação sobre a forma da
superfície, em particular, é frequente recorrer-se à intersecção do gráfico (superfície) com planos
privilegiados, sendo os mais comuns os paralelos aos planos coordenados xOy , yOz e xOz , e/ou
fazer a representação da projecção no plano xOy das intersecções da superfície com planos z = c .
Definição 1.5: Dada uma função f : D f ⊆
n
→
e um número real c, ao conjunto
N c = { x ∈ D f : f ( x ) = c} ,
(1.4)
dá-se o nome de conjunto de nível de f .
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Cálculo Diferencial em
n
Repare-se que, por definição, c ∈ CD f . Caso c ∉ CD f , tem-se Nc = ∅ .
Por outras palavras, chama-se conjunto de nível, Nc , de uma função f : D f ⊆
n
→
, ao conjunto
de pontos do domínio para os quais a função toma um valor constante c, ou seja, não varia.
Para um determinado valor de c, também se chama a Nc um contorno de f. Um gráfico que
representa um conjunto de nível para diferentes níveis (diferentes valores de c) é designado por um
gráfico de contornos.
Como os conjuntos de nível de uma função são subconjuntos do seu domínio serão também
representados graficamente em espaços de dimensão n, ou seja, em espaços de dimensão igual ao
número de variáveis independentes.
Para campos escalares definidos em
2
, ou seja, quando n = 2 , o conjunto de nível
N c = {( x, y ) ∈ D f : f ( x, y ) = c} ,
(1.5)
define curvas (linhas) de nível de f, e representa-se num espaço de dimensão 2 (no plano).
Para campos escalares definidos em
3
, ou seja, quando n = 3 , o conjunto de nível
N c = {( x, y, z ) ∈ D f : f ( x, y, z ) = c} ,
(1.6)
define superfícies de nível de f (de cota c) e representa-se num espaço de dimensão 3, apesar de não
ser possível a representação gráfica das funções definidas em
3
, uma vez que G f ⊂
4
.
Para n ≥ 4 , as superfícies de nível tomam genericamente o nome de hipersuperfícies de nível e não
é possível a sua representação gráfica.
As famílias de conjuntos de nível aparecem regularmente em muitas aplicações físicas. Por
exemplo, caso f ( x, y ) seja uma função que represente a altitude no ponto ( x, y ) , as curvas de
nível, nas cartas topográficas, unem pontos com a mesma altitude (onde a altitude é constante), e
são designadas por isolinhas. Caso se trate de temperaturas, as curvas de nível são chamadas
isotérmicas e, para a pressão atmosférica isobáricas.
Mesmo com a utilização destes métodos geométricos, a representação gráfica da maior parte das
funções de duas variáveis requer alguma perícia artística que pode ser aperfeiçoada através de
programas computacionais existentes.
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Cálculo Diferencial em
n
No esboço dos gráficos haverá a preocupação de dar uma ideia da forma da superfície, colocando
em segundo plano o rigor da representação. Adicionalmente, como a maior parte das superfícies se
prolongam indefinidamente, estas aparecem truncadas, e limitadas por um paralelepípedo
imaginário.
Tal como para as f.r.v.r., existem funções definidas em
2
cuja representação gráfica se encontra
bem estudada na literatura. Contam-se entre estas, elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, planos,
esferas, etc. Ver, por exemplo, Acilina (1995).
Exemplo 1.5: Esboço da representação gráfica da função
f:
2
→
definida por
f ( x, y ) = 2 x 2 + y 2 .
Resolução: O gráfico de f é representado pelo conjunto de todos os pontos ( x, y, z ) de
3
que
satisfaçam a equação z = 2 x 2 + y 2 . Pela definição
G f = {( x, y, z ) ∈
3
: ( x, y ) ∈ D f , z = 2 x 2 + y 2 } .
Relativamente à intersecção com os planos coordenados tem-se:
•
A intersecção com o plano xOz ( y = 0 ), é uma parábola de equação, z = 2 x 2 .
•
A intersecção com o plano yOz ( x = 0 ), é uma parábola de equação z = y 2 .
•
A intersecção com o plano xOy ( z = 0 ), reduz-se à origem.
Figura 1.3 – Representação gráfica da função z = y 2
Por outro lado, a expressão geral do conjunto de nível, para esta função, é
N c = {( x, y ) ∈
2
: f ( x, y ) = c} = {( x, y ) ∈
2
: 2 x 2 + y 2 = c} .
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Cálculo Diferencial em
Para diferentes valores de c ∈
que CD f =
+
0
n
obtêm-se curvas de nível da função. Não é muito difícil verificar
, uma vez que f ( x, y ) = 2 x 2 + y 2 ≥ 0 , ∀( x, y ) ∈ D f =
2
. Como foi referido, c
pertence a CD f , assim relativamente aos valores de c, pode-se concluir que:
•
Para c < 0 , N c = ∅ , não existem curvas de nível;
•
Para c = 0 , N c = {(0, 0)} ;
•
Para c > 0 , o conjunto de nível será uma família de elipses centradas na origem, isto é, o
gráfico de contorno de f, como ilustrado na figura 1.4, consiste em elipses concêntricas. Por
exemplo, para c = 1
N1 = {( x, y ) ∈
2
: 2 x 2 + y 2 = 1} = ( x, y ) ∈
2
:
x2
( )
1
2
2
+
y2
=1 ,
12
a curva de nível é uma elipse de centro na origem e semieixos a =
1
2
e b = 1 . Note-se que
N1 corresponde à projecção no plano xOy da intersecção da superfície com o plano z = 1 .
