Apresentação do PowerPoint

Raciocínio Lógico
Tópicos
Tópicos
• Raciocínio Lógico
• Proposições
• Tabela Verdade
• Quantificadores
Lógica
• Definição: É a organização coerente e estruturada do
pensamento, constituída de preposições que provam, dão
suporte e razão a algo:
– Expressam um pensamento de sentido completo;
– Podem ter um sentindo positivo ou negativo, porém
nunca interrogativo;
Ex:
• Estudar é fácil;
• Estudar é difícil;
– Não existe meio-termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil..
Proposições
• Definição: é toda oração declarativa que pode ser
classificada como falsa ou verdadeira
Ex:
• Matemática é a arte de se referir a coisas diferentes pelo
mesmo nome (é proposição);
• a2 = b2 + c2 (não é proposição).
Proposições
• Proposição simples: é aquela que não contém nenhuma
outra proposição como parte integrante de si mesma.
• Ex: João foi ao médico;
• Proposições composta: é aquela formada pela
combinação de duas ou mais proposições.
• Ex: Se João foi ao médico, então ele está doente.
Conectivos
• Definição: são símbolos que comprovam a veracidade das
informações e unem as proposições ou as transformam
numa terceira proposição.
– Negação (~): quando usamos a negação de uma
proposição, invertemos a armação que está sendo
dada;
• Ex: João não é médico;
Maria não é estudante.
Conectivos
– Conjunção (^): é utilizado para unir duas proposições
formando uma terceira. Sendo, pelo menos, uma
falsa, o resultado será FALSO;
• Ex: Marcos é médico e Maria é estudante;
Pelé é brasileiro e Maradona é argentino.
– Disjunção (V): também serve para unir duas
proposições. O resultado será verdadeiro se pelo
menos uma das proposições for verdadeira;
• Ex: Marcos é médico ou Maria é estudante;
Darei a ele uma camisa ou um calção.
Conectivos
– Implicação (->): só será falsa se uma proposição
verdadeira implicar uma falsa disso;
• Ex: Se nasci em Salvador , então sou Baiano;
Se eu abrir a janela, então teremos ar fresco.
– Dupla implicação (↔): Será verdadeira sempre que
ambas as proposições forem idênticas.
• Ex: Eduardo fica alegre se, e somente se, Mariana sorri;
Thiago é médico se, e somente se, João é Médico
Conectivos
• Negação de orações: Para negar uma oração (ou mais),
primeiro é necessário identificar as proposições dentro
dela.
– Apenas uma proposição: basta negá-la dentro da
oração.
• Ex: Ronaldo dormiu - Ronaldo não dormiu.
– Mais de uma proposição, ligadas por (^): basta negar
as proposições, e "trocar“ (^) por (V).
• Ex: Paulo é mineiro e João é gaúcho - Paulo não é mineiro ou
João não é gaúcho.
Conectivos
– Mais de uma proposição, ligadas por (V): basta
negarmos as duas proposições e "trocar“ (V) por (^):
• Ex: Flávia é feia ou Jonas é bonito - Flávia não é feia e Jonas
não é bonito.
– Mais de uma proposição ligadas por (→): repete-se a
primeira parte, troca-se o (→) por ^ e nega-se a
segunda parte.
• Ex: Se eu sou estudioso, então passarei no concurso. - Eu sou
estudioso e não passarei no concurso.
Conectivos
Página 22 da apostila
Exemplo
TERMOCEARÁ LTDA - 2009 - Eng. T. Jr - Eletrônica – 17
A negação da proposição “Se o candidato estuda, então
passa no concurso” é:
(A) o candidato não estuda e passa no concurso.
(B) o candidato estuda e não passa no concurso.
(C) se o candidato estuda, então não passa no concurso.
(D) se o candidato não estuda, então passa no concurso.
(E) se o candidato não estuda, então não passa no concurso.
Conectivos
Solução:
Proposição (p): o candidato estuda
Proposição (q): o candidato passa no concurso
Temos que:
p→q
A negativa de uma proposição composta implicativa é
~(p→q) = p → ~q
Mantém-se a premissa e nega-se a conclusão
Então:
O candidato estuda e não passa no concurso.
Resposta (B)
Conectivos
• Equivalência de proposições compostas:
• Sejam p e q duas proposições simples:
• p→q é equivalente a ~q →~p
• Ex: p: O gato come.
q: O gato está vivo.
p→q: O gato come, portanto está vivo.
~q →~p: O gato não está vivo, portanto não come.
Observação: O conectivo p→q não é equivalente ao conectivo q →p.
Ex: O gato pode estar vivo e não comer.
Conectivos
• Equivalência de proposições compostas:
• Sejam p e q duas proposições simples:
• p→~q é equivalente a q →~p
• Ex: p: Está chovendo
q: eu vou correr.
p→~q: Está chovendo, portanto eu não vou correr.
q →~p: eu vou correr, portanto não está chovendo.
Observação: O conectivo p→~q não é equivalente ao conectivo ~q →p.
Ex: Eu posso não correr e não estar chovendo.
