TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

FERRAMENTAS DA GEOMETRIA PLANA
(3) Distância de um ponto P a uma reta r é a medida
do segmento que tem uma extremidade em P, outra
num ponto Q da reta r e tal que PQ é perpendicular à
reta r.
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
(1) Para começar, você tem que saber as definições
de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do
triângulo retângulo. Faça agora essas definições
mentalmente. (seno é a razão entre o cateto...)
(2) Lembre-se de que dois ângulos são
complementares se a soma de suas medidas é igual a
90º. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são
complementares.
α
.
r
Q
o s
0
o
9c
n
e
s
α+β =
α=
β
P
(4) Bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem
origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois
ângulos congruentes.
β
(5) Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos
pontos eqüidistantes dos lados desse ângulo.
o
o
5
45
lado
3
n
e
s
o
5
meio
lado
5
s
o
c
o
30
o
0
7
s
o
c
o
0
2
n
e
s
(3) A palavra cosseno, que significa seno do
complemento, é uma alusão ao fato de que o cosseno
de um ângulo é o seno do complemento desse ângulo.
Por exemplo,
=
,
=
etc.
(4) Convém você se familiarizar com os valores da
altura do triângulo equilátero e da diagonal do
quadrado, pois, como já sabe, a trigonometria dos
ângulos fundamentais, isto é, 30º, 45º e 60º, é gerada
por essas duas figuras.
lado
α
α
(6) No triângulo isósceles, a altura, a bissetriz e a
mediana relativas à base coincidem num só
segmento de reta. Esse segmento está contido na
mediatriz da base.
2
lado
3
o
45
60
A
o
lado
meio
lado
.
α
α
.
altura
mediana
bissetriz
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
B
M
mediatriz
Na aula de congruência de triângulos, apresentamos
os critérios de congruência. São os seguintes: L.L.L. –
L.A.L – A.L.A. – L.A.AO – L.L.ARETO. Porém, além
disso, ficaram estabelecidos conceitos e propriedades
estruturais importantes da Geometria. Veja quais são.
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
(1) Mediatriz de um segmento de reta AB é a reta que
passa pelo ponto médio de AB e que é
perpendicular a AB .
Esta aula apresentou-lhe vários conceitos e
propriedades. É imprescindível que você os
compreenda e os retenha. Conforme temos insistido
durante as aulas, os conceitos constituem o
vocabulário com que nos comunicamos e as
propriedades são as “armas” que empregamos para
resolver os problemas. Leia atentamente as
colocações seguintes.
(2) Mediatriz de um segmento de reta AB é o lugar
geométrico dos pontos eqüidistantes de A e B.
r
r
A
M
(1) Faça para você mesmo, mentalmente, as
definições de altura, mediana e bissetriz interna de
um triângulo. Defina, agora, mediatriz de um
segmento de reta. No caso da bissetriz e da mediatriz,
relembre também as propriedades de seus pontos.
B
B
A
C
M
1
(4) Por fim, dê especial atenção ao fato de que, no
triângulo equilátero, e apenas nele, os quatro pontos
notáveis coincidem.
2
=
h
h
=
1 3
r
mediana
2 3
R
=
A
altura
r
R
Observação. Vale insistir que bissetriz, altura e
mediana são segmentos distintos, com diferentes
funções, e que a mediatriz é uma reta que, a princípio,
nada tem a ver com esses segmentos. Porém, com
relação à base de um triângulo isósceles, como já
vimos, altura, bissetriz e mediana coincidem e estão
contidas na mediatriz da base.
bissetriz
B
QUADRILÁTEROS E POLÍGONOS EM GERAL
C
M
mediatriz
Mais uma vez você está diante de uma aula rica em
conceitos e propriedades. Certifique-se de que você
assimilou as definições dos paralelogramos e dos
trapézios. Assegure-se também de que dominou as
propriedades sobre os ângulos dos paralelogramos e
sobre suas diagonais.
(2) Relembre, agora, quais são os pontos notáveis do
triângulo.
Baricentro: Encontro das medianas.
Incentro: Encontro das bissetrizes internas.
Ortocentro: Encontro das retas suportes das alturas.
Circuncentro: Encontro das mediatrizes dos lados.
(1) O quadro abaixo indica com a letra X as
propriedades das diagonais dos paralelogramos.
(3) A seguir, relembre as propriedades dos pontos
notáveis.