Figura 1.4 - Curvas de nível da função z = 2 x2 + y 2 , c = 1, 3, 5, 7
Tendo em conta as intersecções com os planos coordenados e imaginando todas as curvas de nível
ao longo do eixo dos zz (projectadas no plano xOy ) é possível ter uma ideia da forma da superfície.
De facto, a equação z = 2 x 2 + y 2 é do tipo z = ax 2 + by 2 + c , com a = 2 , b = 1 e c = 0 , ou seja, é
um caso particular das quádricas. O gráfico da função é um parabolóide elíptico ( a ≠ b ) cujo eixo é
o eixo dos zz e o vértice o ponto (0, 0, c) = (0, 0, 0) . Como a, b > 0 , o parabolóide tem a concavidade
voltada para cima, como ilustra a figura 1.5.
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Cálculo Diferencial em
n
Figura 1.5 – Representação gráfica da função z = 2 x 2 + y 2
1.1.5 Noções topológicas
Para se estudar o comportamento de funções de várias variáveis, é necessário fazer referência às
noções topológicas em
n
.
Definição 1.6: Sejam x = ( x1 , x2 ,..., xn ) e y = ( y1 , y2 ,..., yn ) dois elementos de
n
. A distância
(euclidiana) de x a y, que se representa por d ( x , y ) , é
d ( x, y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 )2 + ... + ( xn − yn )2 .
(1.7)
A distância de x a y também se representa por x − y , a norma do vector x − y .
Na proposição seguinte apresentam-se, sem demonstração, algumas propriedades da distância
euclidiana.
Proposição 1.1: Sejam x , y e z pontos de
(i) d ( x , y ) ≥ 0 , ∀x , y ∈
n
n
, então:
;
(ii) d ( x , y ) = 0 ⇔ x = y ;
(iii) d ( x , y ) = d ( y, x ) , ∀x , y ∈
n
(simetria da distância);
(iv) d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z, y ) ∀x , y, z ∈
n
(desigualdade triangular).
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n
Cálculo Diferencial em
Considere-se o espaço
n
munido da distância usual, isto é, a distância euclidiana.
Definição 1.7: Fixando um ponto a = (a1 , a2 ,..., an ) ∈
pontos x ∈
n
n
+
e dado r ∈
. Ao conjunto de todos os
cuja distância ao ponto a é menor do que r, chama-se bola aberta de dimensão n, de
centro em a e raio r , e representa-se por
Por outro lado, ao conjunto
Brn (a ) = { x ∈
n
: d ( x , a ) < r} .
(1.8)
Brn (a ) = { x ∈
n
: d ( x , a ) ≤ r} ,
(1.9)
chama-se bola fechada de dimensão n, de centro em a e com raio r.
As expressões dadas por (1.8) e (1.9) são equivalentes, respectivamente, a
( x1 − a1 ) 2 + ( x2 − a2 ) 2 + ... + ( xn − an )2 < r 2 ,
(1.10)
( x1 − a1 ) 2 + ( x2 − a2 ) 2 + ... + ( xn − an )2 ≤ r 2 .
(1.11)
ea
, pois se n = 1 , a = a e
O conceito de bola aberta generaliza a noção de vizinhança em
Br1 (a) = ]a − r , a + r [ (intervalo aberto), que corresponde ao conceito de vizinhança em
, por outro
lado, Brn (a) = [ a − r , a + r ] (intervalo fechado). Neste sentido, bolas abertas e fechadas são
extensões naturais dos conjuntos abertos e fechados de
O conjunto V
n
(da recta real).
, que contenha uma bola aberta de centro em a e raio r, é, ainda, uma vizinhança
de a.
Para n = 2 , uma bola aberta, Br2 (a ) , corresponde ao interior de uma circunferência de raio r e
centro em a, enquanto uma bola fechada, Br2 (a ) , corresponde a um círculo de raio r e centro em a.
Figura 1.6 – Exemplo de uma bola aberta em
2
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Seja X ⊆
n
, um conjunto, a = (a1 , a2 ,..., an ) ∈
n
n
, um ponto, e r > 0 .
Definição 1.8: O ponto a diz-se ponto interior ao conjunto X sse existir uma bola aberta de centro
em a, contida em X. Ao conjunto de todos os pontos interiores a X, chama-se interior de X e
representa-se por int( X ) . Simbolicamente,
a ∈ int( X ) ⇔ Brn (a ) ⊂ X .
(1.12)
Repare-se que, int( X ) ⊆ X .
Definição 1.9: O ponto a diz-se ponto exterior ao conjunto X sse existir uma bola aberta de centro
em a, contida no complementar de X (se for interior do seu complementar). Ao conjunto de todos os
pontos exteriores a X, chama-se exterior de X e representa-se por ext( X ) . Simbolicamente,
a ∈ ext( X ) ⇔ Brn (a ) ⊂ X c
Onde, X c representa o complementar de X ⊆
X
Xc
n
n
(1.13)
, ou seja, é o conjunto
n
\ X . Tem-se, portanto,
.
Definição 1.10: O ponto a diz-se ponto fronteiro ao conjunto X sse qualquer bola aberta de centro
em a, contiver pelo menos um ponto de X (se não for nem ponto interior nem ponto exterior de X).
Ao conjunto de todos os pontos fronteiros a X, chama-se fronteira de X e representa-se por
front( X ) . Simbolicamente,
a
front( X ) ⇔ Brn (a )
X
e Brn (a )
Xc
, r
0.