Conectivos
Página 17 da apostila
Exemplo:
Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala
italiano, então ou Ching fala chinês, ou Débora fala
dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala
espanhol. Mas Elton fala espanhol se, e somente se, não for
verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não
fala francês e Ching não fala chinês. Logo:
(A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
(B) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
(C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
(D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
(E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Conectivos
• Solução: primeiramente verificar quais são as
proposições simples:
•
•
•
•
•
•
A:Iara fala italiano
B: Ana fala alemão
C: Ching fala chinês
D: Débora fala dinamarquês
E: Elton fala espanhol
F: Francisco fala francês
Existe um total de 6 proposições simples
Conectivos
• Solução: verifica-se quais são as proposições compostas:
• (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.
• (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês, ou Débora fala
dinamarquês.
• (P3) Se Débora fala dinamarquês, então Elton fala espanhol.
• (P4) Mas Elton fala espanhol se, e somente se, não for verdade que
Francisco não fala francês.
• (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.
Existe um total de 5 proposições compostas
Conectivos
• Solução: Passando as proposições compostas para linguagem
simbólica:
• P1: ~A →B
• P2: A → C v D
• P3: D → E
• P4: E↔ ~(~F) ou E ↔ F
• P5: ~F ^ ~C
Todas as proposições precisam ser verdadeiras, portanto de:
P5: F é falso e C é falso (conjunção)
P4: E é falso (Dupla implicação)
P3: D é falso (implicação: se E for falso e D verdadeiro, P3 seria falso)
P2:A é falso (Disjunção)
P1: B é verdadeiro
Conectivos
Por fim, deve-se verificar todas as alternativas do problema
e aquela que tiver proposição com conclusão verdadeira
será a alternativa correta:
(A) ~A ^ e ~D Verdadeiro
(B) ~C ^ D Falso
(C) ~F ^ E Falso
(D) ~B v ~A Falso
(E) B ^ D Falso
A única conclusão verdadeira é a letra (A).
Condição necessária e suficiente:
Definições: Sendo duas premissas p e q, de forma que:
p→q
Condição suficiente: ocorre quando temos a garantia de
que a outra condição ocorrerá. Sempre se refere ao
primeiro termo da proposição (p).
Condição necessária: ocorre quando não podemos garantir
que a outra condição é valida. Sempre se refere ao segundo
termo da proposição (q).
Condição suficiente e necessária: será uma bicondicional
p↔ q
Condição necessária e suficiente:
Exemplo:
p: o cavalo corre
q: o cavalo está vivo
p→q: o cavalo corre então está vivo
O cavalo correr é condição suficiente para ele estar vivo
Por outro lado o cavalo pode estar vivo e não correr
(condição necessária).
Conectivos
Página 18 da apostila
Exemplo:
Leandro ir ao colégio é condição necessária para Felipe sair
de casa, e é condição suficiente para Jéssica ir ao jardim. Por
outro lado, Lucas encontrar Flávia é condição necessária e
suficiente para Guilherme estar feliz e é condição necessária
para Adriana ir ao jardim. Guilherme não ficou feliz.
Logo:
(A) Adriana foi ao jardim ou Lucas encontrou Flávia.
(B) Se Felipe não saiu de casa, então Lucas encontrou Flávia.
(C) Leandro não foi ao colégio e Lucas não encontrou Flávia.
(D) Leandro foi à caça e Jéssica não foi ao jardim.
(E) Felipe saiu de casa e Leandro não foi ao colégio.
Conectivos
• Solução: primeiramente verificar quais são as
proposições simples:
•
•
•
•
•
•
A: Leandro vai ao colégio;
B: Felipe sai de casa;
C: Jéssica vai ao jardim;
D: Lucas encontra Flávia;
E: Guilherme está Feliz;
F: Adriana vai ao jardim.
Existe um total de 6 proposições simples
Conectivos
• Solução: verifica-se quais são as proposições compostas:
•
•
•
•
•
(P1) Se Felipe sai de casa, então Leandro vai ao colégio;
(P2) Se Leandro vai ao colégio, então Jéssica vai ao jardim;
(P3) Se Guilherme está feliz, então Lucas encontra Flávia;
(P4) Lucas encontrará Flávia se e somente se Adriana for ao jardim;
(P5) Guilherme não está feliz
Existe um total de 5 proposições compostas
Conectivos
• Solução: Passando as proposições para linguagem lógica
P1:B→A;
P2:A→C;
P3:E ↔ D;
P4:F → D;
P5: ~E.
Analisando as alternativas:
(A) F v D (Se F for verdadeiro, D tem que ser verdadeiro) Falso
(B) ~B→D (Não existe essa implicação) Falso
(C) ~A ^ ~D (O D é falso e não há contradições com a negativa de A)
Verdadeiro
(D) As proposições não falam sobre caça Falso
(E) B ^ ~A (Se B for verdadeiro, A tem que ser verdadeiro) Falso
Resposta (C)
Conectivos
Premissas e conclusões:
Premissas: é um conjunto de uma ou mais de uma
sentença declarativa (equivalente a proposição);
Ex: O cão esta vivo
Conclusão: é uma consequência lógica das premissas que a
antecederam.
Ex: logo ele respira
Conectivos
Exercício:
(SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se
Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri.
Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento
logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser
verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser
verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Conectivos
• Solução:
– Para qualquer argumento em lógica ser válido, a
conclusão é obrigatoriamente decorrência das
premissas.
– O enunciado afirmou que este não é um argumento
logicamente válido, portanto a conclusão não é
decorrência necessária das premissas.
– Resposta (A)
Conectivos
Exercício:
(ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra
Fogo”, mas não tem certeza se este está sendo exibido. Seus
amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se
o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então
Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís
está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não
está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está
sendo exibido, ou José não irá ao Cinema. Verificou-se que
Maria está certa. Logo:
a. O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.
b. Luís e Júlio não estão enganados.
c. Júlio está enganado, mas Luís não.
d. Luís está enganado, mas Júlio não.
e. José não irá ao cinema.
Conectivos
• Solução: primeiramente verificar quais são as
proposições simples:
•
•
•
•
•
A:José vai ao cinema;
B:Maria está certa;
C:Júlio está certo;
D:Luís está certo;
E: O file está sendo exibido.
Existe um total de 5 proposições simples
Conectivos
• Solução: Traduzindo-se as proposições compostas para a
linguagem lógica:
•
•
•
•
•
(P1) B→ ~C;
(P2)~C → ~D;
(P3)~D → ~E;
(P4)E v ~A;
(P5) B.
Tomando-se todas as proposições compostas como verdadeiras,
temos que:
•
•
•
•
•
B é verdadeiro (P5)
C é falso (P1)
D é falso (P2)
E é falso (P3)
A é falso (P4)
Conectivos
Avaliando as alternativas do problema, temos que:
A) E Falso
B) C ^ E Ambos C e E são falsos Falso
C) ~C ^ E Ambos C e E são falsos Falso
D) ~D ^C Ambos C e D são falsos Falso
E) ~A Verdadeiro
Resposta (E)
Exercício
Página 24 da apostila
PETROBRAS - 2011 - Eng. Petróleo Jr.
As cinco declarações seguintes são verdadeiras.
•
•
•
•
•
Se X acontece, então Y não acontece.
Se K acontece, então X acontece.
K acontece ou W acontece.
Se W não acontece, então Z não acontece.
Y aconteceu.
Conclui-se que:
(A) X também aconteceu.
(B) K também aconteceu.
(C) W também aconteceu.
(D) Z não aconteceu.
(E) Z também aconteceu.
Exercício
Solução: estabelecendo-se as proposições simples:
A: X aconteceu
B: Y aconteceu
C: K aconteceu
D: W aconteceu
E: Z aconteceu
Estabelecendo-se as proposições compostas:
P1) A → ~B
P2) C → A
P3) C v D
P4) ~D → ~E
P5) B
Exercício
Estabelecendo-se as todas as proposições como
verdadeiras:
•
•
•
•
•
B é verdadeiro (P5)
A é falso (A → ~B é equivalente a B → ~A) (P1)
C é falso (C → A é equivalente a ~A → ~C) (P2)
D é verdadeiro (P3)
Não se pode dizer nada de E (P4)
Avaliando as afirmações do enunciado:
(A) A Falso
(B) C Falso
(C) D Verdadeiro
(D) ~E Falso
(E) E Falso
Resposta C
Tabelas-verdade
Definição: apresentam todos os valores lógicos possíveis
das proposições compostas a partir dos valores lógicos das
proposições simples componentes e dos conectivos
utilizados.
– São uma forma sistemática e organizada de obter o valor lógico
de uma proposição composta para cada uma das combinações
possíveis dos valores lógicos das proposições simples
componentes.
Tabelas-verdade
• Tabelas-verdade de conectivos:
– Conjunção: Sendo duas proposições p e q, de tal forma que p ^
q:
– Para ser verdadeira, p e q precisam ser verdadeiras.
Tabelas-verdade
• Tabelas-verdade de conectivos:
– Disjunção: Sendo duas proposições p e q, de tal forma que p v q:
– Para ser verdadeira, apenas p ou q precisa ser verdadeira.
Tabelas-verdade
• Tabelas-verdade de conectivos:
– Implicação: Sendo duas proposições p e q, de tal forma que p →
q:
– Para ser falsa uma premissa verdadeira precisa gerar uma
conclusão falsa.
Tabelas-verdade
• Tabelas-verdade de conectivos:
– Negação: Sendo uma proposição q, de tal forma que q ~ q:
– Se a proposição q for falsa a ~q será verdadeira, e vice-versa.
Tabelas-verdade
• Tabelas-verdade de conectivos:
– Dupla implicação: Sendo duas proposições p e q, de tal forma
que p ↔ q:
– Para ser verdadeira, ambas devem ser verdadeiras ou ambas
devem ser falsas.
Tabelas-verdade
• Construção: O número de linhas de uma tabela-verdade
é sempre 2n com n sendo o número de proposições
dentro de uma oração.
• Ex: Dadas proposições p e q, construa a tabela-verdade
da seguinte situação: p (V) (~) q
Tabelas-verdade
Solução: Primeiro, vamos escrever todas as situações
possíveis para as proposições, com os valores lógicos V
(verdadeiro) e F (falso):
Tabelas-verdade
Agora, vamos preencher os valores lógicos
de ~q:
Tabelas-verdade
E, por fim, vamos determinar os valores lógicos de p V ~ q, a
partir dos valores lógicos de p e q:
Tabelas-verdade
Exercício:
(ICMS/97) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado, logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Rodrigo é culpado.