BARICENTRO (G)
INCENTRO (I)
A
P
A
G N
B
P = paralelogramo qualquer
R = retângulo
L = losango
Q = quadrado
M
I
C B
AG BG CG 2
=
=
=
GM GN GP 1
C
AS DIAGONAIS
Centro da circunferência
inscrita
CORTAM-SE AO MEIO
.
ORTOCENTRO (H)
A
CIRCUNCENTRO (O)
A
H
O
C B
B
Sem propriedade
a destacar
SÃO CONGRUENTES
P
R
L
Q
X
X
X
X
X
X
SÃO PEPENDICULARES
X
X
SÃO BISSETRIZES
X
X
Sobre os ângulos de um paralelogramo qualquer você
tem que saber que:
C
Centro da circunferência
circunscrita
(2) Os ângulos opostos são congruentes
(3) os ângulos adjacentes a um mesmo lado são
suplementares.
.
.
o
0
8
1
α+β =
2
(4) Com relação a um polígono convexo, você tem que
saber calcular o número de diagonais, a soma dos
ângulos internos e saber o valor da soma de seus
ângulos externos (360º
=( −
)
Si
i1
i2
)
o
0
8 o
1 0
−
=
3
(
in
e1
6
n 2 2 3
n
n
Se
d
en
Diante destas figuras...
você deve “enxergar” estas medidas:
=
i3
e3
e2
(5) Por fim, lembre-se de que o polígono regular, por
definição, é equilátero e equiângulo. Como
conseqüência, seus ângulos externos são congruentes
e, como a soma de todos os ângulos externos é igual a
360º, fica fácil calcular o valor de cada um.
e
e
e
e
=
o
0
8
o
0
n1
6
i
3
i
i
(3) Procure registrar, não somente que o triângulo
retângulo é inscritível numa semicircunferência, mas
também que a mediana relativa à hipotenusa é igual à
metade da hipotenusa.
+ =
i
e
i
i
e
e
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
(4) O que diferencia o quadrilátero inscritível numa
circunferência dos demais quadriláteros? Seus ângulos
opostos são suplementares.
(1) Na figura abaixo, diz-se que o ângulo de medida β
está inscrito na circunferência, ou ainda, que ele está
inscrito no arco ABC. Procure incorporar isso ao seu
vocabulário.
(2) Ao deparar-se com um ângulo inscrito numa
circunferência, do qual se conhece a medida, crie o
hábito de calcular mentalmente não apenas a medida
do arco que ele enxerga, mas também a do arco em
que ele está inscrito. Observe atentamente as
situações a seguir.
o
0
8
1
C
A
+=
(5) Todo polígono regular é inscritível numa
circunferência. Desenhá-la pode facilitar bastante as
resoluções de problemas que os envolvem.
Observe o ângulo formado por duas das diagonais do
eneágono regular da figura1. Desenhando-se a
circunferência circunscrita, como na figura 2,
passamos a ter um ângulo excêntrico interno de
medida facilmente calculável.
3
figura 1
Repare que a, m e b, nessa ordem,
Progressão Aritmética.
figura 2
formam uma
Teorema Fundamental da Semelhança
“Se dois lados de um triângulo, ou seus
prolongamentos, são cortados por uma paralela ao
terceiro lado, o novo triângulo formado é semelhante
ao triângulo primitivo”
E
D
β
α
θ
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
A
Além da forte presença nos exames vestibulares, a
semelhança de triângulos constitui uma estrutura
fundamental para a Geometria. Seguem elementos de
destaque desta aula. Estude-os com atenção.
D
B
C
a
IMPORTANTE
A
(h x)
//
M
A
m
B
a
y
E
F
h
x
C
B
C
a
EF // BC ⇒ ∆AEF ~ ∆ABC ⇒
A
y
h−x
=
a
h
A
RST Q
P
P
R S T
Q
//
B
e
a+b
m=
2
N
F
x
C
B
C
D
A
N
M
b
A
y
E
(4) A base média de um trapézio é o segmento que
une os pontos médios dos lados transversos desse
trapézio. Ela é sempre paralela às bases e sua medida
é a média aritmética das medidas das bases.
B
C
Suponha que dois lados de um triângulo sejam
intersectados por uma reta paralela ao terceiro lado
Então, esses dois lados e todas as cevianas relativas
ao terceiro lado ficam divididos numa mesma razão.
Particularmente, se a reta passar pelos pontos médios
dos lados, passará pelos pontos médios de todas
essas cevianas.