Os conjuntos, interior, exterior e fronteira são disjuntos dois a dois, isto é, int( X ) ext( X )
int( X ) front( X )
X⊆
n
e ext( X ) front( X )
, vem int( X ) ext( X ) front( X )
(1.14)
,
, e a sua união é o universo considerado, sendo
n
.
Figura 1.7 – Representação de bolas aberta em
2
12
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No âmbito da disciplina de complementos de matemática, consideram-se apenas bolas em
2
n
, para
não sobrecarregar a notação, em vez de Br2 (a ) , utiliza-se Br (a ) .
Da figura 1.7, pode-se concluir o seguinte:
•
Br (a1 ) está contida no complementar de X, portanto, a1 não pertence ao interior de X,
pertence ao seu exterior;
•
Br (a2 ) está contida em X, portanto, a2 pertence ao interior de X, não pertence ao seu
exterior;
•
Br (a3 ) não está contida nem no conjunto X nem no seu complementar, portanto, a3 não
pertence nem ao interior nem ao exterior de X, é um ponto fronteiro de X.
Definição 1.11: Chama-se fecho ou aderência de X à união do interior de X com a sua fronteira e
representa-se por ad( X )
X . Simbolicamente,
ad( X )
X
int( X ) front( X ) .
(1.15)
Prova-se que um ponto a é um ponto aderente a X sse qualquer bola aberta de centro em a contiver
pelo menos um elemento de X, ou de outra forma, sse existir uma sucessão de elementos de X
convergentes para a.
n
Tendo em conta a igualdade dada em (1.15), resulta que ext( X )
\X .
Definição 1.12: O conjunto X diz-se aberto sse coincide com o seu interior.
n
Exemplo 1.6:
é um conjunto aberto.
Definição 1.13: O conjunto X diz-se fechado sse coincide com a sua aderência, ou seja, se o seu
complementar for aberto.
Saliente-se que, enquanto na linguagem corrente as noções de aberto e fechado são opostas, o
mesmo não acontece com as noções topológicas de aberto e fechado. De facto, há conjuntos que são
simultaneamente abertos e fechados, como por exemplo,
conjuntos
C
( x, y )
que
2
não
:0
x
são
abertos
1 y
nem
fechado,
n
e o conjunto vazio. Há também
como
por
exemplo,
o
conjunto
0 (porquê?).
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Cálculo Diferencial em
n
Definição 1.14: O ponto a diz-se um ponto de acumulação do conjunto X sse qualquer bola aberta
de centro em a tiver pelo menos um ponto de X diferente de a (se houver pontos de X, distintos de
a, arbitrariamente perto de a). Ao conjunto de todos os pontos de acumulação de X, chama-se
derivado de X e representa-se por X . Simbolicamente,
a
X ⇔ Brn (a )
X \{a}
Exemplo 1.7: Considere-se o conjunto X
( x, y )
.
(1.16)
2
:x
2
(4, 0) . Qualquer ponto
a
(a1 , a2 ) , com a1
b
(4, 0) pertence a X, mas não é ponto de acumulação deste conjunto já que, por exemplo,
B1 (4, 0)
2 é um ponto de acumulação de X, embora não pertença a X. O ponto
X \{(4, 0)}
.
Este exemplo mostra que o facto de um ponto a ser ponto de acumulação de um conjunto X é
independente do facto de ele pertencer ou não a X. O que importa é que, tão perto de a quanto se
queira, se possam encontrar pontos de X distintos de a.
Definição 1.15: O ponto a diz-se ponto isolado do conjunto X sse existir uma bola aberta de centro
em a cuja intersecção com X for apenas o próprio a. Simbolicamente,
Brn (a )
Note-se que, ad( X )
X
X
a .
(1.17)
pontos isolados .
Definição 1.16: O conjunto X diz-se limitado sse existir uma bola (de
n
) que o contenha.
Definição 1.17: O conjunto X diz-se compacto sse for limitado e fechado.
Estas noções são importantes, porque, por exemplo, só se poderá definir limite de uma função num
ponto de acumulação do seu domínio e só se poderá definir derivada de uma função num ponto
interior do domínio.
14
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
n
Exemplo 1.8 : Classificação topológica do domínio de f ( x, y ) = − x 2 − y + 6 + y − x + ln(− x + 2) .
Resolução: No Exemplo 1.3, viu-se que D f = {( x, y ) ∈
2
: y ≤ − x2
6
y ≥ x} \ {(2, 2)}
.
A representação gráfica deste conjunto é,
Figura 1.8 – Gráfico do domínio da função f ( x, y ) =
•
int ( D f ) = {( x, y ) ∈
2
: y < − x2
6
− x 2 − y + 6 + y − x + ln(− x + 2)
y > x} ≠ D f . Como, int ( D f ) ≠ D f , D f não é um
conjunto aberto;
•
front ( D f ) = {( x, y ) ∈
2
: ( y = − x2
6
y = x)
3 ≤ x < 2} .
Obs: Os pontos de intersecção entre a recta e a parábola são
y = −x2 + 6
y=x
•
ad ( D f ) = int ( D f )
x 2 + x − 6 = 0 ⇔ x = −3 x = 2 .
front ( D f ) = {( x, y ) ∈
2
: y ≤ − x2
6
y ≥ x} ≠ D f .Como,
ad ( D f ) ≠ D f , D f não é um conjunto fechado;
•
existe uma bola de
2
que contém D f , por isso, D f é um conjunto limitado.
Apesar de ser limitado, uma vez que não é fechado, D f não é um conjunto compacto.
