ANALISE MATEMATICA IV/ COMPLEMENTOS DE ANALISE II

Departamento de Matemática e Engenharias
ANÁLISE MATEMÁTICA IV/ COMPLEMENTOS DE ANÁLISE II
Licenciaturas em Matemática e Física
2o Semestre 2005/2006
Folha de exercícios no 6 - Equações Diferenciais Ordinárias
1. Resolva as equações diferenciais que se seguem usando desenvolvimentos em série de
potências na vizinhança de x0 : Determine a relação de recorrência. Determine os quatro
primeiros termos das duas soluções particulares linearmente independentes. Se possível
determine o termo geral de cada solução.
(a) y 00
xy 0
y=0
(solução: (n + 2) an+2 = an+1 + an ;
y = c1 1 +
+c2 x
(b) (1
x) y 00 + xy 0
1
(x
2
1+
1)2 +
1
(x
2
1
(x
6
1)3 +
1)2 +
y = 0; x0 = 0; y (0) =
1
(x
2
1
(x
6
1)3 +
1)4 + ::: +
1
(x
4
1)4 + ::: );
3; y 0 (0) = 2
(solução : (n + 2) (n + 1) an+2 = n (n + 1) an+1 (n
1) an ; y =
3+2x
3 2 1 3
x
x :::):
2
2
2. A equação
y 00
em que
2xy 0 + y = 0; 1 < x < +1
é uma constante é conhecida por equação de Hermite 1 .
(a) Determine os primeiros quatro termos não nulos das duas soluções linearmente independentes na vizinhança de x0 = 0
(solução : (n + 2) (n + 1) an+2 = (2n
) an ;
(
4)
(
4)
(
8)
y1 = 1
x2 +
x4
x6 + :::;
2!
4!
6!
2) (
6) 5 (
2) (
6) (
10) 7
2 3 (
y2 = x
x +
x
x + :::);
3!
5!
7!
1
(b) Observe que se é um número inteiro par não negativo então uma ou outra das
soluções particulares é um polinómio com um número …nito de termos. Determine as
soluções polinomiais para = 0; 2; 4; 6; 8 e 10
2 3
x ;1
3
2x2 ; x
(solução:1; x; 1
4
4x2 + x4 ; x
3
4 3
4
x + x5 );
3
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(c) De…ne-se polinómio de Hermite, Hn (x) como a solução polinomial da equação de Hermite quando = 2n; para a qual o coe…ciente de xn é 2n : Determine H0 (x) ; H1 (x) ;
H2 (x) ; H3 (x) ; H4 (x) e H5 (x)
(solução:1; 2x; 4x2
2; 8x3
12x; 16x4
48x2 + 12; 32x5
160x3 + 120x):
3. Resolva os seguintes problemas:
(a) 3x2 dx
2x2 ydy = 2xy 2 dx; y (1) = 0
(solução:x3
x2 y 2 = c);
(b) x2 ex+y + 2xex+y + 2x dx + x2 ex+y + 4y dy = 0; y (1) = 0
(solução:x2 ex+y + 2y 2 + x2 = k):
Remark 1 Charles Hermite (1822-1901). Francês. Célebre em Análise, Álgebra e Teoria dos
Números. Provou, em 1873 que o número e é um número transcendente (i. e. não é raiz
de nenhuma equação polinomial de coe…cientes racionais). Ele "achava os números difíceis e
demorou 6 anos para obter o seu primeiro grau académico"- Dic. of Mathematics, Borowski and
Borwein
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