Apresentação do PowerPoint

PROBABILIDADES
1) DEFINIÇÕES BÁSICAS
Um experimento aleatório é uma situação
cujo resultado é incerto, mas que deve ser
um de uma coleção de resultados possíveis.
O resultado preciso de um experimento
aleatório não pode ser determinado ou
previsto a priori, mas o cjt de resultados
possíveis (resultados elementares) pode
ser indicada com antecedência.
A coleção de resultados elementares para
um dado experimento aleatório é chamada
de espaço amostral.
Exemplo: Considere o experimento (medição)
de selecionar um endereço ao acaso de uma
lista contendo todos os endereços numa
cidade, e verificar quantas pessoas moram
no endereço selecionado.
0 , 1 , 2 , 3 , ... são resultados elementares.
{ 0 , 1 , 2 , 3 , ... } é o espaço amostral.
1) DEFINIÇÕES BÁSICAS
Denote por E1, E2, ..., Ei, ... os resultados
elementares de um experimento aleatório.
Um evento é qualquer conjunto formado de
resultados elementares.
No último exemplo:
Evento A = morar menos que 3 pessoas no
endereço selecionado.
PROBABILIDADE é uma função utilizada
para atribuir um valor numérico para cada
resultado elementar (ou de fato, para cada
evento) que mede a chance de que este seja
o resultado observado do experimento.
Denota-se por P(Ei) a probabilidade de que
Ei seja o resultado observado do experimento
Exemplo: lançamento de uma moeda
• pode-se atribuir a cada um dos resultados
elementares - Cara (A) e Coroa (O) - a
probabilidade ½=0,5.
• formalmente: P(A)=P(O)=0,5.
2) AXIOMAS
• 0 ≤ P(Ei) ≤ 1 (...é uma fração)
• P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1
(a soma das probabilidades para todos os
resultados elementares é 1).
Exemplo: P(Cara)=0.5 P(Coroa)=0.5, logo
P(Cara) + P(Coroa) = 0.5 + 0.5=1
Atribuir probabilidades apenas a resultados
elementares não é suficiente. Na prática, se
atribui probabilidades a eventos.
Como vimos, um evento é qualquer conjunto
de resultados elementares.
Então, se a probabilidade de cada resultado
elementar (que define o evento) for
conhecida, então a probabilidade do evento
será a soma dessas probabilidades.
Exemplo: Evento=obter até 2 num dado (de 6)
P(face=1) + P(face=2) = 1/6 + 1/6 =2/6 = 1/3
3) PROBABILIDADES EM TABELAS
Probabilidade composta de um evento cjt A e B:
P (Carta Vermelha e Ás):
Probabilidade condicional de um evento cjt A e B:
P (Carta Vermelha
dado que é Ás) Î
4) DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma distribuição de probabilidades é uma
representação do conjunto de probabilidades
de todos os eventos associados a um espaço
amostral (universo) Ω.
Se Ω é finito, a distribuição de probabilidades
pode ser descrita enumerando-se todos os
eventos de Ω e suas probabilidades.
Evento: Lançar duas moedas e
CONTAR nº de Coroas...
Variável aleatória discreta => X = nº de coroas
Distribuição de probabilidades
Valores
(x)
0
Probabilidades
P(X = x)
1/4= 0,25
1
2/4 = 0,5
2
1/4=0,25
Neste caso, como antes, valem os axiomas:
0 ≤ P(X=x) ≤ 1; P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 1
4.1) DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADES
DISCRETAS: Bernoulli
Variável de interesse assume só dois valores
Situações dicotômicas : fracasso - sucesso
Utilização de variáveis indicadoras ( {0,1} )
4.2) DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADES
DISCRETAS: Binomial
P(X=x) = probabilidade de x sucessos dado
que se conhece “n” e “p”.
X = número de ‘sucessos’ na amostra,
(x = 0, 1, 2, ..., n)
p = probabilidade de ‘sucesso’
n = tamanho da amostra
• ‘n’ Ensaios Idênticos
– 15 lançamentos de uma mesma moeda
– 10 lâmpadas retiradas de um depósito
• Resultados Mutuamente Exclusivos
– Cara ou Coroa em cada lance de uma moeda
– Lâmpada defeituosa ou não
• Probabilidade Constante para cada Ensaio
– Probabilidade de sair uma Coroa é a mesma
cada vez que lança a moeda.
Distribuição BINOMIAL
4.3) DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADES
Variáveis aleatórias Contínuas
Como dito antes, uma distribuição de
probabilidades é uma representação do
conjunto de probabilidades de todos os
eventos associados a um espaço amostral Ω.
Se Ω é infinito a distribuição de probab. é
descrita por meio de uma função matemática
f( ω) para todos os valores de ω.
Em ambos os casos (Ω finito ou infinito),
as distribuições de probabilidades tem
representação gráfica em duas dimensões.
No eixo das abscissas marcam-se os valores
de ω e no eixo das ordenadas marca-se os
valores de P(ω) no caso discreto, ou f( ω), no
caso contínuo.
Para Ω discreto (finito ou infinito enumerável)
este gráfico é parecido com um gráfico de
barras ou um histograma enquanto que para
Ω contínuo (infinito não enumerável) as
distribuições de probab. serão representadas
por curvas.
DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADES
Contínua: Normal (Gaussiana)
Este é o modelo probabilístico mais utilizado
em estatística não só pela sua adequação em
modelagem de muitos fenômenos mas também
pela sua importância na teoria assintótica.
Sua distribuição de probabilidades é simétrica
e é determinada por dois parâmetros, µ e σ2,
respectivamente a média e a variância. A variável
aleatória Normal é denotada como X ~ N (µ, σ2).
A figura mostra a distribuição
de uma variável aleatória
Gaussiana com parâmetros
µ=0 e σ2=1, conhecida como
distribuição Normal padrão.
IMPORTANTE!!!!
As seguintes probabilidades associadas aos
intervalos são, em geral, muito utilizadas...
µ ± σ Î contém cerca de 68% das observações
µ ± 2σ Î contém cerca de 95% das observações
µ ± 3σ Î contém cerca de 99% das observações
Transformando para NORMAL PADRÃO N(0,1)
Transformando para NORMAL PADRÃO N(0,1)
Exemplo:
Tempo (X) que os
trabalhadores de
uma firma de
automóvel levam
para montar uma
peça, dado o
treino individual.
Com média de 75
segundo e desvio
de 6 segundos.
Transformando para NORMAL PADRÃO N(0,1)
Qual a probabilidade de uma pessoa com treino
individual levar de 62 a 69 segundos?
Qual a probabilidade de uma pessoa com treino
individual levar de 75 a 81 segundos?