15
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
n
1.1.6 Limites
A definição de limite para funções reais de variável vectorial é análoga à definição de limite para
f.r.v.r.. E tem a ver com o estudo do comportamento da função na vizinhança de um ponto.
Definição 1.18: Seja f : D f ⊆
n
→
e a∈
n
, um ponto de acumulação de D f . Então
lim f ( x ) = l sse
x →a
∀δ >0 ∃ε (δ )>0 : x ∈ D f \ {a}
x −a <ε
f ( x) − l < δ .
(1.18)
Através da definição de limite prova-se que, se existir, o limite é único (unicidade do limite).
Para funções de várias variáveis, quando x → a , isto é, quando x se aproxima de a ao longo de uma
determinada direcção, ao limite lim f ( x ) dá-se o nome limite direccional.
x →a
Na disciplina de complementos de matemática considera-se apenas os limites de funções definidas
em
2
, para as quais um caso particular da definição 1.18, é:
Definição 1.19: Seja f : D f ⊆
lim
( x , y ) →( a ,b )
2
→
e ( a, b) ∈
2
, um ponto de acumulação de D f . Então,
f ( x, y ) = l sse
∀δ >0 ∃ε (δ )>0 : ( x, y ) ∈ D f \ {(a, b)}
( x, y ) − ( a , b ) < ε
f ( x, y ) − l < δ ,
(1.19)
onde ( x, y ) − (a, b) = ( x − a ) 2 + ( y − b)2 .
A definição de limite para funções reais de duas variáveis pode ser interpretada através do seguinte
esquema.
2
y
l +δ
ε
x
(a, b)
l
( x, y )
f ( x, y )
l −δ
16
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
n
Isto significa, que os valores de f ( x, y ) estão tão próximos de l quanto se queira ( f ( x, y ) − l < δ ),
desde que ( x, y ) ≠ (a, b) esteja suficientemente perto de (a, b) ( ( x, y ) − (a, b) < ε para um valor
adequado de δ ).
Para se utilizar a definição de limite, um procedimento, será por majorações sucessivos de
f ( x, y ) − l até se obter uma expressão em ( x, y ) − (a, b) = ( x − a) 2 + ( y − b)2 . Para diferentes
majorações podem obter-se diferentes expressões para ε (δ ) . Tendo em vista esta majoração são
úteis, entre outras, as seguintes desigualdades:
n
•
x 2 ≤ x 2 + y 2 donde x ≤ x 2 + y 2 e x ≤
•
xy ≤ x 2 + y 2 ;
•
x− y ≤ x+ y ≤ x + y ;
•
kx 2 + y 2 ≤ k ( x 2 + y 2 ) , k ∈
•
sin x ≤ 1 e cos x ≤ 1 ;
•
sin x ≤ x e cos x ≤ x ;
•
sin x ≤ x
•
arctan x <
2
2
2
+
0
(x
2
+ y2 ) , n ∈
n
;
;
2
e cos x ≤ x ;
π
2
.
A aplicação da definição, quando se pretende calcular o limite de uma função real de várias
variáveis, nem sempre é tarefa fácil. Para além disso, o limite de uma determinada função pode não
existir. No que se segue, tratam-se de resultados, relacionados com a existência de limite.
Resultados estes, que permitem em muitos casos a não utilização da definição, em particular, caso o
limite não exista.
Como é sabido, em f.r.v.r, pela unicidade do limite, para que exista o limite lim f ( x) = l , deve terx→a
se lim− f ( x) = lim+ f ( x) = l , ou seja, têm que existir e serem iguais os limites laterais à esquerda
x →a
x →a
(quando x se aproxima de a por valores inferiores) e à direita de a (quando x se aproxima de a por
valores superiores).
Raciocínio análogo pode ser aplicado às funções f :
n
→
existirem infinitas direcções ao longo das quais a variável x ∈
. A diferença está no facto de
n
se pode aproximar de um dado
17
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
ponto a ∈
n
, contrariamente às únicas duas possíveis em
n
. Assim, se existe lim f ( x ) , pela
x →a
unicidade do limite, todos os limites direccionais deverão ser iguais, isto é, o limite é independente
da direcção descrita pelo ponto x na sua aproximação ao ponto a.
Consequentemente, na prática, não é possível estabelecer a existência de limite para funções reais
de várias variáveis tendo por base este argumento, uma vez, se existisse limite dever-se-ia calcular
infinitos limites e estes deveriam ser todos iguais. Contudo, da mesma maneira, que se conclui pela
não existência de limite, em f.r.v.r., caso os limites laterais não sejam iguais, ou não existam, em
funções de várias variáveis, basta, que dois limites direccionais sejam diferentes para que não exista
limite (se se encontrar duas maneiras de aproximação a a cujos limites sejam diferentes é suficiente
para se concluir que o limite não existe).
Atenção que, o facto de vários limites direccionais serem iguais não garante a existência do limite
da função (pode sempre haver uma direcção para a qual o limite não seja igual ou não exista).
O que foi aqui dito pode ser resumido na seguinte proposição.
Proposição 1.2: Seja f : D f ⊆
n
→
e a∈
n
, um ponto de acumulação de D f . Sejam B e C
dois subconjuntos de D f , dos quais a é também um ponto de acumulação. Então:
(i) lim f ( x ) não existe
lim f ( x ) não existe;
(ii) lim f ( x ) ≠ lim f ( x )
lim f ( x ) não existe.
x →a
B
x →a
B
x →a
C
x →a
x →a
A procura de conjuntos B e C nas condições da proposição anterior pode não ser tarefa fácil, para a
qual não existem regras definidas.