Se rodrigo não mentiu então ele não é culpado.
Rodrigo mentiu.
Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
Tabelas-verdade
Solução: Sendo as proposições p e q:
p: Rodrigo mentiu
q: Rodrigo é culpado
Do enunciado: p →q
Colocando as afirmações do enunciado em linguagem
lógica:
a)
b)
c)
d)
e)
q
~p→~q
p
~q →~p
q →p
Tabelas-verdade
Deve-se construir a tabela verdade com as proposições do enunciado e
verificar se elas são equivalentes lógicos de p→q (para a mesma
entrada de valores, as colunas dos resultados são iguais).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
~p→~q
V
V
F
V
~q →~p
V
F
V
V
q →p
V
V
F
V
Tabelas-verdade
Cuidado, com a alternativa B pois ao negar o antecedente nada sei
sobre o consequente. Nesse caso as colunas de p→q e de ~p→q
não são equivalentes.
Da mesma forma, na alternativa E, as colunas p→q e q→p
também não são equivalentes.
Já a alternativa D é a verificação lógica pois ao negar o
consequente eu nego o antecedente. Nesse caso as colunas p→q
e ~q→~p são equivalentes.
Resposta (D)
Tabelas-verdade
Exercício
Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se
Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur
gosta de Lógica, então:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
b) Se Lógica é fácil, então Geografia é difícil.
c) Se Lógica é fácil, então Geografia é fácil.
d) Se Lógica é difícil, então e Geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
Tabelas-verdade
Solução
As proposições simples são:
A)Lógica é fácil
B) Artur gosta de lógica
C) Geografia é fácil
As proposições compostas são:
P1)Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica.
P2)Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil.
P3) Artur gosta de Lógica
Ou
P1) A v ~B
P2) C → ~A
P3) B
Tabelas-verdade
Solução
Das proposições:
• C é verdadeiro
• A é falso
• B é verdadeiro
Do enunciado:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (~C →~A)
b) Se Lógica é fácil, então Geografia é difícil. (A → ~C)
c) Se Lógica é fácil, então Geografia é fácil. (A → C)
d) Se Lógica é difícil, então e Geografia é difícil. (~ A -> ~C)
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (~A v C)
Tabelas-verdade
Para verificar quais proposições são equivalentes, deve-se
construir a tabela verdade:
C
V
V
F
F
A
V
F
V
F
~A
F
V
F
V
~C C → ~A ~C → ~A A → ~C A → C ~ A -> ~C
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
Resposta:B
Exercício
Página 24 da apostila
PETROBRAS - 2011 - Eng. Processamento Jr - 27
Considere a armação abaixo.
Se uma lâmpada está queimada então não acende.
Uma armação logicamente equivalente à apresentada acima
é:
(A) Se uma lâmpada acende então não está queimada.
(B) Se uma lâmpada não acende então está queimada.
(C) Se uma lâmpada não está queimada então acende.
(D) Existe uma lâmpada que está queimada e acende.
(E) Existe uma lâmpada que acende e não está queimada.
Exercício
• Solução: analisando-se as proposições:
– p : A lâmpada está queimada;
– q: A lâmpada acende;
– p→~q: A lâmpada está queimada, então não acende:
Analisando-se as alternativas:
(A) Se uma lâmpada acende então não está queimada. q→~p
(B) Se uma lâmpada não acende então está queimada. ~q→p
(C) Se uma lâmpada não está queimada então acende. ~p→q
(D) Existe uma lâmpada que está queimada e acende. p^q
(E) Existe uma lâmpada que acende e não está queimada. q^~p
Exercício
Construindo a tabela verdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p→~q
F
V
V
V
q→~p
F
V
V
V
~q →p
V
V
V
F
~p →q
V
V
V
F
Resposta (A)
Exercício
Cespe/ME/Agente administrativo) Considere as seguintes
proposições.
A: Maria não é mineira.
B: Paulo é engenheiro.
Verificar a afirmação abaixo
A proposição “Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro”,
que é representada por A v B, é equivalente à proposição
“Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro”,
simbolicamente representada por (~A)→B
Exercício
Construindo a tabela verdade:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
~A
F
F
V
V
AvB
V
V
V
F
(~A)→B
V
V
V
F
Resposta: As proposições são equivalentes.
Tabelas verdade
Tautologia: é uma fórmula proposicional que é verdadeira para
todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.
Ex: a fórmula proposicional (A) v (~ A):
A
V
V
F
F
~A
F
F
V
V
(A) v (~ A)
V
V
V
V
Tabelas verdade
Exercício
(FT_98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre
verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a
compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é
gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Tabelas verdade
Solução:
Traduzindo-se para linguagem lógica:
A: João é alto
B: Guilherme é gordo
a) A→(AvB)
b) A→(A^B)
c) (AvB) →B
d) (AvB) → (A^B)
e) (A v ~A) →B
Tabelas verdade
Construindo a tabela verdade:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A v ~A A v B A ^B A→(AvB) A→(A^B)
(AvB)→B
(AvB)→(A^B)
(Av~A)→B
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
Resposta A
Quantificadores
Definição: quantificadores são proposições que transformam
sentenças abertas em proposições lógicas,
pela quantificação das variáveis.