C
B2
N
M
=
θ
B
C
C
B
N
M
//
e
β
θ
Este é o teorema fundamental da semelhança. Ele se
faz presente em problemas que envolvem
paralelogramos (isto é, losangos, retângulos,
quadrados), inscritos em triângulos, como no caso do
retângulo inscrito no triângulo da figura seguinte.
A
N
E
DE // BC ⇒ ∆ADE ~ ∆ABC
(3) Base média de um triângulo é qualquer segmento
que une os pontos médios de dois lados desse
triângulo. A base média é sempre paralela ao terceiro
lado e sua medida é a metade da medida desse lado.
M
θ
β
Por isso, ao escrever a sentença ∆...... ~ ∆...... ,
coloque as letras sempre em ordem de
correspondência.
a
2
β
CR
AP
CR
BQ
BQ
AP
P Q R
∆ABC ~ ∆PQR permite concluir que
≅∢
e
≅∢
=
=
≅∢
A B C
(2) A sentença
∢
∢
∢
α
B
(1) O critério fundamental de semelhança de triângulos
(critério A.A.) é o seguinte:
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos
de um deles são congruentes a dois ângulos do
outro.
A
α
D
E
F
C
B
D
E
AP
AR
AS
AQ
=
=
= ... =
AB
AD AE
AC
D
F
C
4
Translação no trapézio
O TRIÂNGULO RETÂNGULO
(1) As relações que envolvem os lados do triângulo
retângulo, a altura relativa à hipotenusa e as projeções
dos catetos sobre ela são as seguintes.
c
b
h
a
C
n
⋅
⋅
=
a
n
m
2
h
H
n m
a a
h
m
2
c
2
b
+
2 c
2
b
B
=
= ⋅
= ⋅
b
c
2
a
A
=
⋅
Traçado de raios “bons”
a) Reta e circunferência
t
(2) Para refinar seu vocabulário matemático, lembre-se
de que:
a+b
Se x =
, então x é a média aritmética entre a e b.
2
Se x 2 = a ⋅ b , então x é a média geométrica entre a e
b.
(3) Localize entre as fórmulas acima as que estão
enunciadas a seguir.
Em todo triângulo retângulo, cada cateto é a média
geométrica entre a hipotenusa e sua projeção
ortogonal sobre ela.
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à
hipotenusa é a média geométrica entre as projeções
ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
(4) Se o lado de um triângulo eqüilátero é conhecido, é
necessário que você tenha “prontos” a altura, o raio do
círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito a esse
triângulo.
=
s
B
O
B
O
A
A
b) Circunferências tangentes
Importante. Os centros e os pontos de tangência são
pontos alinhados. Note que, conforme a tangência seja
externa ou interna, a distância dos centros é igual à
soma ou à diferença dos raios, respectivamente. (Veja
estas figuras)
Até aqui, durante as aulas, discutimos algumas
técnicas bastante eficientes na
resolução de
problemas. Foram também destacadas algumas
estruturas que se repetem freqüentemente nas figuras,
ocultas nas mesmas, e que, uma vez percebidas,
podem abrir o caminho da resolução.
Vamos destacar algumas dessas técnicas e estruturas.
=
−
r
c) Circunferências secantes
R
+
B
A
=
r
ESTRUTURAS
R
E
T
s
B
A
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO
OCULTAS EM FIGURAS
T
H
=
2 3
R
r
O
H
H
1 3
r
R
ℓ
3 2
H
=
O
t
5
Corda de circunferência
Em todo triângulo cada lado é menor do que a soma
dos outros dois.
Estrutura oculta
a b c
<
c c c
b a b
A
<
+
<
c
b
B
+
+
C
a
Segmentos de tangentes
Circunferência tangente aos lados de um ângulo
Se duas retas, concorrentes num ponto P, tangenciam
um circunferência nos pontos A e B, então PA = PB.
a) Ângulo qualquer
A
Estrutura oculta
P
B
Relações métricas na circunferência
b) Ângulo Reto
Para a figura 1, temos:
)⋅(
)=
)=(
.
.
.
F
P
)⋅(
E
P
)=(
D
P
( )⋅(
C
P
B
P
A
P
Estrutura oculta
E para a figura 2,
A
OAVB é um quadrado
PROPRIEDADES DIVERSAS
D
⇒ ≥≥
c
p
b
p
C
a
S
C
a
p
p
(1) Você tem que saber, com desenvoltura, as três
fórmulas fundamentais para a área do triângulo.
a⋅h
•
2
b ⋅ c ⋅ senÂ
•
2
• Fórmula de Herão:
=
( − )( − )( − )
C
B
A
b
≥
c
a
B
B
≥
P
Vamos destacar alguns elementos teóricos que são
imprescindíveis para uma base sólida no cálculo de
áreas.