No caso de limites de funções f ( x, y ) de duas variáveis quando ( x, y ) tende para (a, b) , uma
primeira tentativa poderá ser procurar B e C como sendo famílias de rectas, parábolas ou outras
quaisquer trajectórias que passem pelo ponto (a, b) (caso exista o limite, todos os limites segundo
as trajectórias que passem no ponto (a, b) deverão ser iguais), ou ainda entre as curvas de nível da
função. Convém no entanto salientar que, uma vez que a condição da proposição 1.2 é apenas
suficiente, se não se conseguir encontrar B e C com as características desejadas nada se poderá
concluir com base naquela proposição.
18
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
Exemplo 1.9: Estudo do
n
x2 y
.
( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
lim
Resolução: O domínio da função é D f =
2
\ {(0, 0)} . O ponto (0, 0) é um ponto de acumulação do
domínio da função (porquê?). Tal como no cálculo de limites para f.r.v.r, começa-se por substituir
o ponto de acumulação em f ( x, y ) ,
x2 y
0
=
,
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
0
lim
como se obteve uma indeterminação, essa deve ser levantada. Caso não dê indeterminação o valor
obtido é o valor do limite (mesmo que dê infinito).
Para se levantar a indeterminação, calculam-se limites segundo algumas trajectórias, limites
direccionais. Por exemplo, ao longo das linhas mais simples, a família de rectas que passam em
(a, b) = (0, 0) , ou seja, as rectas da forma y = b + m( x − a )
⇔
( a ,b ) = (0,0)
y = mx , onde m é o declive destas
rectas. A restrição de f ( x, y ) às rectas y = mx , concorrentes na origem, é
f ( x, mx) =
x 2 mx
mx
=
, logo
2
2
x + (mx ) 1 + m 2
lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim
x →0
y = mx
x →0
mx
=0,
1 + m2
o que quer dizer que o limite desta função, quando ( x, y ) se aproxima de (0, 0) ao longo das rectas
de equação y = mx , é zero. Pode concluir-se que o limite não depende do declive (m) destas rectas
(não depende destas trajectórias) que passam na origem. Portanto, para já, apenas se pode concluir
que, caso exista o limite o seu valor é zero, nada se concluindo quanto à sua existência. Calcule-se o
limite ao longo da família de parábolas que passam na origem, de equação y = mx 2 ,
lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x, y ) =
y = mx 2
x2 y
x 2 mx 2
mx 2
=
lim
=
lim
= 0,
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
x →0 x 2 + m 2 x 4
x →0 1 + m 2 x 2
2
y = mx
lim
o limite desta função, quando ( x, y ) se aproxima de (0, 0) ao longo das parábolas de equação
y = mx 2 , continua a ser zero.
O cálculo dos limites segundos estas trajectórias indica que
x2 y
= 0 . Pela definição,
( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
lim
deve provar-se que
∀δ >0 ∃ε (δ ) >0 : ( x, y ) ∈ D f \{(0, 0)}
( x, y ) − (0, 0) < ε
f ( x, y ) − 0 < δ ,
ou seja, para δ > 0 existe outro número positivo ε , que depende de δ , tal que, para
0 < ( x, y ) − (0, 0) = x 2 + y 2 < ε , se tem | f ( x, y ) − 0 |=
x2 y
x2 + y2
<δ .
19
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
n
Como x 2 ≤ x 2 + y 2 e y ≤ x 2 + y 2 , vem
x2 y
x2 + y 2
caso
=
x2 y
x +y
2
2
(x
≤
2
+ y2
)
x2 + y2
x +y
2
2
= x2 + y 2 ,
x 2 + y 2 < ε ≤ δ então
x2 + y2 < ε ≤ δ
x2 y
x2 + y2
<δ ,
uma vez que
x2 y
x2 + y 2
≤ x2 + y 2 < ε ≤ δ ,
basta, portanto, considerar, ε ≤ δ , ou em particular, ε (δ ) = δ , para se garantir que
x2 y
<δ ,
x2 + y2
∀ δ > 0 ∃ε = δ : x 2 + y 2 < ε = δ
isto é, que
x2 y
=0.
( x , y ) →( 0, 0 ) x 2 + y 2
lim
Note-se que o valor de lim f ( x ) é independente do que acontece no próprio ponto a. Basta ter-se
x →a
em conta que, no cálculo do limite do exemplo anterior, o ponto a = (0, 0) não pertence ao domínio
da função, D f =
2
\ {(0, 0)} .
Obs.: O cálculo de limites direccionais para pontos (a, b) ≠ (0, 0) , pode ser facilitado ao se efectuar
uma translação dos eixos que coloque a nova origem em (a, b) , ficando assim o estudo de um limite
em (0, 0) .
Um processo bastante útil no cálculo de limites, em particular quando estes não existem, são os
chamados limites iterados, que se passa a definir. Supondo
lim f ( x ) =
x →a
lim
( x1 , x2 ,..., xn ) →( a1 , a2 ,..., an )
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = l ,
admite-se que as n variáveis x1 , x2 ,..., xn convergem simultaneamente para a1 , a2 ,..., an . Pode
admitir-se que primeiro se faz tender x1 para a1 depois x2 → a2 , …, finalmente, xn → an , obtendose, assim, um limite escalonado ou iterado, que se representa por lim lim ... lim f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
x1 → a1 x2 → a2
xn → an
20
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Cálculo Diferencial em
n
No caso de se ter n variáveis, os limites iterados são em número de n ! . Se existe lim f ( x ) e
x →a
existem os n ! limites iterados então todos têm o mesmo valor. Claro que a existência de dois
limites iterados iguais não implica a existência do limite, mas a existência de dois limites iterados
distintos implica a não existência de limite no ponto considerado.
