MB-210 Probabilidade e Estatística

Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
MB-210 Probabilidade e Estatística
Profa. Denise Beatriz Ferrari
www.mec.ita.br/∼denise
[email protected]
2o. semestre/2013
Apresentação
Idéias Básicas
Probabilidade
Latim probare = provar, testar
Estatística
Grego stokhastikós = conjectura, adivinhação, sujeito às leis do acaso
I
Uso coloquial:
“provável”, incerteza, desconhecimento, risco, dúvida.
Chance e Incerteza
... são conceitos originados com a civilização
Garantia de sobrevivência:
I
Clima (chuvas, secas), suprimentos de alimentos (colheitas, pragas),
etc.
I
Esforço em minimizar as incertezas do meio que nos cerca bem
como seus efeitos a fim de garantir a sobrevivência
Um pouco de História
Antigüidade
I
3500 A.C.: jogos de azar
que utilizavam objetos
criados a partir de pedaços
de ossos ou madeira
(precursores dos dados
modernos).
I
2000 A.C.: dados cúbicos,
com marcas quase idênticas
aos dados atuais
Os jogos de azar sempre foram muito populares desde essa época e
tiveram um papel importante para o desenvolvimento da Teoria das
Probabilidades.
Um pouco de História
Era Moderna
I
Século XVI: Primeiros Estudos
– Cardano (1501–1576) e Galileu (1564–1642)
calcularam valores de probabilidades para várias
combinações de dados.
I
Século XVII:
– Fermat (1601–1665) e Pascal (1623–1662)
* Métodos de análise combinatória
* “fundadores” da teoria matemática das
probabilidades
– Huyghens (1629–1695)
* primeiro tratado científico sobre o assunto
“De Ratiociniis in Ludo Aleae”
– Bernoulli (1654–1705) e Moivre (1667–1754)
* trataram esta teoria como um ramo da Matemática
“Ars Conjectandi”
Um pouco de História
Era Moderna
I
Século XVIII:
– Laplace (1749–1827)
* Definição Clássica
* Aplicações práticas e científicas
“Théorie Analytique des Probabilités”
–
*
*
*
Gauss (1777–1855)
Aplicação científica
Método dos mínimos quadrados
Leis fundamentais da distribuição de probabilidades
Um pouco de História
Atualidades
I
Século XX:
– Cheyshev, Markov
– von Mises, Kolmogorov
– Definição Axiomática (1933)
“A Teoria das Probabilidades, como disciplina matemática,
pode e deve ser desenvolvida a partir de axiomas, exatamente
como a Geometria ou a Álgebra”
A. Kolmogorov (1903–1987)
Probabilidade e Estatística em Engenharia
Uma parte essencial em projetos de Engenharia consiste na tomada de
decisões na presença de incertezas:
I
Informação incompleta: acesso a recursos limitados
I
Variabilidade de processos
Exemplos:
I
Qual o comportamento de um determinado avião quando submetido
a rajadas de vento?
I
Qual o tamanho ideal de um terminal de passageiros em um
determinado aeroporto?
I
A utilização de um determinado veículo híbrido é viável?
Probabilidade e Estatística em Engenharia
O conhecimento de elementos de probabilidade e técnicas estatísticas
auxilia a coleta de informação e transformação da informação a uma
forma que possa ser utilizada para apoiar o processo de tomada de
decisões.
O engenheiro emprega conhecimentos de Probabilidade e Estatística das
seguintes maneiras:
I
Descrevendo e analisando a aleatoriedade no fenômeno em estudo
I
Planejando cursos de ação em situações de incerteza
Teoria de Probabilidades
Consiste no estudo matemático das probabilidades
I
Busca quantificar a noção de “provável”, ou seja, define uma medida
da incerteza para um determinado fenômeno em estudo.
Investigação e descoberta de padrões regulares (ou leis) em eventos
aleatórios, bem como construção de modelos satisfatórios.
Inferência Estatística
Consiste no campo científico que se dedica à coleta, organização, análise
e interpretação de dados
I
Busca realizar inferência sobre as características de uma determinada
população a partir das observações em uma amostra.
Desenvolvimento de métodos capazes de auxiliar o processo de tomada
de decisões na presença de incertezas e variabilidade.
Probabilidade × Estatística
Teoria de Probabilidade
Processo Dedutivo:
Conclusões a respeito de características de uma amostra da população são alcançadas
com base em atributos conhecidos da população.
Inferência Estatística
Processo Indutivo:
Conclusões a respeito de características da população são alcançadas com base em
atributos observados em uma amostra da população.
Probabilidade × Estatística
Probabilidade
POPULAÇÃO
Estatística
AMOSTRA
Plano da Disciplina
Ementa do Curso
Probabilidade:
Semana
Conteúdo
1
Introdução à probabilidade. Conceitos de probabilidade clássico e de
frequência relativa. Probabilidade condicional e independência.
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes.
2
Exame Diagnóstico
3
Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade: discretas, contínuas,
acumuladas, conjuntas, marginais. Valor esperado e variância.
Desigualdades de Markov e de Chebyshev.
4
Principais distribuições de probabilidade discretas:
Bernoulli, Binomial, Geométrica e Poisson.
5
Principais distribuições de probabilidade contínuas:
Exponencial Negativa, Normal e Weibull.
6
Momentos e função geratriz de momentos.
Funções de Variáveis Aleatórias.
7
Prova bimestral.
8
Independência estatística, covariância e coeficiente de correlação.