A
b
B
D
F
B
ÁREA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo ao maior lado opõem-se o maior
ângulo, e reciprocamente.
A
T
C
E
Desigualdades no triângulo.
c
A
E
F
Tivemos uma aula em que várias propriedades foram
apresentadas. Tais propriedades não têm sido
exploradas intensamente nos vestibulares. Porém,
estão nos programas e, portanto, você tem que sabêlas. São as seguintes.
)=
figura 2
C
P
)⋅(
.
.
.
figura 1
)=(
F
P
)⋅(
E
P
)=(
D
P
) = ( )⋅(
C
P
B
P
A
P
2
T
P
(
6
Estrutura oculta
b ⋅ c ⋅ senÂ
. Ela se
2
Dê especial atenção à fórmula
aplica com enorme freqüência.
base ⋅ altura
permite
2
interpretações rápidas nas figuras. Por exemplo.
• Triângulos com bases iguais, têm suas áreas
proporcionais às alturas relativas a essas bases.
(2) Muitas vezes, a fórmula
A
=
1 3
C C
B B
SESA
3h
E
Estrutura oculta
h
a
B
C
• Triângulos com duas alturas iguais, têm suas áreas
proporcionais às bases correspondentes a essas
alturas.
A
D
h
B
E
C
2a
ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES
S ABC 2
=
SDEF
5
Esta aula acrescenta apenas duas fórmulas às que
você já vem utilizando. Ou seja:
F
5a
• SCírculo = π ⋅ R 2
• CCircunferência = 2 ⋅ π ⋅ R
(3) Fique atento ao triângulo equilátero. Não há
necessidade de se memorizar uma fórmula para
calcular sua área, mas é preciso saber calcular sua
área com rapidez.
a
a
a
a
Porém, os problemas sobre a área do círculo, e de
suas partes, empregam vários itens de teoria
estudados antes. Destaque para os seguintes.
(1) A altura do triângulo equilátero e a diagonal do
quadrado. (Veja elas aí novamente)
a 3
2
o
a
60
a
S=
a
a ⋅ a ⋅ sen 60 0
2
ou
S = a⋅
a 3 1
⋅
2 2
a
h
(4) Com o hexágono regular você tem que ter total
intimidade. Tem que saber que, ligando seus vértices
ao centro, ele fica decomposto em 6 triângulos
eqüiláteros. Daí, é imediato concluir que:
• seus ângulos internos medem 120º cada um;
• seu lado é igual ao raio do círculo circunscrito.
r
a
120
o
a
d
a
a
a 3
d =a 2
2
(2) Você deve saber calcular com desenvoltura o raio
do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito no
quadrado, no triângulo equilátero e no hexágono
regular, quando deles se conhecem os lados. Calcule
esses raios para os seguintes casos:
h=
a) Quadrado de lado igual a 4.
r
r
a
o
60
(5) Nas figuras, procure observar com atenção a
presença de segmentos perpendiculares a lados. Eles
podem funcionar como alturas de triângulos ocultos.
7
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS
b) Triângulo equilátero de lado igual a 6.
Lei dos senos
Em todo triângulo os lados são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos. A constante de
proporcionalidade é igual a 2R, onde R é o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
.
6
6
.
c) Hexágono regular de lado igual a 4.
.
4
4
a
.
senA
(4) Tenha sempre em mente as estruturas ocultas em
determinadas figuras, como as seguintes, que já foram
apresentadas anteriormente.
=
b
senB
=
c
senC
= 2R
Lei dos cossenos
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer lado é igual
à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o
duplo produto desses dois lados pelo cosseno do
ângulo compreendido entre eles.
Corda de circunferência
Estrutura oculta
Circunferência tangente aos lados de um ângulo
a) Ângulo qualquer
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Estrutura oculta
Reconhecimento da natureza de um triângulo
Sejam a, b e c os lados de um triângulo e seja a o
maior desses lados. Decorre de imediato da lei dos
cossenos que:
< 90o
a2 < b2 + c 2 ⇒ A
2
2
2
= 90o
a =b +c ⇒ A
b) Ângulo Reto
Estrutura oculta
> 90o
a2 > b2 + c 2 ⇒ A
Isso permite que classifiquemos um triângulo quanto
aos ângulos quando dele conhecemos apenas os
lados.
OAVB é um quadrado
8