Em particular, para n = 2 , relativamente a
lim
( x , y ) → ( a ,b )
f ( x, y ) existem dois limites iterados,
lim lim f ( x, y ) e lim lim f ( x, y ) .
x → a y →b
y →b x → a
Exemplo 1.10: Estudo do
x2 − y2
.
( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
lim
Resolução: O domínio da função é D f =
2
\ {(0, 0)} , e
x2 − y2
0
.
=
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
0
lim
Por vezes uma simples análise da função permite concluir que os limites iterados existem e são
diferentes, concluindo-se que o limite não existe. Neste exemplo,
lim lim
x→0 y →0
x2 − y2
x2
x2 − y2
− y2
=
lim
=
1
e
lim
lim
=
lim
= −1 ,
y →0 x →0 x 2 + y 2
x →0 y 2
x 2 + y 2 x→0 x 2
ou seja,
lim lim f ( x, y ) ≠ lim lim f ( x, y ) .
x → 0 y →0
y →0 x →0
Como os limites iterados existem e são diferentes pode concluir-se que não existe
x2 − y2
.
( x , y )→ ( 0 , 0 ) x 2 + y 2
lim
Se os limites iterados fossem iguais, nada se poderia concluir quanto à existência do limite da
função. Dever-se-ia, por exemplo, tentar calcular o limite ao longo de outra(s) trajectória(s) (e assim
por diante) até se ter ou não indicações de que o limite existe. Se houvesse indícios da existência do
limite, aplicava-se a definição, ou outro procedimento qualquer, para se provar a sua existência.
Neste exemplo, apesar de se ter provado que o limite não existe, estudam-se os limites direccionais
ao longo da família de rectas que passa pelo ponto (0,0) , de equação y = mx ,
x2 − y2
x2 − y 2
x 2 − (mx) 2
1 − m2 1 − m 2
=
lim
=
lim
=
lim
=
,
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
x → 0 x 2 + ( mx ) 2
x →0 1 + m 2
1 + m2
y = mx
lim
como o limite depende de m, o declive das rectas, isto é, depende da trajectória de aproximação de
( x, y )
m =1
à
origem,
lim
( x , y ) →( 0, 0 )
conclui-se
que
f ( x, y ) = 0 e para m = 2
este
limite
lim
( x , y )→( 0 ,0 )
não
existe.
Em
particular,
para
3
f ( x, y ) = − .
5
21
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Cálculo Diferencial em
Exemplo 1.11: Estudo do
lim
( x , y ) →(0,0)
ysen
n
1
.
x
Resolução: Os limites iterados são lim lim y sen
x → 0 y →0
1
1
= 0 e lim lim y sen , este último limite não
y →0 x→0
x
x
1
não existe. Assim, nada se pode concluir, quanto a existência do
x
1
limite utilizando os limites iterados. Prova-se mais adiante que lim ysen = 0 .
( x , y ) →(0,0)
x
existe, uma vez que, lim sen
x →0
O exemplo 1.11, ilustra que, para se poder concluir sobre a existência de limite, utilizando limites
iterados estes devem existir.
As propriedades dos limites de f.r.v.r. continuam válidas para funções reais de variável vectorial.
Apresentam-se aqui algumas sem demonstração.
Proposição 1.3: Sejam f, g e h funções de D ⊆
n
→
, e seja ainda a um ponto de acumulação de
D. Então,
(1) lim f ( x ) = l ⇔ lim f ( x ) − l = 0 ;
x →a
x →a
(2) Se lim h( x ) = l , lim g ( x ) = l e existe uma bola Br (a ) tal que h( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) para todo
x →a
x →a
x ∈ Br (a ) ∩ D então lim f ( x ) = l (Lei do enquadramento);
x →a
(3) Se lim f ( x ) = 0 e existem M > 0 e uma vizinhança Br (a ) tal que g ( x ) ≤ M para todo
x →a
x ∈ Br (a ) ∩ D , então lim f ( x ) g ( x ) = 0 ;
x →a
(4) Se existe r > 0 e g ( x ) tais que: f ( x ) − l ≤ g ( x ) para todo o x ∈ Br (a ) ∩ D f e lim g ( x ) = l ,
x →a
então lim f ( x ) = l ;
x →a
(5) Se lim f ( x ) = l1 ∈
x →a
, lim g ( x ) = l2 ∈
x →a
e α ,β ∈
, então
(i) lim α f ( x ) = α l1 ;
x →a
(ii) lim(α f ( x ) ± β g ( x )) = α l1 ± β l2 ;
x →a
(iii) lim( f ( x ) g ( x )) = l1l2 ;
x →a
(iv) lim
x →a
f ( x ) l1
= , (l2 ≠ 0) .
g ( x ) l2
Algumas das propriedades, apresentadas na proposição 1.3, permitem determinar limites de funções
de várias variáveis sem recorrer à definição.
22
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Cálculo Diferencial em
Exemplo 1.12: Estudo do
n
x2 y
.
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
lim
Resolução: Este limite foi calculado no exemplo 1.9. Vê-se que
0≤
sendo
lim
( x , y ) →(0,0)
lim
( x , y ) →(0,0)
0=
lim
( x , y ) →(0,0)
x2 y
x2 y
x2 y
=
≤
= y,
x2 + y2 x2 + y2
x2
| y |= 0 , conclui-se, pela lei do enquadramento, que também
x2 y
= 0 e, consequentemente,
x2 + y 2
Exemplo 1.13: Estudo do
lim
( x , y ) →(0,0)
Resolução: Uma vez que sen
1.3 conclui-se que
lim
( x , y ) →(0,0)
ysen
x2 y
=0.
( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
lim
1
.
x
1
≤ 1 = M e como
x
ysen
lim
( x , y ) →(0,0)
y = 0 , através do ponto (3) da proposição
1
= 0 . O produto de um infinitésimo por uma função limitada é um
x
infinitésimo.
1.1.7 Continuidade
Ao contrário da noção de limite, que está ligada ao estudo do comportamento de uma vizinhança de
um ponto sem ter em conta o que acontece no próprio ponto, a noção de continuidade relaciona o
comportamento de uma função perto de um ponto com o valor que ela toma nesse ponto. A
continuidade pode, portanto, ser expressa em termos do limite.
Definição 1.20: Seja f : D f ⊆
∀δ >0 ∃ε (δ ) >0 : x ∈ D f \ {a}
n
x -a <ε
→
. A função f diz-se contínua no ponto a ∈ D f quando
f ( x ) − f (a ) < δ . Sendo a um ponto de acumulação da
função, diz-se que a função é contínua no ponto a sse ∃ lim f ( x ) = f (a ) .
x →a
A definição 1.20 generaliza o conceito de continuidade a funções definidas em
n
. Como apenas se
pode visualizar o gráfico de funções com n ≤ 2 , no âmbito da disciplina complementos de
matemática, interessa a seguinte definição para funções definidas em
2
, cujos gráficos são
superfícies.
23
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Definição 1.21: Seja f : D f ⊂
2
→
. A função f ( x, y ) , diz-se contínua no ponto (a, b) ∈ D f
quando ∀δ >0 ∃ε (δ ) >0 : ( x, y ) ∈ D f \ {(a, b)}
( x, y ) - ( a , b ) < ε
f ( x, y ) − f (a, b) < δ . Sendo (a, b)
um ponto de acumulação da função, esta é contínua no ponto (a, b) sse ∃ lim
( x , y ) → ( a ,b )
Também em
n
n
f ( x, y ) = f ( a , b ) .
, a ideia de continuidade de uma função num determinado ponto esta ligada à não
existência de “saltos” no gráfico da função nesse ponto. Relativamente às f.r.v.r., a diferença está
no facto de em
n
existirem muitas formas de aproximação a um ponto, e portanto deve-se
garantir que a continuidade se verifica, seja qual for a forma de aproximação ao ponto.
Uma função f : D f ⊆
n
→
é contínua sse for contínua em todos os pontos do seu domínio D f .
Se a condição de continuidade não se verificar num certo ponto a, então este será um ponto de
descontinuidade:
•
A descontinuidade é não essencial, removível ou prolongável se existir lim f ( x ) . Chamax →a
se, portanto, prolongamento por continuidade de f ao ponto a, à função f * que coincide com
f nos pontos onde f já estava definida e que no ponto a toma o valor f * (a ) = lim f ( x ) :
x →a
f * ( x) =
f ( x)
, x ∈ Df
lim f ( x ), x = a
.
(1.20)
x →a
Neste caso, também, se diz que a função é prolongável por continuidade no ponto a. Note-se
que, embora a ∉ D f , como é exigido que exista lim f ( x ) , o ponto a terá que ser um ponto
x →a
de acumulação do domínio, para que faça sentido calcular o limite nesse ponto.
•
Caso não exista lim f ( x ) , a descontinuidade é não removível e a função não poderá ser
x →a
prolongada por continuidade ao ponto a .
Uma função f : D f ⊂
n
→
diz-se descontínua num ponto a sse não for contínua nem
prolongável por continuidade a esse ponto.
Definição 1.22: Uma função f :
n
→
da forma f ( x1 , x2 ,..., xn ) = α x1i1 x2i2 ...xnin , onde α é um
escalar e i1 , i2 ,..., in são números inteiros não negativos, é chamado um monómio. Uma função que
representa a soma de monómios é um polinómio.
24
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Cálculo Diferencial em
n
Proposição 1.4: Uma função polinomial f :
→
é contínua em todo o ponto a ∈
Definição 1.23: Se g e h forem ambas funções polinomiais, à função f ( x ) =
n
n
.
g ( x)
dá-se o nome de
h( x )
função racional.
Proposição 1.5: Uma função racional f : D f ⊂
n
→
é contínua em todos os pontos do seu
domínio.
Exemplo 1.14: Estudo da continuidade da função f ( x, y ) =
Resolução: O domínio da função é D f =
2
x2 y
.
x2 + y2
\ {(0, 0)} . Sendo uma função racional é contínua em
todos os ponto do seu domínio. Por outro lado, como foi visto no exemplo 1.9,
x2 y
= 0 , ou seja, a função pode ser prolongada por continuidade na origem. Isto quer
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
lim
dizer que a função
x2 y
, ( x, y ) ≠ (0, 0)
f * ( x, y ) = x 2 + y 2
0
, ( x, y ) = (0, 0)
2
(o prolongamento por continuidade de f ( x, y ) à origem) é contínua em
, o seu domínio. O que
pode ser ilustrado através do gráfico da função f ( x, y ) , apresentado na figura 1.9 .
1
0.5
0
-0.5
-1
-2
2
1
0
-1
-1
0
1
2
-2
Figura 1.9 – Representação gráfica da função f ( x, y ) =
x2 y
x2 + y 2
25
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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n
A figura, ilustra que o limite da função segundo qualquer trajectória que passe no ponto (0, 0) é
zero, e a relação deste facto com a continuidade da função neste ponto, onde se vê não existirem
quaisquer “saltos”.