Ex: a2 = b2 + c2 não é uma proposição. Mas, é possível delimitar os
valores de “a, b e c”, para que se torne uma proposição. Isso pode
ser feito atribuindo-se valores a “a, b, e c” ou utilizando
quantificadores:
1. Atribuir valor às variáveis:
a2 = b2 + c2; a = 5; b = 4; c = 3
2. Utilizar quantificadores:
(a+b)2 = a2+b2+2ab; para todos a, b ϵ R
Quantificadores
• Quantificador universal afirmativo: Seja P(x) uma
proposição aberta com variável livre x. Um quantificador
universal aplicado à P(x) é a proposição denotada por
x ϵ U, P(x), que é verdadeira para todos possíveis valores
de x em U.
• Ex:
x: número de alunos de história de uma classe
U: alunos de geografia de uma classe
P(x): Todos os alunos de história também estudam geografia, ou
U.
• Graficamente:
x
U
xϵ
Quantificadores
• Quantificador universal negativo: Seja P(x) uma
proposição aberta com variável livre x. Um quantificador
universal aplicado à P(x) é a proposição denotada por ~∃
x ϵ U, P(x), que é verdadeira para todos possíveis valores
de x em U.
• Ex:
x: número de alunos de história de uma classe
U: alunos de geografia de uma classe
P(x): Nenhum aluno de história estuda geografia, ou ~ ∃ x ϵ U.
• Graficamente:
x
U
Quantificadores
Quantificadores existenciais afirmativos:
• Seja P(x) uma proposição aberta com variável livre x. Um
quantificador existencial aplicado à P(x) é a proposição denotada por
∃ x ϵ U, P(x), que é verdadeira para ao menos um valor de x em U
Ex:
x: número de alunos de história de uma classe
U: alunos de geografia de uma classe
P(x): 30% dos alunos de história também estudam geografia, ou E x ϵ U.
• Graficamente:
x
U
Quantificadores
Quantificadores existenciais negativos:
• Seja P(x) uma proposição aberta com variável livre x. Um
quantificador existencial aplicado à P(x) é a proposição denotada por
∃ x ϵ U, P(x), que é falsa para ao menos um valor de x em U
Ex:
x: número de alunos de história de uma classe
U: alunos de geografia de uma classe
P(x): 30% dos alunos de história não estudam geografia, ou ∃ x ϵ ~U.
• Graficamente:
x
U
Quantificadores
Exercício
(Esaf) Todos os alunos de matemática são, também, aluno de inglês, mas
nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de geografia, e alguns alunos de
informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de
informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é
aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de geografia são alunos de matemática.
e) todos os alunos de geografia são alunos de português.
Quantificadores
de geografia
de geografia
Quantificadores
Graficamente
I
H
M
G
P
Quantificadores
Quantificadores
Exercício
(Cespe) Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal,
necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um
site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada
nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e
importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de
administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso, não há livro
nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima, é
possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha:
A) encontrado um livro de administração de capa dura.
B) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.
C) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.
D) Comprado um livro importado de direito de capa flexível.
Quantificadores
Quantificadores
Graficamente
Flexível
Intern.
Direito
Nacional
Adm
Analisando-se as proposições do enunciado:
A) ∃ Administração ϵ Dura Falso
B) ∃ Economia ϵ Flexível Falso
C) ∃ Nacional de direito ϵ Dura Falso
D) ∃ Importado de direito ϵ Flexível Verdadeiro
Resposta D
Exemplo
Página 22 da apostila
TERMOCEARÁ LTDA - 2009 - Eng. T. Jr - Eletrônica - 18
Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365 dias,
houve um dia que caiu exatamente no “meio” do ano.
Assim, as quantidades de dias do ano de 2009 antes
e depois dessa data são iguais. Essa data foi:
(A) 30 de junho.
(B) 1 de julho.
(C) 2 de julho.
(D) 3 de julho.
(E) 4 de julho.
Exemplo
Solução:
A questão quer o 183º dia do ano.
(31+28+31+30+31+30)= 181
Então, 182 será dia 1 de julho e, 183, dia 2 DE JULHO.
Resposta (C)
Exercício
Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é
morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete,
outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada
uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas
irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de
viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas
deram as seguintes informações:
A loura: "Não vou à França nem à Espanha".
A morena: "Meu nome não é Elza nem Sara".
A ruiva: "Nem eu nem Elza vamos à França".
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loura é Elza e vai à Alemanha.
Exercício
Solução:
Deve-se organizar as informações dadas pelo problema em
nome, cor do cabelo e destino:
Cabelo
Loura
Não vou à França
Afirmação nem à Espanha
Destino Alemanha
Nome
Elza
Morena
Meu nome não
é Elza nem Sara
França
Bete
Ruiva
Nem eu nem Elza
vamos à França
Espanha
Sara
Resposta E
Exemplo
Página 21 da apostila
TERMOCEARÁ LTDA - 2009 - Eng. T. Jr - Eletrônica – 20
Exemplo
Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são cinco meninas. Na
tabela acima, os sinais de “+”; “–” e “=” significam que a
menina indicada na linha é, respectivamente, maior, menor
ou da mesma altura que a menina indicada na coluna. Ao
analisar a tabela, conclui-se que:
(A) Bruna é a mais alta.