Ementa do Curso
Estatística:
Semana
Conteúdo
9
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais.
Teorema do limite central.
10
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual
de parâmetros para uma e duas amostras: Métodos dos momentos e da
máxima verossimilhança.
11
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra.
Princípios de testes de hipóteses.
12
Testes de hipóteses para uma e duas amostras.
13
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).
14
Prova bimestral.
15
Regressão linear simples e correlação.
16
Aplicações de modelos de regressão linear.
Material de Estudo
– Notas de aula
– Listas de exercícios
– Bibliografia Principal:
1. Devore, JL (1999). Probability and Statistics for Engineering and
the Sciences, 5th Ed, Duxbury Press.
– Bibliografia Complementar:
2. Rheinfurth, MH and Howell, LH (1998). Probability and Statistics in
Aerospace Engineering, Marshall Space Flight Center, Alabama.
3. Ross, MS (1999), Introduction to Probability and Statistics for
Engineers and Scientists, 2nd Ed, Harcourt/Academic Press.
Atenção:
As notas de aula não substituem a leitura de um livro texto ou
a presença em sala de aula.
Avaliação
I
Provas bimestrais
Datas:
B1: S07 (12/set/2013)
B2: S14 (7/nov/2013)
I
Exame final
Introdução à Probabilidade
Roteiro
Definições Iniciais
Interpretações de Probabilidade
Definição Axiomática
Propriedades
Probabilidade
medida de
incerteza
Objetivos
Queremos:
I
investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios
I
descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos
Para isso, precisamos...
... descrever a estrutura geral de tais modelos e suas propriedades
Definições Iniciais
Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma
situação de incerteza.
Principais ingredientes:
Lei de
Probabilidade
Evento B
Experimento
Aleatório (E)
Evento A
P (B)
P (A)
Espaço Amostral (Ω)
A
B
Eventos
Definições Iniciais
Experimento Aleatório (E )
I
Processo que pode (pelo menos conceitualmente) ser repetido
indefinidamente sob condições idênticas.
I
Sempre é possível obter um resultado que pertence a um conjunto
fixo e conhecido de possibilidades.
I
É chamado “aleatório” pois o resultado a ser obtido é desconhecido e
imprevisível.
Espaço Amostral (Ω)
I
É o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento
aleatório.
Exemplos
Definições Iniciais
Evento (A ⊆ Ω)
I
É qualquer subconjunto (conjunto de resultados) do
Espaço Amostral.
Um evento (A) é especificado por um conjunto de resultados de um
experimento aleatório (E ) que satisfaz determinadas condições.
I
Evento impossível
I
Evento intersecção
I
Evento união
I
Evento complementar
I
Eventos mutuamente exclusivos
I
Partição do espaço amostral
Lei de probabilidade (P[A])
I
Atribui a um determinado evento A um número não negativo que
codifica nossa crença na propensão para a ocorrência de A.
Conceito Clássico
PN (A) =
nA
N
Premissas:
I
Número finito de possíveis resultados
I
Hipótese de equiprobabilidade de resultados
I
“Princípio da indiferença”
Deficiências:
I
Não faz sentido para N infinito
I
Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de
probabilidade que queremos definir
I
Não é capaz de definir a probabilidade de eventos supostamente não
equiprovavéis
Conceito de Freqüência Relativa
PN (A) = lim
N→∞
n(A)
N
Premissas:
I
Número “suficientemente” grande de repetições do experimento
aleatório
I
Condições uniformes para realização do experimento
I
Princípio da “Regularidade Estatística”
Deficiências:
I
Definição de um número “suficientemente” grande
I
Não é capaz de definir a probabilidade de eventos que não podem
ser repetidos
Conceito Subjetivo
Premissas:
I
Não necessita da hipótese de repetição do experimento
Probabilidade assinalada a um determinado evento é baseada nas
experiências pessoais e informação individual sobre o processo
I
Não há aferição do resultado
I
Pode ser matematicamente formalizado sob determinadas condições
de consistência
I
Deficiências:
I
Humanos são seres inconsistentes e contraditórios
I
Não permite chegar a resultados únicos
I
A natureza pessoal limita a utilização desse conceito em aplicações
científicas e de Engenharia
Definição Axiomática
Função Probabilidade
Álgebra de Eventos (A):
Uma coleção de eventos é A quando são satisfeitas as seguintes
condições:
1. Ω ∈ A
2. Se A ∈ A =⇒ AC ∈ A
3. Se A ∈ A e B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A
Função Probabilidade: (Kolmogorov)
P : A −→ <
1. Se A ∈ A =⇒ P[A] ≥ 0
2. P[Ω] = 1
3. A1 , A2 , . . . , eventos tais que Ai ∩i6=j Aj = ∅
=⇒ P [∪∞
i=1 Ai ] =
∞
X
i=1
P[Ai ]
Definição Axiomática
Função Probabilidade
I
Definição matemática
I
Estabelece conjunto de funções de probabilidade
I
Não determina valor de P para um determinado evento conhecido A
Propriedades da Função Probabilidade
(Conseqüências da definição axiomática)
1. P[∅] = 0
Pn
2. P [∪ni=1 Ai ] = i=1 P[Ai ]
(se A1 , A2 , . . . , An forem mutuamente exclusivos)
3. P[A] + P[AC ] = 1
4. 0 ≤ P[A] ≤ 1
5. P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B]
I
outras propriedades
I
demonstração através dos axiomas