Exemplo 1.15: Estudo da continuidade da função f ( x, y ) =
Resolução: O domínio da função é D f =
2
x2 − y 2
.
x2 + y2
\ {(0, 0)} . Sendo uma função racional é contínua em
todos os ponto do seu domínio. Por outro lado, como foi visto no exemplo 1.10,
existe
x2 − y2
,
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
lim
assim,
apesar
da
U = {( x, y ) : ( x, y ) ≠ (0, 0)} , não é contínua em
função
2
ser
contínua
no
conjunto
não
aberto
, nem é prolongável por continuidade a esse
conjunto. É possível verificar que o gráfico da função, ilustrado na figura 1.9, apresenta um “salto”
na origem.
1
0.5
0
-0.5
-1
-2
2
1
0
-1
-1
0
1
2
-2
Figura 1.10 – Representação gráfica da função f ( x, y ) =
x2 − y2
x2 + y 2
Esta figura, ilustra o facto do limite da função quando ( x, y ) → (0, 0) não existir, e a relação deste
facto com a não continuidade da função neste ponto.
Uma vez que a continuidade de funções num ponto pode ser definida em termos de limite, a partir
da proposição 1.3, é possível concluir sobre as propriedades correspondentes para a continuidade de
funções. Seguem-se, sem demonstração, algumas dessas propriedades:
26
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Cálculo Diferencial em
Proposição 1.6: Supondo as funções f :
f ( x) ± g ( x) , f ( x) × g ( x) ,
n
→
e g:
→
n
f ( x)
, ( g (a ) ≠ 0) e α f ( x ) ( α ∈
g ( x)
n
contínuas em a. Então as funções
), são contínuas em a.
Tal como acontece no caso de f.r.v.r, a composta de duas funções contínuas, quando tal composição
é possível, é ainda uma função contínua.
Teorema 1.1: Seja f : D f ⊂
n
→
contínua no ponto a ∈ D f e g : Dg ⊂
→
contínua em
y0 = f (a ) ∈ Dg , então a função composta gof ( x ) = g [ f ( x ) ] é contínua no ponto a.
Pode ainda, estabelecer-se a seguinte relação entre limite e composição de funções.
Teorema 1.2: Sejam f : D f ⊂
n
→
, g : Dg ⊂
→
e f ( D f ) ⊂ Dg . Se lim f ( x ) = l e g for
x →a
contínua no ponto l, então lim gof ( x ) = lim g [ f ( x ) ] = g (l ) .
x →a
x →a
Exemplo 1.16: Estudo da continuidade da função f ( x, y ) =
Resolução: O domínio da função é D f =
2
sen x 2 + y 2
x +y
2
2
em
2
.
\ {(0, 0)} , e o seu gráfico é
1
4
0.5
2
0
-4
0
-2
-2
0
2
4
-4
Figura 1.11 – Representação gráfica da função f ( x, y ) =
sen x 2 + y 2
x2 + y2
Como se pode verificar o gráfico da função f ( x, y ) não apresenta quaisquer “saltos”, é de esperar
que a função seja contínua em
2
.
27
APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
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Cálculo Diferencial em
Comecemos por estudar a continuidade em D f =
∀( x, y ) ∈
2
, e g (t ) = sin t contínua em
n
\ {(0, 0)} . Seja h( x, y ) = x 2 + y 2 contínua
2
. Então, pelo teorema 1.1, a função
goh( x, y ) = g ( h( x, y )) = g ( x 2 + y 2 ) = sen x 2 + y 2
2
é contínua em
. Consequentemente, pela proposição 1.6, a função f ( x, y ) =
contínua ∀( x, y ) ∈
2
sen x 2 + y 2
x2 + y 2
é
\ {(0, 0)} , isto é, no seu domínio.
2
Para se estudar a continuidade da função em
, falta estudar a origem, um ponto de
descontinuidade. Utilizando o teorema 1.2, calcula-se o limite da função quando
para se verificar que tipo de descontinuidade é este ponto. Como
lim
( x , y ) →(0,0)
( x, y ) → (0, 0) ,
x2 + y 2 = 0 = l ,
considera-se
sin t
,t≠0
w(t ) = t
1 ,t=0
que é contínua em t = 0 = l , pois lim w(t ) = lim
t →0
woh( x, y ) =
sen x 2 + y 2
x +y
2
lim
( x , y ) →(0,0)
2
t →0
sen t
= 1 = g (0) . Sendo a função composta
t
= f ( x, y ) , para x 2 + y 2 ≠ 0 , então pelo teorema 1.2,
f ( x, y ) =
lim
( x , y ) →(0,0)
woh( x, y ) =
sen x 2 + y 2
lim
( x , y ) → (0,0)
x2 + y 2
= g (0) = 1 = g (l ) .
Obs.: para o cálculo deste limite,
lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x, y ) =
lim
sen x 2 + y 2
x +y
( x , y ) → (0,0)
2
2
=
lim
( x , y ) →(0,0)
sen x
sen r
= lim
= 1.
r
→
0
x
r
Pode-se concluir que a descontinuidade da função no ponto (0, 0) é removível, a função é
prolongável por continuidade na origem. Isto é, a função
sen x 2 + y 2
f * ( x, y ) =
x2 + y2
1
é contínua para todos os pontos ( x, y ) ∈
2
, ( x, y ) ≠ (0, 0)
,
, ( x, y ) = (0, 0)
, o seu domínio.
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