(B) Elisa é a mais alta.
(C) Dora é a mais baixa.
(D) Cecília é a mais baixa.
(E) Ana tem a mesma altura de Dora.
Exemplo
Solução:
• Como a linha de Dora só tem “+”, podemos afirmar que
ela é a mais alta;
• Como a linha de Cecília só tem “-”, podemos afirmar que
ela é a mais baixa;
• Fazendo a escala de altura de acordo com a tabela:
Resposta (D)
Exemplo
Página 23 da apostila
PETROBRAS - 2011 - Eng. Processamento Jr - 26
Na Inglaterra do século IX, as pessoas utilizavam como dinheiro o xelim e o
penny, cujo plural é pence. O valor do penny era muito menor que o do
xelim. Naquela época, o rei Alfredo cunhou moedas de ouro, de valor muito
maior que o xelim. O escritor B. Cornwell contou em um de seus livros que,
em um casamento naquela época, o pai da noiva exigiu do noivo o
pagamento de 33 xelins, quantia equivalente a 396 pence, para que o
casamento fosse realizado. O noivo pagou, então, ao pai da noiva, a mesma
quantia na forma de uma moeda de ouro mais 36 pence, e o casamento foi
realizado.
Nesse sistema monetário, uma moeda de ouro era equivalente a quantos
xelins?
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30
Exemplo
Solução:
Pelo enunciado, tiramos que:
Penny: P
Xelim: X
Ouro: O
33X=396P
X=12P
33X=O+36P
33X=O+ 3X
O=30X
Resposta (E)
Exemplo
Exemplo:
Página 24 da apostila
PETROBRAS - 2011 - Eng. Processamento Jr – 28
A figura acima mostra uma ficha quadrada dividida em 5
regiões: um quadrado central e quatro trapézios iguais. Essa
ficha será pintada de forma que duas regiões vizinhas não
tenham a mesma cor. Escolhidas as cores das regiões, giros
na ficha não a tornam diferente.
Exemplo
Se 4 cores estão disponíveis, de quantos modos distintos
essa ficha pode ser pintada?
(A) 6
(B) 12
(C) 24
(D) 36
(E) 48
Exercícios
Solução:
Utiliza-se fatorial quando você quiser contar quantas
possibilidades existem de se organizar um número de
objetos de forma distinta.
Assim, têm-se incialmente 4 cores disponíveis, depois 3, 2 e
1. O problema torna-se apenas:
n=4!=24.
Resposta (C)
Exercícios
Página 24 da apostila
Três irmãs brincavam no jardim quando a avó apareceu e
perguntou: “Que dia é hoje?”
A mais nova disse: — Ontem foi quarta-feira.
A do meio disse: — Hoje não é sexta-feira.
A mais velha disse: — Amanhã será sábado.
Sabendo-se que uma das crianças mentiu e as outras
disseram a verdade, o dia da semana em que esta história
ocorreu foi:
(A) domingo
(B) segunda-feira
(C) terça-feira
(D) quinta-feira
(E) sábado
Exercícios
Solução:
Separando-se as proposições:
P1: Ontem foi quarta-feira.
P2: Hoje não é sexta-feira.
P3: Amanhã será sábado.
Sabendo-se que 2 afirmações são verdadeiras, as hipóteses
são:
P1^P2: Ontem foi quarta e hoje não é sexta.
P2^P3: Hoje não é sexta e amanhã será sábado.
P1^P3: Ontem foi quarta e amanhã será sábado.
Exercícios
A única solução possível é a P1^P2. Desta forma, concluímos
que hoje só pode ser quinta:
Resposta (D)
Exercícios
Uma professora recebeu uma caixa de lápis para distribuir
igualmente aos seus alunos. Se a professora desse 4 lápis a
cada aluno, sobrariam 17 lápis. Entretanto, se iniciasse a
distribuição dando 5 lápis a cada um, os dois últimos alunos
nada ganhariam.
O número de lápis da caixa é:
(A) 100
(B) 115
(C) 125
(D) 145
(E) 160
Exercícios
Solução:
Número de alunos: X
Número de lápis: Y
Y/X=4 sobram 17 lápis. Assim:
Y/X=5 faltam 10 lápis.
Sabendo-se que em uma divisão, o divisor vezes o quociente mais o resto é igual ao
dividendo, ou:
4x+17=Y
5x-10 =Y
Igualando:
4x+17=5x-10
X=27
Y=(4x27)+17 = 125
Resposta (C)
Exercícios
(TCE-SP 2003 FCC) Cada um dos 25 alunos de um curso de
pós-graduação deve entregar, ao final do semestre, uma
monografia individual. O tema do trabalho é escolhido pelo
aluno dentre uma relação fornecida pelos professores, que
consta de 20 temas numerados de 1 a 20. Pode-se concluir
que, certamente:
(A) haverá pelo menos um aluno cuja monografia abordará o tema 20.
(B) duas monografias abordarão o tema 5, mas apenas uma monografia
abordará o tema 6.
(C) haverá trabalhos com temas repetidos, porém, nunca mais do que
duas monografias com o mesmo tema.
(D) cada um dos 20 temas será abordado em pelo menos um dos
trabalhos.
(E) haverá pelo menos um tema dentre os 20 que será escolhido por
mais de um aluno.
Exercícios
Solução:
Ao todo, temos 25 alunos no curso de pós-graduação, e 20
temas numerados que serão escolhidos por esses alunos. O
enunciado não diz nada sobre a distribuição dos temas, por
exemplo, se todos os alunos podem escolher o mesmo tema
ou o número máximo de alunos por tema. Só sabemos que
com certeza terá mais de um aluno com o mesmo tema, já
que o número de alunos é maior que o número de temas.
Resposta (E)
Exercícios
FCC - 2004 - Analista Judiciário - TRT)
A figura mostra a localização dos apartamentos de um
edifício de três pavimentos que tem apenas alguns deles
ocupados:
Exercícios
Sabe-se que:
1) Maria não tem vizinhos no seu andar, e seu apartamento localiza-se o mais a leste possível;
2)Taís mora no mesmo andar de Renato, e dois apartamentos a separam do dele;
3) Renato mora em um apartamento no segundo andar exatamente abaixo do de Maria;
4) Paulo e Guilherme moram no andar mais baixo, não são vizinhos e não moram abaixo de um apartamento
ocupado.
5) No segundo andar estão ocupados apenas dois apartamentos.
6) Se Guilherme mora a sudoeste de Tais, o apartamento de Paulo pode ser:
a) 1 ou 3
b) 1 ou 4
c) 3 ou 4
d) 3 ou 5
e) 4 ou 5
Exercícios
• Da afirmação 1, sabemos que Maria pode morar no 5, 10 ou 15
• Da afirmação 3, sabemos que Maria só pode morar no 15 e Renato
no 10
• Da afirmação 2, vemos que Taís mora no apto 7.
• Da afirmação 6, vemos que Guilherme mora no apto 1.
• Da afirmação 4, vemos que Paulo só pode morar no apto 3 ou 4.
Resposta C
Exercícios
(TRT 2004 FCC) Em uma eleição em que concorrem os
candidatos A, B e C, cada eleitor receberá uma cédula com o
nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 a sua
primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o
número 3 à terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que
todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos
números atribuídos a cada candidato foi:
- 22 para A
- 18 para B
- 20 para C
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa
eleição é igual a:
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 15
Exercícios
Solução:
• num total de n cédulas, haverá n números 1, n números 2
e n números 3 atribuídos:
Total = n.1 + n.2 + n.3 = 6n
• Os números atribuídos aos candidatos foram:
• 22 para A
• 18 para B
• 20 para C
Exercícios
Assim:
6n = 22 + 18 + 20
6n = 60 → n = 60/6 → n = 10
Resposta (C)
Exercícios
(Analista Petrobrás 2004 CESPE)
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50
anos da PETROBRAS:
• Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados no território nacional, a
PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
Julgue se o item a seguir apresenta uma proposição logicamente
equivalente à assertiva acima.
1. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em
1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi
instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
Exercícios
Solução:
p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de
petróleo.
q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.
A assertiva desta questão será: p → q
1. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo
ano.
Traduzindo essa sentença para a linguagem simbólica, tomando
por base as proposições p e q definidas acima, encontraremos o
seguinte: ~q → ~p.
Uma forma de fazer a equivalência da condicional é invertendo as
posições e negando as duas partes.
p→q = ~q~p
Conclusão: o item 1 está correto!
Exercícios
(Papiloscopista 2004 CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou
serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis,
podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição
condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F,
ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que
será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a
conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P
e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por
~P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações
para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F
associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes.
17. As tabelas de valorações das proposições P→Q e Q → ~P são
iguais.
18. As proposições (P∨Q)→S e (P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de
valorações iguais.
Exercícios
Solução:
Comparando-se as tabelas-verdade, e começando com a condicional,
teremos:
Já a tabela-verdade da segunda construção (q→~p) será a seguinte:
Não há equivalência lógica entre as duas construções analisadas.
Conclusão: o item 17 está errado!
Exercícios
As proposições (P∨Q)→S e (P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de
valorações iguais.
Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade.
Para a sentença (p∨q) → s, teremos:
Exercícios
Para a segunda sentença: (p→s) v (q → s), teremos:
Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é
errado!
Exercícios
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um
Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto,
e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o
Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou
o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o
Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do
Fiesta são, respectivamente:
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e)) branco, azul, preto
Exercícios
Solução
O enunciado informa que:
Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.
Também temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Exercícios
Para resolvermos esta questão, devemos:
1º) considerar todas as premissas verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples;
e
3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior)
nas premissas e verificar se está correto:
Atribuindo-se o valor lógico V para a afirmação o Fiesta é branco, temos
que:
• Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), teremos: Gol é branco é F
(em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e Fiesta é preto é F (em P4).
• Da afirmação, temos que o Corsa é azul e o Corsa é preto em P3 e
P4, respectivamente. Assim, há contradição, portanto o Fiesta não
pode ser branco.
Exercícios
A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor
diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em
P1), Gol é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).
• P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.
• P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.
Não houve contradição, portanto, Fiesta é preto, Gol é branco e Corsa é
azul.
Resposta (E)
Exercícios
• (TRT 2004 FCC) Observe atentamente a tabela:
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco
na última coluna da tabela deve ser preenchido com o
número:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Exercícios
Solução:
O “um” tem 2 letras e abaixo do “um”, na tabela, aparece o
valor 2.
O “dois” tem 4 letras e abaixo do “dois”, na tabela, aparece
o valor 4.
O “três” tem 4 letras e abaixo do “três”, na tabela, aparece o
valor 4.
O “quatro” tem 5 letras e abaixo do “quatro”, na tabela,
aparece o valor 5.
Prosseguindo com essa lógica, abaixo do “dez”, na tabela,
deverá aparecer o valor 3.
Resposta (B)
Exercícios
(CEAL ALAGOAS FCC) Na figura abaixo se tem um triângulo
composto por algumas letras do alfabeto e por alguns
espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser
colocadas.
Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as
letras K, W e Y, então, se as letras foram dispostas
obedecendo a determinado critério, a letra que deveria
estar no lugar do ponto de interrogação é:
A) H
(B) L
(C) J
(D) U
(E) Z
Exercícios
Solução:
Observe que as letras estão em ordem alfabética, conforme
mostramos através da seta em azul:
Resposta (B)
Exercícios
(TRF 2004 FCC) Considere os seguintes pares de números:
(3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9) ; (4,10).
Observe que quatro desses pares têm uma característica
comum. O único par que não apresenta tal característica é:
(A) (3,10)
(B) (1,8)
(C) (5,12)
(D) (2,9)
(E) (4,10)
Exercícios
Solução:
Subtraindo-se os elementos de cada par, para os quatro
primeiros pares, obteremos o valor 7.
Já a subtração dos elementos do par (4,10) é igual a 6.
Resposta: (E)
Exercícios
(TRT 2004 FCC) Em relação aos países A, B, C, D e E que
irão participar das Olimpíadas de Atenas neste ano,
quatro pessoas fizeram os seguintes prognósticos de
classificação:
Se após as Olimpíadas for verificado que apenas duas
pessoas acertaram seu próprio prognóstico, conclui-se
que o melhor colocado, entre os cinco países, foi:
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
Exercícios
Solução:
Deve-se considerar cada um dos países como vencedor, e verificar
quantas acertaram e quantas erraram o prognóstico.
Se o vencedor for o país A, quem acertou e quem errou?
De acordo com os prognósticos, temos os seguintes resultados:
Houve duas pessoas que acertaram e duas pessoas que erraram o
prognóstico. Isso está de acordo com o enunciado da questão.
Portanto, já descobrimos que é o vencedor das Olimpíadas é o país A.
Resposta (A)
Exercícios
(TRT 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos
quatro símbolos diferentes representa um número
natural. Os números indicados fora do retângulo
representam as respectivas somas dos símbolos na
linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se, das informações, que o símbolo X
representa o número:
(A) 3
(B) 5
(C) 7
(D) 8
(E) 9
Exercícios
Solução:
Substituindo os símbolos por letras, temos que:
- O símbolo do quadrado pela letra q.
- O símbolo do círculo pela letra c.
- O símbolo do triângulo pela letra t.
- O símbolo do X pela letra x.
De acordo com a figura, pode-se retirar os seguintes dados:
A soma dos símbolos da 2ª linha é 30, então:
x + q + c + c = 30
(1)
Exercícios
A soma dos símbolos da 2ª coluna é 20, então:
c + q = 20 (2)
A soma dos símbolos da 4ª coluna é 14, então:
c + c = 14 , ou seja, c = 7
c + q = 20 → 7+ q = 20 → q = 13
x + q + c + c = 30 → x + 13 + 7 + 7 = 30 → x + 27 = 30 → x = 3
Resposta (A)
Exercícios
Quatro casais reúnem-se para jogar gamão. Como há apenas um
tabuleiro" eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar
duas partidas seguidas b) marido e esposa não jogam entre si. Na
primeira partida, Maria joga contra João, na segunda, Teresa joga
contra o marido de Joana, na terceira, a esposa de João joga
contra o marido de Teresa. Na quarta, Maria joga contra Paulo, e
na quinta" a esposa de Carlos joga contra João, A esposa de Ivan
e o marido de Lila são" respectivamente:
a)Joana e Carlos.
b)Maria e João.
c)Teresa e Saulo.
d) Maria e Ivan.
Exercícios
Solução:
Premissas:
• nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas
• marido e esposa não jogam entre si.
1ª jogada: Maria e João não são casados
2ª jogada: Teresa e João não são casados (ou ele jogaria duas
vezes) Esposa de João: Lila ou Joana;
4ª Jogada: Maria não é casada com Paulo;
5ª jogada: Maria não é casada com Carlos (ou ela jogaria duas
vezes);
Portanto: Maria é casada com Ivan
Resposta B